Distribución del producto de dos variables aleatorias

Primero escribimos la función de distribución acumulativa de${\displaystyle Z}$comenzando con su definición

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z}(z)&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mathbb {P} (Z\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z,X\geq 0)+\mathbb {P} (XY\leq z,X\leq 0)\\&=\mathbb {P} (Y\leq z/X,X\geq 0)+\mathbb {P} (Y\geq z/X,X\leq 0)\\&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)\int _{-\infty }^{z/x}f_{Y}(y)\,dy\,dx+\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)\int _{z/x}^{\infty }f_{Y}(y)\,dy\,dx\end{aligned}}}$

Encontramos la función de densidad de probabilidad deseada tomando la derivada de ambos lados con respecto a${\displaystyle z}$. Dado que en el lado derecho, ${\displaystyle z}$Como aparece únicamente en los límites de integración, la derivada se calcula fácilmente utilizando el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena . (Nótese el signo negativo necesario cuando la variable aparece en el límite inferior de la integración).

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{x}}\,dx-\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx+\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx.\end{aligned}}}$

donde se utiliza el valor absoluto para combinar convenientemente los dos términos. ^{[ 3 ]}

Una demostración más rápida y compacta comienza con el mismo paso de escribir la distribución acumulativa de${\displaystyle Z}$comenzando por su definición:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z}(z)&{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \ \mathbb {P} (Z\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(y)u(z-xy)\,dy\,dx\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle u(\cdot )}$es la función escalón de Heaviside y sirve para limitar la región de integración a valores de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$satisfactorio${\displaystyle xy\leq z}$.

Encontramos la función de densidad de probabilidad deseada tomando la derivada de ambos lados con respecto a${\displaystyle z}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(y)\delta (z-xy)\,dy\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\left[\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(y)\delta (z-xy)\,dy\right]\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx.\end{aligned}}}$

donde utilizamos las propiedades de traslación y escalado de la función delta de Dirac.${\displaystyle \delta }$.

Una descripción más intuitiva del procedimiento se ilustra en la figura siguiente. La función de densidad de probabilidad conjunta (pdf)${\displaystyle f_{X}(x)f_{Y}(y)}$existe en el${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$plano y un arco de constante${\displaystyle z}$El valor se muestra como la línea sombreada. Para hallar la probabilidad marginal${\displaystyle f_{Z}(z)}$ En este arco, integre sobre incrementos de área.${\displaystyle dx\,dy\;f(x,y)}$en este contorno.

Comenzando con${\displaystyle y={\frac {z}{x}}}$, tenemos ${\displaystyle dy=-{\frac {z}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {y}{x}}\,dx}$. Por lo tanto, el incremento de probabilidad es${\displaystyle \delta p=f(x,y)\,dx\,|dy|=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {y}{|x|}}\,dx\,dx}$. Desde${\displaystyle z=yx}$implica${\displaystyle dz=y\,dx}$, podemos relacionar el incremento de probabilidad con el${\displaystyle z}$-incremento, es decir${\displaystyle \delta p=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx\,dz}$Luego la integración sobre .${\displaystyle x}$, produce${\displaystyle f_{Z}(z)=\int f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx}$.

Dejar${\displaystyle X\sim f(x)}$sea ​​una muestra aleatoria extraída de una distribución de probabilidad${\displaystyle f_{x}(x)}$Escalado${\displaystyle X}$por${\displaystyle \theta }$genera una muestra a partir de una distribución escalada${\displaystyle \theta X\sim {\frac {1}{|\theta |}}f_{X}\left({\frac {x}{\theta }}\right)}$que puede escribirse como una distribución condicional ${\displaystyle g_{x}(x|\theta )={\frac {1}{|\theta |}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta }}\right)}$.

