Teoría del potencial

En matemáticas y física matemática , la teoría del potencial es el estudio de las funciones armónicas .

El término "teoría del potencial" data de la física del siglo XIX, cuando se comprendió que las dos fuerzas fundamentales de la naturaleza conocidas en ese momento, a saber, la gravedad y la fuerza electrostática, podían modelarse utilizando funciones llamadas potencial gravitatorio y potencial electrostático , las cuales satisfacen la ecuación de Poisson , o en el vacío, la ecuación de Laplace .

Existe una considerable superposición entre la teoría del potencial y la teoría de la ecuación de Poisson, hasta el punto de que resulta imposible distinguirlas claramente. La diferencia radica más en el enfoque que en el tema en sí, y se basa en la siguiente distinción: la teoría del potencial se centra en las propiedades de las funciones, en contraposición a las propiedades de la ecuación. Por ejemplo, un resultado sobre las singularidades de las funciones armónicas pertenecería a la teoría del potencial, mientras que un resultado sobre cómo la solución depende de los datos de contorno pertenecería a la teoría de la ecuación de Poisson. Esta distinción no es rígida, y en la práctica existe una considerable superposición entre ambos campos, utilizándose métodos y resultados de uno en el otro.

La teoría del potencial moderna también está íntimamente ligada a la probabilidad y a la teoría de las cadenas de Markov . En el caso continuo, esta relación se vincula estrechamente con la teoría analítica. En el caso de un espacio de estados finito , esta conexión se puede establecer mediante la introducción de una red eléctrica en dicho espacio, donde la resistencia eléctrica entre puntos es inversamente proporcional a las probabilidades de transición y las densidades son proporcionales a los potenciales. Incluso en el caso finito, el análogo IK del laplaciano en la teoría del potencial posee su propio principio de máximo, principio de unicidad, principio de equilibrio, entre otros.

Un punto de partida útil y un principio organizador en el estudio de las funciones armónicas es considerar las simetrías de la ecuación de Laplace. Si bien no se trata de una simetría en el sentido habitual del término, podemos partir de la observación de que la ecuación de Laplace es lineal . Esto significa que el objeto fundamental de estudio en la teoría del potencial es un espacio lineal de funciones. Esta observación resultará especialmente importante cuando consideremos los enfoques del espacio de funciones en una sección posterior.

En cuanto a la simetría en el sentido habitual del término, podemos comenzar con el teorema de que las simetrías de la${\displaystyle n}$Las ecuaciones de Laplace de dimensión - son exactamente las simetrías conformes de la${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de dimensión . Este hecho tiene varias implicaciones. En primer lugar, se pueden considerar funciones armónicas que se transforman bajo representaciones irreducibles del grupo conforme o de sus subgrupos (como el grupo de rotaciones o traslaciones). Procediendo de esta manera, se obtienen sistemáticamente las soluciones de la ecuación de Laplace que surgen de la separación de variables, como soluciones armónicas esféricas y series de Fourier . Al tomar superposiciones lineales de estas soluciones, se pueden producir amplias clases de funciones armónicas que se puede demostrar que son densas en el espacio de todas las funciones armónicas bajo topologías adecuadas.

En segundo lugar, se puede utilizar la simetría conforme para comprender trucos y técnicas clásicas para generar funciones armónicas, como la transformada de Kelvin y el método de las imágenes .

En tercer lugar, se pueden utilizar transformaciones conformes para mapear funciones armónicas de un dominio a funciones armónicas de otro dominio. El ejemplo más común de esta construcción consiste en relacionar funciones armónicas en un disco con funciones armónicas en un semiplano.

En cuarto lugar, se puede utilizar la simetría conforme para extender las funciones armónicas a funciones armónicas en variedades riemannianas conformemente planas . Quizás la extensión más simple de este tipo sea considerar una función armónica definida en todo R ⁿ (con la posible excepción de un conjunto discreto de puntos singulares) como una función armónica en el${\displaystyle n}$esfera de dimensión . También pueden ocurrir situaciones más complicadas. Por ejemplo, se puede obtener un análogo de dimensión superior de la teoría de superficies de Riemann expresando una función armónica multivaluada como una función univaluada en una cubierta ramificada de R ⁿ o se pueden considerar funciones armónicas que son invariantes bajo un subgrupo discreto del grupo conforme como funciones en una variedad múltiplemente conexa u orbifold .

