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Articulo de referencia

Proceso de Lévy

En teoría de la probabilidad , un proceso de Lévy , que recibe su nombre del matemático francés Paul Lévy , es un proceso estocástico con incrementos estacionarios e independien...

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En teoría de la probabilidad , un proceso de Lévy , que recibe su nombre del matemático francés Paul Lévy , es un proceso estocástico con incrementos estacionarios e independientes: representa el movimiento de un punto cuyos desplazamientos sucesivos son aleatorios , en el que los desplazamientos en intervalos de tiempo disjuntos por pares son independientes, y los desplazamientos en diferentes intervalos de tiempo de la misma longitud tienen distribuciones de probabilidad idénticas. Por lo tanto, un proceso de Lévy puede considerarse como el análogo en tiempo continuo de un paseo aleatorio .

Los ejemplos más conocidos de procesos de Lévy son el proceso de Wiener , a menudo llamado proceso de movimiento browniano , y el proceso de Poisson . Otros ejemplos importantes incluyen el proceso Gamma , el proceso de Pascal y el proceso de Meixner. Aparte del movimiento browniano con deriva, todos los demás procesos de Lévy propios (es decir, no deterministas) tienen trayectorias discontinuas . Todos los procesos de Lévy son procesos aditivos . [ 1 ]

Definición matemática

Un proceso de Lévy es un proceso estocástico.incógnita={incógnitat:t≥0}{\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}que satisface las siguientes propiedades:

  1. incógnita0=0{\displaystyle X_{0}=0\,}casi con seguridad ;
  2. Independencia de los incrementos : Para cualquier0≤t1<t2<⋯<tnorte<∞{\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty },incógnitat2−incógnitat1,incógnitat3−incógnitat2,…,incógnitatnorte−incógnitatnorte−1{\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}son mutuamente independientes ;
  3. Incrementos estacionarios : Para cualquiers<t{\displaystyle s<t\,},incógnitat−incógnitas{\displaystyle X_{t}-X_{s}\,}es igual en distribución aincógnitat−s;{\displaystyle X_{t-s};\,}
  4. Continuidad en probabilidad : Para cualquierε>0{\displaystyle \varepsilon >0}yt≥0{\displaystyle t\geq 0}sostiene quelímiteh→0PAG(|incógnitat+h−incógnitat|>ε)=0.{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0.}

Siincógnita{\displaystyle X}Si se trata de un proceso de Lévy, entonces se puede construir una versión deincógnita{\displaystyle X}de tal manera quet↦incógnitat{\displaystyle t\mapsto X_{t}}es casi con seguridad continua por la derecha con límites por la izquierda .

Propiedades

incrementos independientes

Un proceso estocástico de tiempo continuo asigna una variable aleatoria X t a cada punto t ≥ 0 en el tiempo. En efecto, es una función aleatoria de t . Los incrementos de dicho proceso son las diferencias X s − X t entre sus valores en diferentes instantes t < s . Decir que los incrementos de un proceso son independientes significa que los incrementos X s − X t y X u − X v son variables aleatorias independientes siempre que los dos intervalos de tiempo no se superpongan y, de forma más general, cualquier número finito de incrementos asignados a intervalos de tiempo que no se superponen por pares son mutuamente (no solo por pares ) independientes.

incrementos estacionarios

Decir que los incrementos son estacionarios significa que la distribución de probabilidad de cualquier incremento X t − X s depende solo de la duración t  − s del intervalo de tiempo; los incrementos en intervalos de tiempo igualmente largos se distribuyen de forma idéntica. 

Siincógnita{\displaystyle X}es un proceso de Wiener , la distribución de probabilidad de X t  − X s es normal con valor esperado 0 y varianza t − s .   

Siincógnita{\displaystyle X}es un proceso de Poisson , la distribución de probabilidad de X t  − X s es una distribución de Poisson con valor esperado λ( t − s ), donde λ > 0 es la "intensidad" o "tasa" del proceso.   

