Axioma de forzamiento adecuado

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el axioma de forzamiento propio ( PFA ) es un fortalecimiento significativo del axioma de Martin , donde los forzamientos con la condición de cadena numerable (ccc) se reemplazan por forzamientos propios.

Un conjunto forzado o parcialmente ordenado${\displaystyle P}$es apropiado si para todos los cardinales regulares no contables${\displaystyle \lambda }$, forzar con P preserva subconjuntos estacionarios de${\displaystyle [\lambda ]^{\omega }}$.

El axioma de forzamiento adecuado afirma que si${\displaystyle P}$es apropiado y${\displaystyle D_{\alpha }}$es un subconjunto denso de${\displaystyle P}$para cada${\displaystyle \alpha <\omega _ {1}}$, entonces hay un filtro${\displaystyle G\subsetequ P}$de tal manera que${\displaystyle D_{\alpha }\cap G}$no es vacío para todos${\displaystyle \alpha <\omega _ {1}}$.

La clase de forzamientos adecuados a los que se puede aplicar PFA es bastante amplia. Por ejemplo, los argumentos estándar muestran que si${\displaystyle P}$es ccc o ω-cerrado , entonces${\displaystyle P}$es apropiado. Si${\displaystyle P}$es una iteración de soporte contable de forzamientos propios, entonces${\displaystyle P}$es apropiado. Fundamentalmente, todas las fuerzas apropiadas preservan${\displaystyle \aleph _{1}}$.

PFA implica directamente su versión para forzamientos ccc, el axioma de Martin . En aritmética cardinal , PFA implica${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$. PFA implica cualesquiera dos${\displaystyle \aleph _{1}}$Los subconjuntos densos de R son isomorfos, ^{[ 1 ]} cualesquiera dos árboles de Aronszajn son isomorfos en el club, ^{[ 2 ]} y todo automorfismo del álgebra booleana${\displaystyle P(\omega ){\text{/fin}}}$es trivial. ^{[ 3 ]} PFA implica que la Hipótesis de los Cardenales Singulares es válida. Una consecuencia especialmente notable demostrada por John R. Steel es que el axioma de determinabilidad es válido en L(R) , el modelo interno más pequeño que contiene los números reales. Otra consecuencia es el fracaso de los principios cuadrados y, por lo tanto, la existencia de modelos internos con muchos cardinales de Woodin .

Si existe un cardinal supercompacto , entonces existe un modelo de teoría de conjuntos en el que se cumple PFA. La demostración utiliza el hecho de que las forzaciones propias se conservan bajo iteración de soporte numerable, y el hecho de que si${\displaystyle \kappa }$es supercompacto, entonces existe una función de Laver para${\displaystyle \kappa }$.

Todavía no se sabe con precisión cuánta fuerza cardinal grande proviene de PFA, y actualmente el mejor límite inferior está un poco por debajo de la existencia de un cardinal de Woodin que es un límite de los cardinales de Woodin.

El axioma de forzamiento propio acotado (BPFA) es una variante más débil del PFA que, en lugar de subconjuntos densos arbitrarios, se aplica solo a anticadenas máximas de tamaño${\displaystyle \omega _{1}}$El máximo de Martin es la versión más fuerte posible de un axioma de forzamiento .

Los axiomas de forzamiento son candidatos viables para extender los axiomas de la teoría de conjuntos como alternativa a los axiomas de cardinales grandes .

El Teorema Fundamental de Forzamiento Propio, debido a Shelah , establece que cualquier iteración de soporte numerable de forzamientos propios es en sí misma propia. Esto se deduce del Lema de Iteración Propia, que establece que siempre que${\displaystyle (P_{\alpha })_{\alpha \leq \kappa }}$es una iteración forzada de soporte contable basada en${\displaystyle (Q_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$y${\displaystyle N}$es una subestructura elemental contable de${\displaystyle H_{\lambda }}$para un cardenal regular suficientemente grande${\displaystyle \lambda }$, y${\displaystyle P_{\kappa }\in N}$y${\displaystyle \alpha \in \kappa \cap N}$y${\displaystyle p}$es${\displaystyle (N,P_{\alpha })}$-genérico y${\displaystyle p}$efectivo${\displaystyle q\in P_{\kappa }/G_{P_{\alpha }}\cap N[G_{P_{\alpha }}]}$, entonces existe${\displaystyle r\in P_{\kappa }}$de tal manera que${\displaystyle r}$es${\displaystyle N}$-genérico y la restricción de${\displaystyle r}$a${\displaystyle P_{\alpha }}$igual${\displaystyle p}$y${\displaystyle p}$fuerza la restricción de${\displaystyle r}$a${\displaystyle [\alpha,\kappa)}$ser más fuerte o igual a${\displaystyle q}$.

Esta versión del Lema de Iteración Propia, en la que el nombre${\displaystyle q}$no se asume que esté en${\displaystyle N}$, se debe a Schlindwein. ^{[ 4 ]}

El lema de iteración propia se demuestra mediante una inducción bastante sencilla sobre${\displaystyle \kappa }$y el Teorema Fundamental de la Fuerza Propia se deduce tomando${\displaystyle \alpha =0}$.

• Stevo Todorčević
• Saharon Shelah