Equivalencia de Morita

En álgebra abstracta , la equivalencia de Morita es una relación definida entre anillos que preserva muchas propiedades de la teoría de anillos . Más precisamente, dos anillos R y S son equivalentes de Morita (denotado por${\displaystyle R\approx S}$) si sus categorías de módulos son aditivamente equivalentes (denotadas por${\displaystyle {}_{R}M\approx {}_{S}M}$^{[ a ]} ​​). ^{[ 2 ]} Recibe su nombre del matemático japonésKiiti Morita, quien definió la equivalencia y una noción similar dedualidaden 1958.

Los anillos se estudian comúnmente en términos de sus módulos , ya que estos pueden considerarse representaciones de anillos. Todo anillo R posee una estructura de R -módulo natural en sí mismo, donde la acción del módulo se define como la multiplicación en el anillo. Por lo tanto, el enfoque mediante módulos es más general y proporciona información útil. Debido a esto, a menudo se estudia un anillo analizando la categoría de módulos sobre dicho anillo. La equivalencia de Morita lleva este punto de vista a una conclusión natural al definir anillos como Morita equivalentes si sus categorías de módulos son equivalentes . Esta noción solo interesa cuando se trata de anillos no conmutativos , ya que se puede demostrar que dos anillos conmutativos son Morita equivalentes si y solo si son isomorfos .

Se dice que dos anillos R y S (asociativos, con 1) son equivalentes ( Morita ) si existe una equivalencia entre la categoría de módulos (izquierdos) sobre R , R-Mod , y la categoría de módulos (izquierdos) sobre S , S-Mod . Se puede demostrar que las categorías de módulos izquierdos R-Mod y S-Mod son equivalentes si y solo si las categorías de módulos derechos Mod-R y Mod-S son equivalentes. Además, se puede demostrar que cualquier functor de R-Mod a S-Mod que produzca una equivalencia es automáticamente aditivo .

Dos anillos isomorfos cualesquiera son equivalentes de Morita.

El anillo de matrices n x n con elementos en R , denotado M _n R , es Morita-equivalente a R para cualquier entero n > 0. Nótese que esto generaliza la clasificación de anillos artinianos simples dada por la teoría de Artin-Wedderburn . Para ver la equivalencia, observe que si X es un R -módulo izquierdo , entonces X ⁿ es un M _n ( R )-módulo donde la estructura del módulo viene dada por la multiplicación de matrices a la izquierda de vectores columna de X. Esto permite definir un functor de la categoría de R -módulos izquierdos a la categoría de M _n ( R )-módulos izquierdos . El functor inverso se define al darse cuenta de que para cualquier M _n ( R )-módulo existe un R -módulo izquierdo X tal que el M _n ( R )-módulo se obtiene a partir de X como se describió anteriormente.

Las equivalencias se pueden caracterizar de la siguiente manera: si F  : R-Mod${\displaystyle \to }$S-Mod y G  : S-Mod${\displaystyle \to }$Si R-Mod son functores aditivos (covariantes), entonces F y G son una equivalencia si y solo si existe un bimódulo balanceado ( S , R ) -P tal que _S P y P _R son generadores proyectivos finitamente generados y existen isomorfismos naturales de los functores.${\displaystyle \operatorname {F} (-)\cong P\otimes _{R}-}$y de los functores${\displaystyle \operatorname {G} (-)\cong \operatorname {Hom} (_{S}P,-).}$Los generadores proyectivos finitamente generados también se denominan a veces progeneradores por su categoría de módulo. ^{[ 3 ]}

Para todo functor exacto por la derecha F de la categoría de R- módulos izquierdos a la categoría de S- módulos izquierdos que conmuta con sumas directas , un teorema del álgebra homológica muestra que existe un ( S , R )-bimódulo E tal que el functor${\displaystyle \operatorname {F} (-)}$es naturalmente isomorfo al functor${\displaystyle E\otimes _{R}-}$. Dado que las equivalencias son necesariamente exactas y conmutan con sumas directas, esto implica que R y S son Morita equivalentes si y solo si existen bimódulos _R M _S y _S N _R tales que${\displaystyle M\otimes _{S}N\cong R}$como ( R , R )-bimódulos y${\displaystyle N\otimes _{R}M\cong S}$como ( S , S )-bimódulos. Además, N y M están relacionados mediante un isomorfismo de ( S , R )-bimódulos:${\displaystyle N\cong \operatorname {Hom} (M_{S},S_{S})}$.

Más concretamente, dos anillos R y S son equivalentes de Morita si y solo si${\displaystyle S\cong \operatorname {End} (P_{R})}$para un módulo progenerador P _R , ^{[ 4 ]} lo cual es el caso si y solo si

${\displaystyle S\cong e\mathbb {M} _{n}(R)e}$

(isomorfismo de anillos) para algún entero positivo n y un idempotente completo e en el anillo de matrices M _n R .

Se sabe que si R es Morita equivalente a S , entonces el anillo Z( R ) es isomorfo al anillo Z( S ), donde Z(-) denota el centro del anillo, y además R / J ( R ) es Morita equivalente a S / J ( S ), donde J (-) denota el radical de Jacobson .

