álgebra de Frobenius

Recientemente, se ha visto que desempeñan un papel importante en el tratamiento algebraico y el fundamento axiomático de la teoría cuántica de campos topológica . Un álgebra de Frobenius conmutativa determina de forma única (salvo isomorfismo) una TQFT (1+1)-dimensional. Más precisamente, la categoría de Frobenius conmutativa${\displaystyle K}$-álgebras es equivalente a la categoría de functores monoidales fuertes simétricos de${\displaystyle 2}$-${\displaystyle {\textbf {Cob}}}$(la categoría de cobordismos bidimensionales entre variedades unidimensionales) a${\displaystyle {\textbf {Vect}}_{K}}$(la categoría de espacios vectoriales sobre${\displaystyle K}$).

La correspondencia entre las teorías cuánticas de campos topológicas y las álgebras de Frobenius se presenta a continuación:

• Las variedades unidimensionales son uniones disjuntas de círculos: una TQFT asocia un espacio vectorial con un círculo, y el producto tensorial de espacios vectoriales con una unión disjunta de círculos,
• una TQFT asocia (funcionalmente) a cada cobordismo entre variedades un mapeo entre espacios vectoriales,
• El mapa asociado a un par de pantalones (un cobordismo entre 1 círculo y 2 círculos) proporciona un mapa de producto.${\displaystyle V\otimes V\to V}$o un mapa de coproductos${\displaystyle V\to V\otimes V}$, dependiendo de cómo se agrupen los componentes del límite, que es conmutativo o coconmutativo, y
• El mapa asociado a un disco da una counidad (traza) o una unidad (escalar), dependiendo de la agrupación del límite.

Esta relación entre las álgebras de Frobenius y las TQFT (1+1)-dimensionales se puede utilizar para explicar la categorificación de Khovanov del polinomio de Jones . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Sea B un subanillo que comparte el elemento identidad de un anillo asociativo unitario A. Esto también se conoce como extensión de anillo A | B. Dicha extensión de anillo se llama de Frobenius si

• Existe una aplicación lineal E : A → B que satisface la condición de bimodulo E ( bac ) = bE ( a ) c para todo b,c ∈ B y a ∈ A .
• Hay elementos en A denotados${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$y${\displaystyle \{y_{i}\}_{i=1}^{n}}$de tal manera que para todo a ∈ A tenemos:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E(ax_{i})y_{i}=a=\sum _{i=1}^{n}x_{i}E(y_{i}a)}$

El mapa E a veces se denomina homomorfismo de Frobenius y los elementos${\displaystyle x_{i},y_{i}}$como bases duales. (Como ejercicio, es posible dar una definición equivalente de extensión de Frobenius como un objeto álgebra-coálgebra de Frobenius en la categoría de B - B -bimódulos, donde las ecuaciones dadas anteriormente se convierten en las ecuaciones de counidad para la counidad E. )

Por ejemplo, un álgebra de Frobenius A sobre un anillo conmutativo K , con forma bilineal no degenerada asociativa (-,-) y K-bases proyectivas${\displaystyle x_{i},y_{i}}$es una extensión de Frobenius A | K con E(a) = ( a ,1). Otros ejemplos de extensiones de Frobenius son pares de álgebras de grupo asociadas a un subgrupo de índice finito, subálgebras de Hopf de un álgebra de Hopf semisimple, extensiones de Galois y ciertos subfactores de álgebra de von Neumann de índice finito. Otra fuente de ejemplos de extensiones de Frobenius (y versiones retorcidas) son ciertos pares de subálgebras de álgebras de Frobenius, donde la subálgebra se estabiliza mediante el automorfismo simetrizante del álgebra superior.

Los detalles del ejemplo del anillo de grupo son la siguiente aplicación de nociones elementales en teoría de grupos _. Sea G un grupo y H un subgrupo de índice finito n en G ; sean g₁ , ..., gₙ representantes de clases laterales izquierdas, de modo que _G sea una unión disjunta de las clases laterales g₁H , ..., gₙH . Sobre cualquier anillo base conmutativo k, definimos las álgebras de grupo _{A =} k [ G ] y B = k [ H ] , de modo que B sea una subálgebra de A. Definimos un homomorfismo de Frobenius E : A → B haciendo que E ( h ) = h para todo h en H , y E ( g ) = 0 para g que no está en H : extendemos esto linealmente desde los elementos del grupo base a todo A , de modo que se obtiene la proyección del bimódulo B - B 

