Relación cruzada

En geometría , la razón anarmónica , también llamada razón doble o razón anarmónica , es un número asociado a una lista de cuatro puntos colineales , particularmente puntos en una línea proyectiva . Dados cuatro puntos A , B , C , D en una línea, su razón anarmónica se define como

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$

donde la orientación de la línea determina el signo de cada distancia y la distancia se mide proyectada en el espacio euclidiano . (Si uno de los cuatro puntos es el punto de la línea en el infinito, entonces las dos distancias que involucran ese punto se eliminan de la fórmula). El punto D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B precisamente si la razón anarmónica de la cuádrupla es −1 , llamada razón armónica . Por lo tanto, la razón anarmónica puede considerarse como una medida de la desviación de la cuádrupla con respecto a esta razón; de ahí el nombre de razón anarmónica .

La razón antagónica se conserva mediante transformaciones fraccionarias lineales . Es esencialmente el único invariante proyectivo de una cuádrupla de puntos colineales; esto subraya su importancia para la geometría proyectiva .

La razón cruzada se definió en la antigüedad, posiblemente ya por Euclides , y fue considerada por Pappus , quien destacó su propiedad clave de invariancia. Fue ampliamente estudiada en el siglo XIX. ^{[ 1 ]}

Existen variantes de este concepto para un conjunto cuádruple de líneas concurrentes en el plano proyectivo y para un conjunto cuádruple de puntos en la esfera de Riemann . En el modelo de geometría hiperbólica de Cayley-Klein , la distancia entre puntos se expresa en términos de una determinada razón antagónica.

Pappus de Alejandría utilizó implícitamente conceptos equivalentes a la razón antagónica en su Colección: Libro VII . Entre los primeros usuarios de Pappus se encuentran Isaac Newton , Michel Chasles y Robert Simson . En 1986, Alexander Jones realizó una traducción del original de Pappus y posteriormente escribió un comentario sobre la relación entre los lemas de Pappus y la terminología moderna. ^{[ 2 ]}

El uso moderno de la razón anarmónica en geometría proyectiva comenzó con Lazare Carnot en 1803 con su libro Géométrie de Position . ^{[ 3 ]} Chasles acuñó el término francés rapport anharmonique [razón anarmónica] en 1837. ^{[ 4 ]} Los geómetras alemanes lo llaman das Doppelverhältnis [doble razón].

Carl von Staudt no estaba satisfecho con las definiciones anteriores de la razón antagónica, que se basaban en la manipulación algebraica de distancias euclidianas en lugar de fundamentarse puramente en conceptos sintéticos de geometría proyectiva. En 1847, von Staudt demostró que la estructura algebraica está implícita en la geometría proyectiva, al crear un álgebra basada en la construcción del conjugado armónico proyectivo , al que denominó lanzamiento (en alemán: Wurf ): dados tres puntos en una línea, el conjugado armónico es un cuarto punto que hace que la razón antagónica sea igual a −1 . Su álgebra de lanzamientos proporciona una aproximación a proposiciones numéricas, generalmente consideradas axiomas, pero demostradas en geometría proyectiva. ^{[ 5 ]}

El término inglés "cross-ratio" fue introducido en 1878 por William Kingdon Clifford . ^{[ 6 ]}

Si A , B , C y D son cuatro puntos en una línea afín orientada , su razón cruzada es:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:BC}{AD:BD}},}$

con la notación${\displaystyle WX:YZ}$Se define como la razón con signo del desplazamiento de W a X al desplazamiento de Y a Z. Para desplazamientos colineales, esta es una cantidad adimensional .

Si se considera que los desplazamientos son números reales con signo, entonces la razón cruzada entre puntos se puede escribir

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{BC}}{\bigg /}{\frac {AD}{BD}}={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}.}$

Si${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$es la recta real extendida proyectivamente , la razón antagónica de cuatro números distintos${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$en${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$es dado por

${\displaystyle (x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\bigg /}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{1})}}.}$

Cuando uno de${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$es el punto en el infinito (${\displaystyle \infty }$), esto se reduce a, por ejemplo

${\displaystyle (\infty ,x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {(x_{3}-\infty )(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-\infty )}}={\frac {(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})}}.}$