Siincógnita{\displaystyle X}es un proceso de Cauchy , la distribución de probabilidad de X t  − X s es una distribución de Cauchy con densidad F(incógnita;t)=1π[γincógnita2+γ2]{\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{\gamma \over x^{2}+\gamma ^{2}}\right]}dóndeγ=t−s{\displaystyle \gamma =t-s}.

Divisibilidad infinita

La distribución de un proceso de Lévy tiene la propiedad de divisibilidad infinita : dado cualquier entero n , la ley de un proceso de Lévy en el tiempo t puede representarse como la ley de la suma de n variables aleatorias independientes, que son precisamente los incrementos del proceso de Lévy en intervalos de tiempo de longitud t / n, que son independientes e idénticamente distribuidas según las suposiciones 2 y 3. Recíprocamente, para cada distribución de probabilidad infinitamente divisibleF{\displaystyle F}Existe un proceso de Lévy.incógnita{\displaystyle X}de tal manera que la ley deincógnita1{\displaystyle X_{1}}es dado porF{\displaystyle F}.

Momentos

En cualquier proceso de Lévy con momentos finitos , el n- ésimo momentoμnorte(t)=mi(incógnitatnorte){\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})}, es una función polinómica de t ; estas funciones satisfacen una identidad binomial :

μnorte(t+s)=∑k=0norte(nortek)μk(t)μnorte−k(s).{\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}

Representación de Lévy-Khintchine

La distribución de un proceso de Lévy se caracteriza por su función característica , que viene dada por la fórmula de Lévy-Khintchine (general para todas las distribuciones infinitamente divisibles ): [ 2 ]

Siincógnita=(incógnitat)t≥0{\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}es un proceso de Lévy, entonces su función característicaφincógnita(θ){\displaystyle \varphi _{X}(\theta )}es dado por

φincógnita(θ)(t):=mi[miiθincógnita(t)]=exp⁡(t(aiθ−12σ2θ2+∫R∖{0}(miiθincógnita−1−iθincógnita1|incógnita|<1)Π(dincógnita))){\displaystyle \varphi _{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} \left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp {\left(t\left(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}\right)\right)}}

dóndea∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} },σ≥0{\displaystyle \sigma \geq 0}, y Π{\displaystyle \Pi }es una medida σ -finita llamada medida de Lévy deincógnita{\displaystyle X}, satisfaciendo la propiedad

∫R∖{0}min(1,incógnita2)Π(dincógnita)<∞.{\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\min(1,x^{2})\,\Pi (dx)}<\infty .}

En lo anterior,1{\displaystyle \mathbf {1} }es la función indicadora . Debido a que las funciones características determinan de forma única sus distribuciones de probabilidad subyacentes, cada proceso de Lévy está determinado de forma única por la "tripleta de Lévy-Khintchine".(a,σ2,Π){\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )}Los términos de esta terna sugieren que un proceso de Lévy puede considerarse como compuesto por tres componentes independientes: una deriva lineal, un movimiento browniano y un proceso de salto de Lévy, como se describe a continuación. Esto implica inmediatamente que el único proceso de Lévy continuo (no determinista) es un movimiento browniano con deriva; asimismo, todo proceso de Lévy es una semimartingala . [ 3 ]

descomposición de Lévy-Itô

Debido a que las funciones características de las variables aleatorias independientes se multiplican, el teorema de Lévy-Khintchine sugiere que todo proceso de Lévy es la suma de un movimiento browniano con deriva y otra variable aleatoria independiente, un proceso de salto de Lévy. La descomposición de Lévy-Itô describe este último como una suma (estocástica) de variables aleatorias de Poisson independientes.

Dejarν=Π|R∖(−1,1)Π(R∖(−1,1)){\displaystyle \nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}}— es decir, la restricción deΠ{\displaystyle \Pi }aR∖(−1,1){\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}, normalizado para ser una medida de probabilidad; de manera similar, seaμ=Π|(−1,1)∖{0}{\displaystyle \mu =\Pi |_{(-1,1)\setminus \{0\}}}(pero no cambie la escala).