Alquiler${\displaystyle \theta }$sea ​​una variable aleatoria con pdf${\displaystyle f_{\theta }(\theta )}$, la distribución de la muestra escalada se convierte en${\displaystyle f_{X}(\theta x)=g_{X}(x\mid \theta )f_{\theta }(\theta )}$y la integración${\displaystyle \theta }$obtenemos${\displaystyle h_{x}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }g_{X}(x|\theta )f_{\theta }(\theta )d\theta }$entonces${\displaystyle \theta X}$se extrae de esta distribución${\displaystyle \theta X\sim h_{X}(x)}$. Sin embargo, sustituyendo la definición de${\displaystyle g}$también tenemos ${\displaystyle h_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{|\theta |}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta }}\right)f_{\theta }(\theta )\,d\theta }$que tiene la misma forma que la distribución del producto anterior. Por lo tanto, la distribución posterior bayesiana${\displaystyle h_{X}(x)}$es la distribución del producto de dos muestras aleatorias independientes${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle X}$.

Para el caso de que una variable sea discreta, sea${\displaystyle \theta }$ tener probabilidad${\displaystyle P_{i}}$en niveles${\displaystyle \theta _{i}}$con${\displaystyle \sum _{i}P_{i}=1}$. La densidad condicional es${\displaystyle f_{X}(x\mid \theta _{i})={\frac {1}{|\theta _{i}|}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta _{i}}}\right)}$. Por lo tanto ${\displaystyle f_{X}(\theta x)=\sum _{i}{\frac {P_{i}}{|\theta _{i}|}}f_{X}\left({\frac {x}{\theta _{i}}}\right)}$.

La distribución del producto de dos variables aleatorias con distribuciones lognormales también es lognormal. Este es un caso particular de un conjunto más general de resultados donde el logaritmo del producto se puede expresar como la suma de los logaritmos. Por lo tanto, en los casos en que se puede encontrar un resultado simple en la lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad , donde las distribuciones a convolucionar son las de los logaritmos de las componentes del producto, el resultado se puede transformar para obtener la distribución del producto. Sin embargo, este enfoque solo es útil cuando los logaritmos de las componentes del producto pertenecen a algunas familias de distribuciones estándar.

Dejar${\displaystyle Z}$sea ​​el producto de dos variables independientes${\displaystyle Z=X_{1}X_{2}}$cada una distribuida uniformemente en el intervalo [0,1], posiblemente el resultado de una transformación de cópula . Como se señaló en "Distribuciones lognormales" más arriba, las operaciones de convolución de la función de densidad de probabilidad en el dominio logarítmico corresponden al producto de los valores de muestra en el dominio original. Por lo tanto, haciendo la transformación${\displaystyle u=\ln(x)}$, de tal manera que${\displaystyle p_{U}(u)\,|du|=p_{X}(x)\,|dx|}$, cada variable se distribuye independientemente en u como

${\displaystyle p_{U}(u)={\frac {p_{X}(x)}{|du/dx|}}={\frac {1}{x^{-1}}}=e^{u},\;\;-\infty <u\leq 0}$.

y la convolución de las dos distribuciones es la autoconvolución.

${\displaystyle c(y)=\int _{u=0}^{y}e^{u}e^{y-u}du=-\int _{u=y}^{0}e^{y}du=-ye^{y},\;\;-\infty <y\leq 0}$

A continuación, vuelva a transformar la variable a${\displaystyle z=e^{y}}$lo que produce la distribución

${\displaystyle c_{2}(z)=c_{Y}(y)/|dz/dy|={\frac {-ye^{y}}{e^{y}}}=-y=\ln(1/z)}$en el intervalo [0,1]

Para el producto de múltiples (>  2) muestras independientes, la ruta de la función característica es favorable. Si definimos${\displaystyle {\tilde {y}}=-y}$entonces${\displaystyle c({\tilde {y}})}$Arriba se muestra una distribución Gamma de forma 1 y factor de escala 1. ${\displaystyle c({\tilde {y}})={\tilde {y}}e^{-{\tilde {y}}}}$ y su CF conocida es${\displaystyle (1-it)^{-1}}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle |d{\tilde {y}}|=|dy|}$Por lo tanto, el jacobiano de la transformación es la unidad.

