Paquete proyectivo

En matemáticas , un fibrado proyectivo es un fibrado cuyas fibras son espacios proyectivos .

Por definición, un esquema X sobre un esquema noetheriano S es un fibrado P ⁿ si localmente es un espacio proyectivo n ; es decir,${\displaystyle X\times _{S}U\simeq \mathbb {P} _{U}^{n}}$y los automorfismos de transición son lineales. Sobre un esquema regular S como una variedad lisa , todo fibrado proyectivo es de la forma${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$para algún haz vectorial ( haz localmente libre ) E . ^{[ 1 ]}

Todo fibrado vectorial sobre una variedad X genera un fibrado proyectivo al tomar los espacios proyectivos de las fibras, pero no todos los fibrados proyectivos surgen de esta manera: existe una ^obstrucción en el grupo de cohomología H₂ ( X , O*). Para comprender el motivo, recordemos que un fibrado proyectivo viene equipado con funciones de transición en intersecciones dobles de una cubierta abierta adecuada. En superposiciones triples, cualquier elevación de estas funciones de transición satisface la condición de cociclo salvo una función invertible. El conjunto de estas funciones forma un 2-cociclo que se anula en H₂ ( ^X , O*) solo si el fibrado proyectivo es la proyectividad de un fibrado vectorial. En particular, si X es una superficie de Riemann compacta, entonces H₂ ( X , O*) = 0, y por ^lo tanto esta obstrucción desaparece.

El fibrado proyectivo de un fibrado vectorial E es lo mismo que el fibrado de Grassmann.${\displaystyle G_{1}(E)}$de planos 1 en E .

El fibrado proyectivo P ( E ) de un fibrado vectorial E se caracteriza por la propiedad universal que dice: ^{[ 2 ]}

Dado un morfismo f : T → X , factorizar f a través del mapa de proyección p : P ( E ) → X es especificar un subfibrado de línea de f ^* E .

Por ejemplo, tomando f como p , se obtiene el subfibrado de líneas O (-1) de p ^* E , llamado fibrado de líneas tautológico en P ( E ). Además, este O (-1) es un fibrado universal en el sentido de que cuando un fibrado de líneas L da una factorización f = p ∘ g , L es el retroceso de O (-1) a lo largo de g . Véase también Cono# O (1) para una construcción más explícita de O (-1).

En P ( E ), existe una sucesión exacta natural (llamada sucesión exacta tautológica):

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} (E)}(-1)\to p^{*}E\to Q\to 0}$

donde Q se denomina haz cociente tautológico.

Sean E ⊂ F haces vectoriales (haces localmente libres de rango finito) en X y G = F / E. Sea q : P ( F ) → X la proyección. Entonces, la aplicación natural O (-1) → q ^* F → q ^* G es una sección global del haz hom Hom( O (-1), q ^* G) = q ^* G ⊗ O (1) . Además, esta aplicación natural se anula en un punto exactamente cuando el punto es una línea en E ; en otras palabras, el lugar de ceros de esta sección es P ( E ).

Un ejemplo particularmente útil de esta construcción se da cuando F es la suma directa E ⊕ 1 de E y el fibrado de líneas trivial (es decir, el haz de estructura). Entonces P ( E ) es un hiperplano en P ( E ⊕ 1), llamado hiperplano en el infinito, y el complemento de P ( E ) puede identificarse con E . De esta manera, P ( E ⊕ 1) se denomina completación proyectiva (o "compactificación") de E .

El fibrado proyectivo P ( E ) es estable bajo torsión E por un fibrado de líneas; precisamente, dado un fibrado de líneas L , existe el isomorfismo natural:

${\displaystyle g:\mathbf {P} (E){\overset {\sim }{\to }}\mathbf {P} (E\otimes L)}$

de tal manera que${\displaystyle g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.}$^{[ 3 ]} (De hecho, se obtienegmediante la propiedad universal aplicada al fibrado de líneas de la derecha.)

Se pueden encontrar muchos ejemplos no triviales de haces proyectivos utilizando fibraciones sobre${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$como las fibraciones de Lefschetz . Por ejemplo, una superficie K3 elíptica.${\displaystyle X}$es una superficie K3 con una fibración

${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} ^{1}}$

de tal manera que las fibras${\displaystyle E_{p}}$para${\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{1}}$son curvas genéricamente elípticas. Debido a que toda curva elíptica es una curva de género 1 con un punto distinguido, existe una sección global de la fibración. Debido a esta sección global, existe un modelo de${\displaystyle X}$dando un morfismo al fibrado proyectivo ^{[ 4 ]}

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})}$

definido por la ecuación de Weierstrass

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}$

dónde${\displaystyle x,y,z}$representan las coordenadas locales de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$, respectivamente, y los coeficientes

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))}$

son secciones de gavillas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$. Nótese que esta ecuación está bien definida porque cada término en la ecuación de Weierstrass tiene un grado total${\displaystyle 12}$(es decir, el grado del coeficiente más el grado del monomio. Por ejemplo,${\displaystyle {\text{grados}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$).

Los haces de contacto , y más generalmente los haces de Grassmann , son haces proyectivos. El haz tangente unitario de una variedad riemanniana es un recubrimiento doble de su haz tangente proyectivo .

Sea X una variedad proyectiva suave compleja y E un fibrado vectorial complejo de rango r sobre ella. Sea p : P ( E ) → X el fibrado proyectivo de E . Entonces el anillo de cohomología H ^* ( P ( E )) es un álgebra sobre H ^* ( X ) a través del retroceso p ^* . Entonces la primera clase de Chern ζ = c ₁ ( O (1)) genera H ^* ( P ( E )) con la relación

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

donde c _i ( E ) es la i -ésima clase de Chern de E . Una característica interesante de esta descripción es que se pueden definir las clases de Chern como los coeficientes en la relación; este es el enfoque adoptado por Grothendieck.

En campos distintos del campo complejo, la misma descripción sigue siendo válida con el anillo de Chow en lugar del anillo de cohomología (asumiendo aún que X es liso). En particular, para los grupos de Chow, existe la descomposición en suma directa.

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X).}$

Como se demostró, esta descomposición sigue siendo válida incluso si X no es suave ni proyectivo. ^{[ 5 ]} En contraste, A _k ( E ) = A _{k - r} ( X ), a través del homomorfismo de Gysin , moralmente porque las fibras de E , los espacios vectoriales, son contraíbles.

• Construcción de proyectos
• cono (geometría algebraica)
• superficie reglada (un ejemplo de fibrado proyectivo)
• variedad Severi-Brauer
• Superficie de Hirzebruch

• Elencwajg, G.; Narasimhan, MS (1983), "Haces proyectivos en un toro complejo", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1983 (340): 1– 5, doi : 10.1515/crll.1983.340.1 , ISSN 0075-4102 , MR 0691957 , S2CID 122557310   
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol.  2 (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323 
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157