Las mismas fórmulas se pueden aplicar a cuatro números complejos distintos o, más generalmente, a elementos de cualquier cuerpo , y también se pueden extender proyectivamente como se indicó anteriormente al caso en que uno de ellos sea${\displaystyle \infty ={\tfrac {1}{0}}.}$

La razón cruzada se puede definir, por ejemplo, para haces de líneas, círculos o cónicas. Por ejemplo, la razón cruzada de${\displaystyle 4}$Los círculos coaxiales se pueden definir de numerosas maneras equivalentes:

• Dejar${\displaystyle A}$sea ​​un punto de intersección de los círculos en su eje radical, si existe. Entonces, la razón antagónica de los círculos se puede definir como la razón antagónica de las tangentes a los círculos que pasan por${\displaystyle A}$.
• De manera más general, dado cualquier punto del plano, el${\displaystyle 4}$Las polares de este punto con respecto a esos círculos son concurrentes y su razón antagónica no depende del punto elegido.
• Tomando las líneas ortogonales a las tangentes en${\displaystyle A}$y proyectando sobre la línea en la que se encuentran los centros de los círculos, deducimos que es igual a la razón antagónica de los centros de los círculos.
• Se puede demostrar mediante una inversión que la razón anarmónica de estos círculos se puede definir de forma equivalente como la razón anarmónica de los segundos puntos de intersección distintos de${\displaystyle A}$de un círculo (y en un caso degenerado una línea) que pasa por${\displaystyle A}$.

La razón antagónica de los cuatro puntos colineales A , B , C y D se puede escribir como

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:CB}{AD:DB}}}$

dónde${\textstyle AC:CB}$describe la razón con la que el punto C divide el segmento de línea AB y${\textstyle AD:DB}$describe la razón con la que el punto D divide ese mismo segmento de línea. La razón cruzada aparece entonces como una razón de razones, que describe cómo se sitúan los dos puntos C y D con respecto al segmento de línea AB . Siempre que los puntos A , B , C y D sean distintos, la razón cruzada ( A , B ; C , D ) será un número real distinto de cero. Podemos deducir fácilmente que

• ( A , B ; C , D ) < 0 si y solo si uno de los puntos C o D se encuentra entre los puntos A y B y el otro no.
• ( A , B ; C , D ) = 1 / ( A , B ; D , C )
• ( A , B ; C , D ) = ( C , D ; A , B )
• ( A , B ; C , D ) ≠ ( A , B ; C , E ) ⇔ D ≠ E

La razón anarmónica es un invariante proyectivo en el sentido de que se conserva bajo las transformaciones proyectivas de una línea proyectiva.

En particular, si cuatro puntos se encuentran en una línea recta${\textstyle L}$en${\textstyle {\mathbf {R}}^{2}}$Entonces, su razón antagónica es una cantidad bien definida, porque cualquier elección del origen e incluso de la escala en la línea dará como resultado el mismo valor de la razón antagónica.

Además, dejemos${\textstyle \{L_{i}\mid 1\leq i\leq 4\}}$sean cuatro líneas distintas en el plano que pasan por el mismo punto.${\textstyle Q}$. Entonces cualquier línea${\textstyle L}$no pasar por${\textstyle Q}$interseca estas líneas en cuatro puntos distintos${\textstyle P_{i}}$(si${\textstyle L}$es paralelo a${\textstyle L_{i}}$Entonces, el punto de intersección correspondiente está "en el infinito"). Resulta que la razón antagónica de estos puntos (tomados en un orden fijo) no depende de la elección de una línea.${\textstyle L}$y por lo tanto es un invariante de la cuádrupla de líneas${\textstyle L_{i}.}$

Esto se puede entender de la siguiente manera: si${\textstyle L}$y${\textstyle L'}$son dos líneas que no se cruzan${\textstyle Q}$luego la transformación de perspectiva de${\textstyle L}$a${\textstyle L'}$con el centro${\textstyle Q}$es una transformación proyectiva que toma la cuádruple${\textstyle \{P_{i}\}}$de puntos en${\textstyle L}$en el cuádruple${\textstyle \{P_{i}'\}}$de puntos en${\textstyle L'}$.