La convolución de${\displaystyle n}$muestras independientes de${\displaystyle {\tilde {Y}}}$Por lo tanto, tiene CF${\displaystyle (1-it)^{-n}}$que se sabe que es la función característica de una distribución gamma de forma${\displaystyle n}$:

${\displaystyle c_{n}({\tilde {y}})=\Gamma (n)^{-1}{\tilde {y}}^{(n-1)}e^{-{\tilde {y}}}=\Gamma (n)^{-1}(-y)^{(n-1)}e^{y}}$.

Realiza la transformación inversa${\displaystyle z=e^{y}}$ para extraer la función de densidad de probabilidad (PDF) del producto de las n muestras:

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {c_{n}(y)}{|dz/dy|}}=\Gamma (n)^{-1}{\Big (}-\log z{\Big )}^{n-1}e^{y}/e^{y}={\frac {{\Big (}-\log z{\Big )}^{n-1}}{(n-1)!\;\;\;}}\;\;\;0<z\leq 1}$

La siguiente derivación, más convencional, de Stackexchange ^{[ 7 ]} es consistente con este resultado. En primer lugar, dejando${\displaystyle Z_{2}=X_{1}X_{2}}$su CDF es

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z_{2}}(z)=\Pr {\Big [}Z_{2}\leq z{\Big ]}&=\int _{x=0}^{1}\Pr {\Big [}X_{2}\leq {\frac {z}{x}}{\Big ]}f_{X_{1}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{z}1dx+\int _{x=z}^{1}{\frac {z}{x}}\,dx\\&=z-z\log z,\;\;0<z\leq 1\end{aligned}}}$

La densidad de${\displaystyle z_{2}{\text{ is then }}f(z_{2})=-\log(z_{2})}$

Multiplicando por una tercera muestra independiente se obtiene la función de distribución.

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z_{3}}(z)=\Pr {\Big [}Z_{3}\leq z{\Big ]}&=\int _{x=0}^{1}\Pr {\Big [}X_{3}\leq {\frac {z}{x}}{\Big ]}f_{Z_{2}}(x)\,dx\\&=-\int _{x=0}^{z}\log(x)\,dx-\int _{x=z}^{1}{\frac {z}{x}}\log(x)\,dx\\&=-z{\Big (}\log(z)-1{\Big )}+{\frac {1}{2}}z\log ^{2}(z)\end{aligned}}}$

Tomar la derivada produce ${\displaystyle f_{Z_{3}}(z)={\frac {1}{2}}\log ^{2}(z),\;\;0<z\leq 1.}$

El autor de la nota conjetura que, en general, ${\displaystyle f_{Z_{n}}(z)={\frac {(-\log z)^{n-1}}{(n-1)!\;\;\;}},\;\;0<z\leq 1}$

La figura ilustra la naturaleza de las integrales anteriores. El área de la selección dentro del cuadrado unitario y debajo de la línea z = xy, representa la función de distribución acumulada (FDA) de z. Esta se divide en dos partes. La primera es para 0 < x < z donde el incremento de área en la ranura vertical es igual a dx . La segunda parte se encuentra debajo de la línea xy , tiene una altura en y z/x y un área incremental dx z/x .

El producto de dos muestras normales independientes sigue una función de Bessel modificada . Sea${\displaystyle x,y}$sean muestras independientes de una distribución Normal(0,1) y${\displaystyle z=xy}$. Entonces

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {K_{0}(|z|)}{\pi }},\;\;\;-\infty <z<+\infty }$

La varianza de esta distribución podría determinarse, en principio, mediante una integral definida de Gradsheyn y Ryzhik, ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\mu }K_{\nu }(ax)\,dx=2^{\mu -1}a^{-\mu -1}\Gamma {\Big (}{\frac {1+\mu +\nu }{2}}{\Big )}\Gamma {\Big (}{\frac {1+\mu -\nu }{2}}{\Big )},\;\;a>0,\;\nu +1\pm \mu >0}$

de este modo ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {z^{2}K_{0}(|z|)}{\pi }}\,dz={\frac {4}{\pi }}\;\Gamma ^{2}{\Big (}{\frac {3}{2}}{\Big )}=1}$

Un resultado mucho más sencillo, mencionado en una sección anterior, es que la varianza del producto de muestras independientes con media cero es igual al producto de sus varianzas. Dado que la varianza de cada muestra normal es uno, la varianza del producto también es uno.

