Número de Pitágoras

En matemáticas , el número de Pitágoras o altura reducida de un campo describe la estructura del conjunto de cuadrados en el campo. El número de Pitágoras${\displaystyle p(K)}$de un campo${\displaystyle p}$es el entero positivo más pequeño${\displaystyle p}$de tal manera que cada suma de cuadrados en${\displaystyle K}$es una suma de${\displaystyle p}$cuadrícula.

Un cuerpo pitagórico es un cuerpo con número de Pitágoras 1: es decir, toda suma de cuadrados es ya un cuadrado.

• Todo número real no negativo es un cuadrado, por lo tanto${\displaystyle p(\mathbb {R} )=1}$.
• Para un cuerpo finito de característica impar , no todos los elementos son cuadrados, pero todos son suma de dos cuadrados, ^{[ 1 ]} por lo tanto${\displaystyle p=2}$.
• Según el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , todo número racional positivo es suma de cuatro cuadrados, y no todos son sumas de tres cuadrados, por lo que${\displaystyle p(\mathbb {Q} )=4}$.

• Todo entero positivo aparece como el número de Pitágoras de algún cuerpo formalmente real . ^{[ 2 ]}

• El número de Pitágoras está relacionado con el Stufe por${\displaystyle p(F)\leq s(F)+1}$. ^{[ 3 ]} Si${\displaystyle F}$entonces no es formalmente real${\displaystyle s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1}$, ^{[ 4 ]} y ambos casos son posibles: para${\displaystyle F=\mathbb {C} }$tenemos${\displaystyle s=p=1}$, mientras que para${\displaystyle F=\mathbb {F} _{5}}$tenemos${\displaystyle s=1}$,${\displaystyle p=2}$. ^{[ 5 ]}

• Como consecuencia, el número de Pitágoras de un cuerpo no formalmente real es o bien una potencia de 2, o bien 1 más que una potencia de 2. Todos estos casos ocurren: es decir, para cada par${\displaystyle (s,p)}$de la forma${\displaystyle (2^{k},2^{k})}$o${\displaystyle (2^{k},2^{k}+1)}$, existe un campo${\displaystyle F}$de tal manera que${\displaystyle (s(F),p(F))=(s,p)}$. ^{[ 6 ]} Por ejemplo,
  • Los campos cuadráticamente cerrados y los campos de característica 2 dan${\displaystyle (s(F),p(F))=(1,1)}$;
  • para números primos${\displaystyle p\equiv 1\!\!\!\!{\pmod {4}}}$,${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$y el campo p -ádico${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$dar${\displaystyle (1,2)}$;
  • para números primos${\displaystyle p\equiv 3\!\!\!\!{\pmod {4}}}$,${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$da${\displaystyle (2,2)}$y${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$da${\displaystyle (2,3)}$;
  • ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$da${\displaystyle (4,4)}$, y
  • el campo de función${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}(t)}$da${\displaystyle (4,5)}$.

• El número de Pitágoras está relacionado con la altura de un campo.${\displaystyle F}$: si${\displaystyle F}$es formalmente real entonces${\displaystyle h(F)}$es la potencia más pequeña de 2 que no es menor que${\displaystyle p(F)}$; si${\displaystyle F}$entonces no es formalmente real${\displaystyle h(F)=2s(F)}$. ^{[ 7 ]}