${\displaystyle E\left(\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{h\in H}n_{h}h\ \ \ {\text{ para }}n_{g}\in k}$

(La condición de ortonormalidad${\displaystyle E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1}$(sigue.) La base dual viene dada por${\displaystyle x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}}$, desde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g_{i}E\left(g_{i}^{-1}\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{i}\sum _{h\in H}n_{g_{i}h}g_{i}h=\sum _{g\in G}n_{g}g}$

La otra ecuación de base dual puede derivarse de la observación de que G también es una unión disjunta de las clases laterales derechas.${\displaystyle Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}}$.

Asimismo, las extensiones de Hopf-Galois son extensiones de Frobenius según un teorema de Kreimer y Takeuchi de 1989. Un ejemplo sencillo de esto es un grupo finito G que actúa mediante automorfismos sobre un álgebra A con subálgebra de invariantes:

${\displaystyle B=\{x\in A\mid \forall g\in G,g(x)=x\}.}$

Según el criterio de DeMeyer, A es G -Galois sobre B si hay elementos${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}}$En una experiencia satisfactoria:

${\displaystyle \forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}a_{i}g(b_{i})=\delta _{g,1_{G}}1_{A}}$

de donde también

${\displaystyle \forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}g(a_{i})b_{i}=\delta _{g,1_{G}}1_{A}.}$

Entonces A es una extensión de Frobenius de B con E : A → B definida por

${\displaystyle E(a)=\sum _{g\in G}g(a)}$

lo cual satisface

${\displaystyle \forall x\in A:\ \ \sum _{i=1}^{n}E(xa_{i})b_{i}=x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E(b_{i}x).}$

(Además, un ejemplo de una extensión de álgebra separable desde${\textstyle e=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}b_{i}}$es un elemento de separabilidad que satisface ea = ae para todo a en A , así como${\textstyle \sum _ {i=1}^{n}a_ {i}b_ {i} = 1}$. También un ejemplo de un subanillo de profundidad dos ( B en A ) ya que

${\displaystyle a\otimes _{B}1=\sum _{g\in G}t_{g}g(a)}$

dónde

${\displaystyle t_{g}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}g(b_{i})}$

para cada g en G y a en A .)

Las extensiones de Frobenius tienen una teoría bien desarrollada de representaciones inducidas investigada en artículos de Kasch y Pareigis, Nakayama y Tzuzuku en las décadas de 1950 y 1960. Por ejemplo, para cada B -módulo M , el módulo inducido A ⊗ _B M (si M es un módulo izquierdo) y el módulo co-inducido Hom _B ( A, M ) son naturalmente isomorfos como A -módulos (como ejercicio se define el isomorfismo dado E y bases duales). El teorema del anillo de endomorfismo de Kasch de 1960 establece que si A | B es una extensión de Frobenius, entonces también lo es A → End( A _B ) donde el mapeo está dado por a ↦ λ _a ( x ) y λ _a ( x ) = ax para cada a,x ∈ A . Los teoremas de anillos de endomorfismo y sus recíprocos fueron investigados posteriormente por Mueller, Morita, Onodera y otros.

Como ya se insinuó en el párrafo anterior, las extensiones de Frobenius tienen una formulación categórica equivalente. Es decir, dada una extensión de anillo${\displaystyle S\subset R}$, el functor de inducción inducida${\displaystyle R\otimes _{S}-\colon {\text{Mod}}(S)\to {\text{Mod}}(R)}$La extensión de anillo de la categoría de, por ejemplo, S- módulos izquierdos a la categoría de R- módulos izquierdos tiene un adjunto izquierdo y un adjunto derecho, denominados correstricción y restricción, respectivamente. La extensión de anillo se denomina de Frobenius si y solo si el adjunto izquierdo y el adjunto derecho son isomorfos de forma natural. ^{[ 8 ]}

Esto conduce a la abstracción obvia a la teoría de categorías ordinaria: una adjunción${\displaystyle F\dashv G}$se denomina adjunción de Frobenius si y solo si también${\displaystyle G\dashv F}$Un functor F es un functor de Frobenius si forma parte de una adjunción de Frobenius, es decir, si tiene adjuntos izquierdos y derechos isomorfos.