Si bien los anillos isomorfos son Morita equivalentes, los anillos Morita equivalentes pueden no ser isomorfos. Un ejemplo sencillo es que un anillo de división D es Morita equivalente a todos sus anillos de matrices M _n D , pero no puede ser isomorfo cuando n > 1. En el caso especial de los anillos conmutativos, los anillos Morita equivalentes son en realidad isomorfos. Esto se deduce inmediatamente del comentario anterior, ya que si R es Morita equivalente a S entonces  ${\displaystyle R=\operatorname {Z} (R)\cong \operatorname {Z} (S)=S}$.

Muchas propiedades se conservan mediante el functor de equivalencia para los objetos en la categoría de módulos. En términos generales, cualquier propiedad de los módulos definida puramente en términos de módulos y sus homomorfismos (y no a sus elementos subyacentes o anillo) es una propiedad categórica que se conservará mediante el functor de equivalencia. Por ejemplo, si F (-) es el functor de equivalencia de R-Mod a S-Mod , entonces el módulo R M tiene cualquiera de las siguientes propiedades si y solo si el módulo S F ( M ) las tiene: inyectivo , proyectivo , plano , fiel , simple , semisimple , finitamente generado , finitamente presentado , artiniano y noetheriano . Ejemplos de propiedades que no necesariamente se conservan incluyen ser libre y ser cíclico .

Muchas propiedades de la teoría de anillos se expresan en términos de sus módulos, por lo que se conservan entre anillos equivalentes de Morita. Las propiedades compartidas entre anillos equivalentes se denominan propiedades invariantes de Morita . Por ejemplo, un anillo R es semisimple si y solo si todos sus módulos son semisimples, y dado que los módulos semisimples se conservan bajo la equivalencia de Morita, un anillo equivalente S también debe tener todos sus módulos semisimples y, por lo tanto, ser un anillo semisimple.

A veces no resulta obvio de inmediato por qué se debe preservar una propiedad. Por ejemplo, utilizando una definición estándar de anillo regular de von Neumann (para todo a en R , existe x en R tal que a  = axa ), no está claro que un anillo equivalente también deba ser regular de von Neumann. Sin embargo, otra formulación es: un anillo es regular de von Neumann si y solo si todos sus módulos son planos. Dado que la planitud se preserva bajo la equivalencia de Morita, ahora está claro que la regularidad de von Neumann es invariante de Morita. 

Las siguientes propiedades son invariantes de Morita:

• simple , semisimple
• von Neumann regular
• noetheriano derecho (o izquierdo) , artiniano derecho (o izquierdo)
• autoinyección derecha (o izquierda)
• cuasi-Frobenius
• primo , primitivo derecho (o izquierdo) , semiprimo , semiprimitivo
• derecha (o izquierda) (semi)hereditaria
• derecha (o izquierda) no singular
• derecha (o izquierda) coherente
• semiprimaria , perfecta derecha (o izquierda) , semiperfecta
• semilocal

Ejemplos de propiedades que no son invariantes de Morita incluyen conmutativa , local , reducida , de dominio , Goldie derecha (o izquierda) , Frobenius , número de base invariante y Dedekind finita .

Existen al menos otras dos pruebas para determinar si una propiedad de anillo es o no${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es invariante de Morita. Un elemento e en un anillo R es un idempotente completo cuando e ²  = e y ReR = R .   

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es invariante de Morita si y solo si siempre que un anillo R satisface${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, entonces también eRe para cada idempotente completo e y también cada anillo de matrices M _n R para cada entero positivo n ;

o

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es invariante de Morita si y solo si: para cualquier anillo R y idempotente completo e en R , R satisface${\displaystyle {\mathcal {P}}}$si y solo si el anillo eRe satisface${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Dual a la teoría de equivalencias es la teoría de dualidades entre las categorías de módulos, donde los functores utilizados son contravariantes en lugar de covariantes. Esta teoría, aunque similar en forma, presenta diferencias significativas, ya que no existe dualidad entre las categorías de módulos para ningún anillo, si bien pueden existir dualidades para subcategorías . En otras palabras, dado que los módulos de dimensión infinita no son generalmente reflexivos , la teoría de dualidades se aplica más fácilmente a álgebras finitamente generadas sobre anillos noetherianos. Quizás no sea sorprendente que el criterio anterior tenga un análogo para dualidades, donde el isomorfismo natural se expresa en términos del functor hom en lugar del functor tensorial .

La equivalencia de Morita también puede definirse en situaciones más estructuradas, como en el caso de los grupoides simplécticos y las C*-álgebras . En el caso de las C*-álgebras, se necesita una equivalencia de tipo más fuerte, denominada equivalencia de Morita fuerte , para obtener resultados útiles en aplicaciones, debido a la estructura adicional de las C*-álgebras (derivada de la operación * involutiva ) y también porque las C*-álgebras no necesariamente tienen un elemento identidad.

Si dos anillos son Morita equivalentes, existe una equivalencia inducida de las respectivas categorías de módulos proyectivos, ya que las equivalencias de Morita preservan secuencias exactas (y, por lo tanto, módulos proyectivos). Dado que la K-teoría algebraica de un anillo se define (en el enfoque de Quillen ) en términos de los grupos de homotopía del espacio clasificador (aproximadamente) del nervio de la (pequeña) categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre el anillo, los anillos Morita equivalentes deben tener K-grupos isomorfos.

• Reiner, I. (2003). Órdenes máximas . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie. Vol.  28. Oxford University Press . págs. 154–169 . ISBN  0-19-852673-3. Zbl 1024.16008 .