Por lo tanto, la invariancia de la razón antagónica bajo automorfismos proyectivos de la recta implica (de hecho, es equivalente a) la independencia de la razón antagónica de los cuatro puntos colineales .${\textstyle \{P_{i}\}}$en las líneas${\textstyle \{L_{i}\}}$de la elección de la línea que los contiene.

Si cuatro puntos colineales se representan en coordenadas homogéneas mediante vectores${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$de tal manera que${\displaystyle \gamma =a\alpha +b\beta }$y${\displaystyle \delta =c\alpha +d\beta }$, entonces su razón cruzada es${\displaystyle (b/a)/(d/c)}$. ^{[ 7 ]}

Arthur Cayley y Felix Klein encontraron una aplicación de la razón antagónica a la geometría no euclidiana . Dada una cónica no singular${\displaystyle C}$en el plano proyectivo real , su estabilizador${\displaystyle G_{C}}$en el grupo proyectivo${\displaystyle G=\operatorname {PGL} (3,\mathbb {R} )}$actúa transitivamente sobre los puntos en el interior de${\displaystyle C}$Sin embargo, existe un invariante para la acción de${\displaystyle G_{C}}$en pares de puntos. De hecho, cada invariante de este tipo se puede expresar como una función de la razón cruzada apropiada. ^{[ 8 ]}

La razón cruzada puede definirse mediante cualquiera de estas cuatro expresiones:

${\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).}$

Estas difieren por las siguientes permutaciones de las variables (en notación cíclica ):

${\displaystyle 1,\ (\,A\,B\,)(\,C\,D\,),\ (\,A\,C\,)(\,B\,D\,),\ (\,A\,D\,)(\,B\,C\,).}$

Podemos considerar las permutaciones de las cuatro variables como una acción del grupo simétrico S ₄ sobre funciones de las cuatro variables. Dado que las cuatro permutaciones anteriores dejan inalterada la razón cruzada, forman el estabilizador K de la razón cruzada bajo esta acción, y esto induce una acción efectiva del grupo cociente.${\displaystyle \mathrm {S} _ {4}/K}$en la órbita de la razón cruzada. Las cuatro permutaciones en K proporcionan una realización del grupo de cuatro Klein en S ₄ , y el cociente${\displaystyle \mathrm {S} _ {4}/K}$es isomorfo al grupo simétrico S ₃ .

Así, las demás permutaciones de las cuatro variables alteran la razón cruzada para dar los siguientes seis valores, que son la órbita del grupo de seis elementos.${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K\cong \mathrm {S} _{3}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda ,\\[4mu](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}$

Como funciones de${\displaystyle \lambda ,}$Estos son ejemplos de transformaciones de Möbius _, que bajo la composición de funciones forman el grupo de Möbius PGL(2, C ) . Las seis transformaciones forman un subgrupo conocido como el grupo anarmónico , nuevamente isomorfo a S3 . Son los elementos de torsión ( transformaciones elípticas ) en PGL (2, C ) . A saber,${\textstyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$,${\displaystyle 1-\lambda \,}$, y${\textstyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$son de orden 2 con puntos fijos respectivos${\displaystyle -1,}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$y${\displaystyle 2,}$(es decir, la órbita de la razón cruzada armónica). Mientras tanto, los elementos ${\textstyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$y${\textstyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$son de orden 3 en PGL(2, C ) , y cada uno fija ambos valores${\textstyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$de la razón cruzada "más simétrica" ​​(las soluciones a${\displaystyle x^{2}-x+1}$, las sextas raíces primitivas de la unidad ). Los elementos de orden 2 intercambian estos dos elementos (como lo hacen con cualquier par que no sean sus puntos fijos), y por lo tanto la acción del grupo anarmónico sobre${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}$proporciona el mapa cociente de grupos simétricos${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\to \mathrm {S} _{2}}$.