Del hecho de que el grupo de transformadas conformes sea de dimensión infinita en dos dimensiones y de dimensión finita para más de dos dimensiones, se puede deducir que la teoría del potencial en dos dimensiones difiere de la teoría del potencial en otras dimensiones. Esto es correcto y, de hecho, cuando uno se da cuenta de que cualquier función armónica bidimensional es la parte real de una función analítica compleja , se ve que el objeto de estudio de la teoría del potencial bidimensional es sustancialmente el mismo que el del análisis complejo. Por esta razón, al hablar de teoría del potencial, se centra la atención en los teoremas que se cumplen en tres o más dimensiones. En este sentido, un hecho sorprendente es que muchos resultados y conceptos descubiertos originalmente en el análisis complejo (como el teorema de Schwarz , el teorema de Morera , el teorema de Weierstrass-Casorati , la serie de Laurent y la clasificación de singularidades como removibles , polos y singularidades esenciales ) se generalizan a resultados sobre funciones armónicas en cualquier dimensión. Al considerar qué teoremas del análisis complejo son casos especiales de teoremas de la teoría del potencial en cualquier dimensión, se puede comprender qué es exactamente lo que tiene de especial el análisis complejo en dos dimensiones y qué es simplemente la instancia bidimensional de resultados más generales.

Un tema importante en la teoría del potencial es el estudio del comportamiento local de las funciones armónicas. Quizás el teorema más fundamental sobre el comportamiento local sea el teorema de regularidad de la ecuación de Laplace, que establece que las funciones armónicas son analíticas. Existen resultados que describen la estructura local de los conjuntos de nivel de las funciones armónicas. Está el teorema de Bôcher , que caracteriza el comportamiento de las singularidades aisladas de las funciones armónicas positivas. Como se mencionó en la sección anterior, las singularidades aisladas de las funciones armónicas se pueden clasificar como singularidades removibles, polos y singularidades esenciales.

Un enfoque fructífero para el estudio de las funciones armónicas es considerar las desigualdades que satisfacen. Quizás la desigualdad más básica, de la cual se derivan la mayoría de las demás, es el principio del máximo . Otro resultado importante es el teorema de Liouville , que establece que las únicas funciones armónicas acotadas definidas en todo R ⁿ son, de hecho, funciones constantes. Además de estas desigualdades básicas, existe la desigualdad de Harnack , que establece que las funciones armónicas positivas en dominios acotados son aproximadamente constantes.

Un uso importante de estas desigualdades es demostrar la convergencia de familias de funciones armónicas o subarmónicas (véase el teorema de Harnack) . Estos teoremas de convergencia se utilizan para demostrar la existencia de funciones armónicas con propiedades particulares. ^{[ 1 ]}

Dado que la ecuación de Laplace es lineal, el conjunto de funciones armónicas definidas en un dominio dado es, de hecho, un espacio vectorial . Al definir normas y/o productos internos adecuados , se pueden mostrar conjuntos de funciones armónicas que forman espacios de Hilbert o Banach . De esta manera, se obtienen espacios como el espacio de Hardy , el espacio de Bloch , el espacio de Bergman y el espacio de Sobolev .

• Función subarmónica – Clase de funciones matemáticas 
• Teorema de Kellogg

• AI Prilenko, ED Solomentsev (2001) [1994], "Teoría del potencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• ED Solomentsev (2001) [1994], "Teoría del potencial abstracto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• S. Axler , P. Bourdon, W. Ramey (2001). Teoría de la función armónica (2ª edición). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95218-7.
• OD Kellogg (1969). Fundamentos de la teoría del potencial . Dover Publications. ISBN 0-486-60144-7.
• LL Helms (1975). Introducción a la teoría del potencial . RE Krieger ISBN 0-88275-224-3.
• JL Doob . Teoría del potencial clásico y su contraparte probabilística , Springer-Verlag, Berlín Heidelberg Nueva York, ISBN 3-540-41206-9.
• James Laurie Snell ; Peter G. Doyle (2000). "Random Walks and Electric Networks". arXiv : math/0001057 .
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