El producto de dos muestras gaussianas suele confundirse con el producto de dos funciones de densidad de probabilidad gaussianas. Este último simplemente da como resultado una distribución gaussiana bivariada.

El caso del producto de muestras normales correlacionadas fue abordado recientemente por Nadarajaha y Pogány. ^{[ 9 ]} Sea${\displaystyle X{\text{, }}Y}$ser media cero, varianza unitaria, variables distribuidas normalmente con coeficiente de correlación${\displaystyle \rho {\text{ and let }}Z=XY}$

Entonces

${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left({\frac {\rho z}{1-\rho ^{2}}}\right)K_{0}\left({\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\right)}$

Media y varianza : Para la media tenemos${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\rho }$a partir de la definición del coeficiente de correlación. La varianza se puede encontrar transformando de dos variables no correlacionadas U, V con varianza unitaria y media cero . Sea

${\displaystyle X=U,\;\;Y=\rho U+{\sqrt {(1-\rho ^{2})}}V}$

Entonces X, Y son variables de varianza unitaria con coeficiente de correlación${\displaystyle \rho }$y

${\displaystyle (XY)^{2}=U^{2}{\bigg (}\rho U+{\sqrt {(1-\rho ^{2})}}V{\bigg )}^{2}=U^{2}{\bigg (}\rho ^{2}U^{2}+2\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}UV+(1-\rho ^{2})V^{2}{\bigg )}}$

Eliminando los términos de potencia impar, cuyas expectativas son obviamente cero, obtenemos

${\displaystyle \operatorname {E} [(XY)^{2}]=\rho ^{2}\operatorname {E} [U^{4}]+(1-\rho ^{2})\operatorname {E} [U^{2}]\operatorname {E} [V^{2}]=3\rho ^{2}+(1-\rho ^{2})=1+2\rho ^{2}}$

Desde${\displaystyle (\operatorname {E} [Z])^{2}=\rho ^{2}}$tenemos

${\displaystyle \operatorname {Var} (Z)=\operatorname {E} [Z^{2}]-(\operatorname {E} [Z])^{2}=1+2\rho ^{2}-\rho ^{2}=1+\rho ^{2}}$

Asíntota de alta correlación En el caso de alta correlación,${\displaystyle \rho \rightarrow 1}$El producto converge en el cuadrado de una muestra. En este caso, el${\displaystyle K_{0}}$asíntota es${\displaystyle K_{0}(x)\rightarrow {\sqrt {\tfrac {\pi }{2x}}}e^{-x}{\text{ in the limit as }}x={\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\rightarrow \infty }$ y

${\displaystyle {\begin{aligned}p(z)&\rightarrow {\frac {1}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left({\frac {\rho z}{1-\rho ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\pi (1-\rho ^{2})}{2z}}}\exp \left(-{\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp {\Bigg (}{\frac {-|z|+\rho z}{(1-\rho )(1+\rho )}}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp {\Bigg (}{\frac {-z}{1+\rho }}{\Bigg )},\;\;z>0\\&\rightarrow {\frac {1}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}){\sqrt {2z}}}}e^{-{\tfrac {z}{2}}},\;\;{\text{ as }}\rho \rightarrow 1\\\end{aligned}}}$

que es una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad.

Múltiples muestras correlacionadas . Nadarajaha et al. muestran además que si${\displaystyle Z_{1},Z_{2},..Z_{n}{\text{ are }}n}$variables aleatorias i.i.d. muestreadas de${\displaystyle f_{Z}(z)}$y${\displaystyle {\bar {Z}}={\tfrac {1}{n}}\sum Z_{i}}$¿Es su media entonces?