Además, los puntos fijos de los ciclos 2 individuales son, respectivamente,${\displaystyle -1,}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$y${\displaystyle 2,}$y este conjunto también se conserva y permuta mediante los 3 -ciclos. Geométricamente, esto se puede visualizar como el grupo de rotación del diedro trigonal , que es isomorfo al grupo diedral del triángulo D ₃ , como se ilustra a la derecha. Algebraicamente, esto corresponde a la acción de S ₃ sobre los 2- ciclos (sus 2-subgrupos de Sylow ) por conjugación y realiza el isomorfismo con el grupo de automorfismos internos ,${\textstyle \mathrm {S} _{3}\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \operatorname {Inn} (\mathrm {S} _{3})\cong \mathrm {S} _{3}.}$

El grupo anarmónico se genera mediante${\textstyle \lambda \mapsto {\tfrac {1}{\lambda }}}$y${\textstyle \lambda \mapsto 1-\lambda .}$Su acción en${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$da un isomorfismo con S ₃ . También puede realizarse como las seis transformaciones de Möbius mencionadas, ^{[ 9 ]} que producen una representación proyectiva de S ₃ sobre cualquier cuerpo (ya que está definida con entradas enteras), y siempre es fiel/inyectiva (ya que no hay dos términos que difieran solo en 1/−1 ). Sobre el cuerpo con dos elementos, la línea proyectiva solo tiene tres puntos, por lo que esta representación es un isomorfismo, y es el isomorfismo excepcional.${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{2})}$. En la característica 3 , esto estabiliza el punto${\displaystyle -1=[-1:1]}$, lo que corresponde a que la órbita de la razón cruzada armónica sea un solo punto, ya que${\textstyle 2={\tfrac {1}{2}}=-1}$. Sobre el campo con tres elementos, la línea proyectiva tiene solo 4 puntos y${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{3})}$y, por lo tanto, la representación es exactamente el estabilizador de la razón cruzada armónica, lo que produce una incrustación.${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$es igual al estabilizador del punto${\displaystyle -1}$.

La razón anarmónica es invariante bajo las transformaciones proyectivas de la recta. En el caso de una recta proyectiva compleja , o la esfera de Riemann , estas transformaciones se conocen como transformaciones de Möbius . Una transformación de Möbius general tiene la forma

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}$

Estas transformaciones forman un grupo que actúa sobre la esfera de Riemann , el grupo de Möbius .

La invariancia proyectiva de la razón cruzada significa que

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }$

La razón antagónica es real si y solo si los cuatro puntos son colineales o concíclicos , lo que refleja el hecho de que toda transformación de Möbius mapea círculos generalizados en círculos generalizados.

La acción del grupo de Möbius es simplemente transitiva en el conjunto de ternas de puntos distintos de la esfera de Riemann: dada cualquier terna ordenada de puntos distintos,${\displaystyle (z_{2},z_{3},z_{4})}$Existe una transformación de Möbius única.${\displaystyle f(z)}$que lo mapea a la tripleta${\displaystyle (0,1,\infty )}$Esta transformación se puede describir convenientemente utilizando la razón cruzada: ya que${\displaystyle (z,z_{2};z_{3},z_{4})}$debe ser igual${\displaystyle (f(z),1;0,\infty )}$, lo cual a su vez es igual a${\displaystyle f(z)}$, obtenemos

${\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}$

Una explicación alternativa para la invariancia de la razón antagónica se basa en el hecho de que el grupo de transformaciones proyectivas de una recta se genera mediante las traslaciones, las homotecias y la inversión multiplicativa. Las diferencias${\displaystyle z_{j}-z_{k}}$son invariantes bajo las traslaciones

${\displaystyle z\mapsto z+a}$

dónde${\displaystyle a}$es una constante en el terreno${\displaystyle \mathbb {F} }$Además, las razones de división son invariantes bajo una homotecia.

${\displaystyle z\mapsto bz}$

para una constante distinta de cero${\displaystyle b}$en${\displaystyle \mathbb {F} }$Por lo tanto, la razón cruzada es invariante bajo las transformaciones afines .

Para obtener un mapeo de inversión bien definido

${\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}$

La línea afín debe ser aumentada por el punto en el infinito , denotado${\displaystyle \infty }$, formando la línea proyectiva${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$Cada mapeo afín${\displaystyle f:\mathbb {F} \to \mathbb {F} }$puede extenderse de forma única a un mapeo de${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$en sí mismo que fija el punto en el infinito. El mapa${\displaystyle T}$intercambios${\displaystyle 0}$y${\displaystyle \infty }$. El grupo proyectivo se genera por${\displaystyle T}$y los mapeos afines se extendieron a${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$En el caso${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$, el plano complejo , esto da como resultado el grupo de Möbius . Dado que la razón cruzada también es invariante bajo${\displaystyle T}$, es invariante bajo cualquier mapeo proyectivo de${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$en sí mismo.

