Par de lax

El resultado también se puede demostrar utilizando los invariantes.${\displaystyle \operatorname {tr} (L^{n})}$para cualquier${\displaystyle n}$Estos satisfacen $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\operatorname {tr} (L^{n})=0}$$ Debido a la ecuación de Lax, y puesto que el polinomio característico puede escribirse en términos de estas trazas, el espectro se conserva mediante el flujo. ^{[ 1 ]}

La propiedad anterior es la base del método de dispersión inversa. En este método, L y P actúan sobre un espacio funcional (por lo tanto , ψ = ψ ( t , x )) y dependen de una función desconocida u ( t , x ) que debe determinarse. Generalmente se supone que u (0, x ) es conocida y que P no depende de u en la región de dispersión donde   ${\displaystyle \|x\|\to \infty .}$ El método adopta entonces la siguiente forma:

1. Calcular el espectro de${\displaystyle L(0)}$, donación${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \psi (0,x).}$
2. En la región de dispersión donde${\displaystyle P}$es conocido, propagar${\displaystyle \psi }$a tiempo mediante el uso${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)}$con condición inicial${\displaystyle \psi (0,x).}$
3. Conocimiento${\displaystyle \psi }$en la región de dispersión, calcular${\displaystyle L(t)}$y/o${\displaystyle u(t,x).}$

Si la matriz de Lax depende además analíticamente de un parámetro complejo${\displaystyle z}$(como es el caso, por ejemplo, de seno-Gordon ), y la deformación es isoespectral, la ecuación $${\displaystyle \det {\big (}wI-L(z){\big )}=0,}$$ define un subconjunto analítico de${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$con coordenadas${\displaystyle w,z,}$que, bajo hipótesis adecuadas, es una curva, a menudo tras eliminar singularidades. Por la propiedad isoespectral, esta curva se conserva bajo traslación temporal. Esto se denomina curva espectral , a menudo tras aplicar una compactificación adecuada. Cuando la dependencia de L con respecto a z es algebraica, se trata de una curva algebraica . Dichas curvas aparecen en la teoría de los sistemas de Hitchin . ^{[ 2 ]}

Las ecuaciones de curvatura cero se describen mediante un par de funciones con valores matriciales.${\displaystyle A_{x}(x,t),A_{t}(x,t),}$donde los subíndices denotan índices de coordenadas en lugar de derivadas. A menudo, el${\displaystyle (x,t)}$La dependencia se produce a través de una única función escalar.${\displaystyle \varphi (x,t)}$y sus derivadas. La ecuación de curvatura cero es entonces $${\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0.}$$ Se denomina así porque corresponde a la desaparición del tensor de curvatura , que en este caso es${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]=-\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]}$Esto difiere de la expresión convencional por algunos signos menos, que en última instancia no son importantes.

Para una solución propia del operador de Lax${\displaystyle L}$, uno tiene $${\displaystyle L\psi =\lambda \psi ,\psi _ {t}+A\psi =0.}$$ Si en cambio imponemos estas, junto con la independencia temporal de${\displaystyle \lambda }$En cambio, la ecuación de Lax surge como una ecuación de consistencia para un sistema sobredeterminado.

La pareja Lax${\displaystyle (L,P)}$se puede utilizar para definir los componentes de conexión${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$Cuando una EDP admite una representación de curvatura cero pero no una representación de ecuación de Lax, los componentes de conexión${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$Se les conoce como el par Lax, y la conexión como una conexión Lax.

La ecuación de Korteweg-de Vries

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}}$

puede reformularse como la ecuación de Lax

${\displaystyle L_{t}=[P,L]}$

con

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}$(un operador Sturm-Liouville ),

${\displaystyle P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x},}$

donde todas las derivadas actúan sobre todos los objetos a la derecha. Esto explica el número infinito de primeras integrales de la ecuación de KdV.

El ejemplo anterior utilizó un espacio de Hilbert de dimensión infinita. También son posibles ejemplos con espacios de Hilbert de dimensión finita. Estos incluyen el trompo de Kovalevskaya y la generalización para incluir un campo eléctrico.${\displaystyle {\vec {h}}}$. ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1}\\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}},\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3}+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

En la descripción de Heisenberg de la mecánica cuántica , un observable A sin dependencia explícita del tiempo t satisface

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],}$

donde H es el hamiltoniano y ħ la constante de Planck reducida . Salvo un factor, las observables (sin dependencia temporal explícita) en este modelo pueden considerarse pares de Lax junto con el hamiltoniano. El modelo de Schrödinger se interpreta entonces como la expresión alternativa en términos de la evolución isoespectral de estas observables.

Otros ejemplos de sistemas de ecuaciones que pueden formularse como un par de Lax incluyen:

• ecuación de Benjamin-Ono
• Ecuación de Schrödinger cúbica no lineal unidimensional
• Sistema Davey-Stewartson
• Sistemas integrables con pares de Lax de contacto ^{[ 5 ]}
• ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
• ecuación de Korteweg-de Vries
• Jerarquía de KdV
• ecuación de Marchenko
• Ecuación modificada de Korteweg-de Vries
• ecuación de Sine-Gordon
• Enrejado de Toda
• Las cimas de Lagrange, Euler y Kovalevskaya
• Transformada de Belinski-Zakharov , en relatividad general.

El último punto es notable, ya que implica que tanto la métrica de Schwarzschild como la métrica de Kerr pueden entenderse como solitones.