∫R∖{0}(miiθincógnita−1−iθincógnita1|incógnita|<1)Π(dincógnita)=Π(R∖(−1,1))∫R(miiθincógnita−1)ν(dincógnita)+∫R(miiθincógnita−1−iθincógnita)μ(dincógnita).{\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}=\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.}

La primera es la función característica de un proceso de Poisson compuesto con intensidadΠ(R∖(−1,1)){\displaystyle \Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}y distribución infantilν{\displaystyle \nu }. Este último es el de un proceso de Poisson generalizado compensado (CGPP): un proceso con un número numerable de discontinuidades de salto en cada intervalo como , pero tales que esas discontinuidades son de magnitud menor que1{\displaystyle 1}. Si∫R|incógnita|μ(dincógnita)<∞{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty }, entonces el CGPP es un proceso de salto puro . [ 4 ] [ 5 ] Por lo tanto, en términos de procesos se puede descomponerincógnita{\displaystyle X}de la siguiente manera

incógnitat=σBt+at+Yt+Zt,t≥0,{\displaystyle X_{t}=\sigma B_{t}+at+Y_{t}+Z_{t},t\geq 0,}

dóndeY{\displaystyle Y}es el proceso de Poisson compuesto con saltos mayores que1{\displaystyle 1}en valor absoluto yZt{\displaystyle Z_{t}}es el mencionado proceso de Poisson generalizado compensado que también es una martingala de media cero.

Generalización

Un campo aleatorio de Lévy es una generalización multidimensional de un proceso de Lévy. [ 6 ] [ 7 ] Aún más generales son los procesos descomponibles. [ 8 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Sato, Ken-Iti (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Cambridge University Press. págs. 31–68 . ISBN  9780521553025.
  2. ↑ Zolotarev, Vladimir M. Distribuciones estables unidimensionales. Vol. 65. American Mathematical Soc., 1986.
  3. ↑ Protter PE Integración estocástica y ecuaciones diferenciales. Springer, 2005.
  4. ↑ Kyprianou, Andreas E. (2014), "La descomposición de Lévy-Itô y la estructura de trayectorias", Fluctuaciones de los procesos de Lévy con aplicaciones , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, pp. 35–69 , doi : 10.1007/978-3-642-37632-0_2 , ISBN  9783642376313
  5. ↑ Lawler, Gregory (2014). "Cálculo estocástico: una introducción con aplicaciones" (PDF) . Departamento de Matemáticas (Universidad de Chicago) . Archivado del original (PDF) el 29 de marzo de 2018. Consultado el 3 de octubre de 2018 .
  6. ↑ Wolpert, Robert L.; Ickstadt, Katja (1998), "Simulación de campos aleatorios de Lévy", Estadística bayesiana no paramétrica y semiparamétrica práctica , Lecture Notes in Statistics, Springer, Nueva York, doi : 10.1007/978-1-4612-1732-9_12 , ISBN 978-1-4612-1732-9
  7. ↑ Wolpert, Robert L. (2016). "Campos aleatorios de Lévy" (PDF) . Departamento de Ciencias Estadísticas (Universidad de Duke) .
  8. ↑ Feldman, Jacob (1971). "Procesos descomponibles y productos continuos de espacios de probabilidad". Journal of Functional Analysis . 8 (1): 1– 51. doi : 10.1016/0022-1236(71)90017-6 . ISSN 0022-1236 . 
  • Applebaum, David (diciembre de 2004). "Procesos de Lévy: de la probabilidad a las finanzas y los grupos cuánticos" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 51 (11): 1336– 1347. ISSN 1088-9477 . 
  • Cont, Rama; Tankov, Peter (2003). Modelado financiero con procesos de salto . CRC Press. ISBN 978-1584884132..
  • Sato, Ken-Iti (2011). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Cambridge University Press. ISBN 978-0521553025..
  • Kyprianou, Andreas E. (2014). Fluctuaciones de los procesos de Lévy con aplicaciones. Lecciones introductorias. Segunda edición . Springer. ISBN 978-3642376313..