El concepto de razón cruzada depende únicamente de las operaciones de suma, multiplicación e inversión en anillos (aunque la inversión de un elemento dado no es segura en un anillo). Un enfoque de la razón cruzada la interpreta como una homografía que asigna a tres puntos designados los valores 0, 1 e infinito . Bajo ciertas restricciones relacionadas con las inversas, es posible generar dicha aplicación mediante operaciones de anillo en la recta proyectiva sobre un anillo . La razón cruzada de cuatro puntos es la evaluación de esta homografía en el cuarto punto.

La teoría adquiere un aspecto de cálculo diferencial a medida que los cuatro puntos se aproximan. Esto conduce a la teoría de la derivada de Schwarz y, más generalmente, a la de las conexiones proyectivas .

La razón cruzada no se generaliza de manera sencilla a dimensiones superiores, debido a otras propiedades geométricas de las configuraciones de puntos, en particular la colinealidad: los espacios de configuración son más complicados y las k -tuplas distintas de puntos no están en posición general .

Si bien el grupo lineal proyectivo de la línea proyectiva es 3-transitivo (cualesquiera tres puntos distintos pueden mapearse a cualesquiera otros tres puntos), e incluso simplemente 3-transitivo (existe un único mapeo proyectivo que transforma cualquier terna en otra terna), siendo la razón cruzada el único invariante proyectivo de un conjunto de cuatro puntos, existen invariantes geométricos básicos en dimensiones superiores. El grupo lineal proyectivo del espacio n${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}$tiene ( n + 1) ² − 1 dimensiones (porque es${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),}$la proyectividad elimina una dimensión), pero en otras dimensiones el grupo lineal proyectivo es solo 2-transitivo, porque tres puntos colineales deben mapearse a tres puntos colineales (lo cual no es una restricción en la línea proyectiva), y por lo tanto no hay una "razón cruzada generalizada" que proporcione el invariante único de n ² puntos.

La colinealidad no es la única propiedad geométrica de las configuraciones de puntos que debe mantenerse; por ejemplo, cinco puntos determinan una cónica , pero seis puntos generales no se encuentran sobre una cónica, por lo que el hecho de que cualquier 6-tupla de puntos se encuentre sobre una cónica también es un invariante proyectivo. Se pueden estudiar las órbitas de puntos en posición general —en la línea "posición general" es equivalente a ser distinto, mientras que en dimensiones superiores requiere consideraciones geométricas, como se ha comentado—, pero, como indica lo anterior, esto es más complicado y menos informativo.

Sin embargo, existe una generalización a superficies de Riemann de género positivo , utilizando el mapa de Abel-Jacobi y funciones theta .

• Métrica de Hilbert

• Lars Ahlfors (1953, 1966, 1979), Análisis complejo , 1.ª edición, página 25; 2.ª y 3.ª ediciones, página 78, McGraw-Hill ISBN 0-07-000657-1.
• Viktor Blåsjö (2009), "Systematische Entwickelung de Jakob Steiner: la culminación de la geometría clásica", Mathematical Intelligencer , 31 (1): 21– 29, doi : 10.1007/s00283-008-9012-z.
• John J. Milne (1911), Un tratado elemental sobre geometría de proporciones cruzadas con notas históricas , Cambridge University Press .
• Peter J. Olver (2001), "Firmas invariantes conjuntas" , Foundations of Computational Mathematics , 1 (1): 3– 68, doi : 10.1007/s10208001001.
• Dirk Struik (1953), Lecciones de geometría analítica y proyectiva , página 7, Addison-Wesley .
• IR Shafarevich y AO Remizov (2012), Álgebra lineal y geometría , Springer ISBN 978-3-642-30993-9.

• MathPages – Kevin Brown explica la razón antagónica en su artículo sobre el Hexagrama Místico de Pascal.
• Relación cruzada en el momento de cortar el nudo
• Weisstein, Eric W. , "Ratio cruzado" , MathWorld.
• Ardila, Federico (6 de julio de 2018), "The Cross Ratio" (vídeo) , YouTube , Brady Haran , consultado el 6 de julio de 2018..