${\displaystyle f_{\bar {Z}}(z)={\frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}\exp \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}z\right){W}_{0,{\frac {1-n}{2}}}(|z|),\;\;-\infty <z<\infty .}$

donde W es la función de Whittaker mientras${\displaystyle \beta ={\frac {n}{1-\rho }},\;\;\gamma ={\frac {n}{1+\rho }}}$.

Utilizando la identidad${\displaystyle W_{0,\nu }(x)={\sqrt {\frac {x}{\pi }}}K_{\nu }(x/2),\;\;x\geq 0}$, véase por ejemplo la compilación DLMF. ecuación (13.13.9), ^{[ 10 ]} esta expresión puede simplificarse un poco a

${\displaystyle f_{\bar {z}}(z)={\frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}\exp \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}z\right){\sqrt {{\frac {\beta +\gamma }{\pi }}|z|}}\;K_{\frac {1-n}{2}}\left({\frac {\beta +\gamma }{2}}|z|\right),\;\;-\infty <z<\infty .}$

La función de densidad de probabilidad (pdf) proporciona la distribución marginal de una covarianza normal bivariada muestral, un resultado que también se muestra en el artículo sobre la distribución de Wishart. La distribución aproximada de un coeficiente de correlación se puede obtener mediante la transformación de Fisher .

Múltiples muestras correlacionadas no centrales . La distribución del producto de muestras normales no centrales correlacionadas fue derivada por Cui et al. ^{[ 11 ]} y toma la forma de una serie infinita de funciones de Bessel modificadas de primer tipo.

Momentos del producto de muestras normales centrales correlacionadas

Para una distribución normal central N(0,1), los momentos son

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}]={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{p}\exp(-{\tfrac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}})\,dx={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle n!!}$denota el doble factorial .

Si${\displaystyle X,Y\sim {\text{Norm}}(0,1)}$son variables centrales correlacionadas, el caso bivariado más simple del problema de momentos normales multivariados descrito por Kan, ^{[ 12 ]} entonces

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]={\begin{cases}0&{\text{if }}p+q{\text{ is odd,}}\\{\frac {p!q!}{2^{\tfrac {p+q}{2}}}}\sum _{k=0}^{t}{\frac {(2\rho )^{2k}}{{\Big (}{\frac {p}{2}}-k{\Big )}!\;{\Big (}{\frac {q}{2}}-k{\Big )}!\;(2k)!}}&{\text{if }}p{\text{ and }}q{\text{ are even}}\\{\frac {p!q!}{2^{\tfrac {p+q}{2}}}}\sum _{k=0}^{t}{\frac {(2\rho )^{2k+1}}{{\Big (}{\frac {p-1}{2}}-k{\Big )}!\;{\Big (}{\frac {q-1}{2}}-k{\Big )}!\;(2k+1)!}}&{\text{if }}p{\text{ and }}q{\text{ are odd}}\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle \rho }$es el coeficiente de correlación y${\displaystyle t=\min([p,q]/2)}$

[Necesita revisión]

La distribución del producto de muestras normales correlacionadas no centrales fue derivada por Cui et al. ^{[ 11 ]} y toma la forma de una serie infinita.

Estas distribuciones de productos son algo comparables a la distribución de Wishart . Esta última es la distribución conjunta de los cuatro elementos (en realidad solo tres elementos independientes) de una matriz de covarianza muestral . Si${\displaystyle x_{t},y_{t}}$son muestras de una serie temporal bivariada entonces la${\displaystyle W=\sum _{t=1}^{K}{\dbinom {x_{t}}{y_{t}}}{\dbinom {x_{t}}{y_{t}}}^{T}}$es una matriz de Wishart con K grados de libertad. Las distribuciones de producto anteriores son la distribución incondicional del agregado de K > 1 muestras de${\displaystyle W_{2,1}}$.