Grupo Witt

En matemáticas , un grupo de Witt de un cuerpo , que recibe su nombre de Ernst Witt , es un grupo abeliano cuyos elementos están representados por formas bilineales simétricas sobre el cuerpo.

Fijemos un campo k de característica distinta de 2. Se asumirá que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita . Dos espacios equipados con formas bilineales simétricas son equivalentes si uno puede obtenerse del otro añadiendo un espacio cuadrático metabólico , es decir, cero o más copias de un plano hiperbólico , la forma bilineal simétrica bidimensional no degenerada con un vector de norma 0. ^{[ 1 ]} Cada clase está representada por la forma central de una descomposición de Witt . ^{[ 2 ]}

El grupo de Witt de k es el grupo abeliano W ( k ) de clases de equivalencia de formas bilineales simétricas no degeneradas, con la operación de grupo correspondiente a la suma directa ortogonal de formas. Se genera aditivamente mediante las clases de formas unidimensionales. ^{[ 3 ]} Aunque las clases pueden contener espacios de diferente dimensión, la paridad de la dimensión es constante en toda una clase y, por lo tanto, rk: W ( k ) → Z /2Z es un homomorfismo . ^{[ 4 ]}

Los elementos de orden finito en el grupo de Witt tienen orden potencia de 2; ^{[ 5 ] [ 6 ]} el subgrupo de torsión es el núcleo del mapa funtorial de W ( k ) a W ( k ^py ), donde k ^py es la clausura pitagórica de k ; ^{[ 7 ]} es generado por las formas de Pfister${\displaystyle \langle \!\langle w\rangle \!\rangle =\langle 1,-w\rangle }$con${\displaystyle w}$una suma de cuadrados no nula. ^{[ 8 ]} Si k no es formalmente real , entonces el grupo de Witt es torsión , con exponente una potencia de 2. ^{[ 9 ]} La altura del campo k es el exponente de la torsión en el grupo de Witt, si este es finito, o ∞ en caso contrario. ^{[ 8 ]}

Al grupo de Witt de k se le puede dar una estructura de anillo conmutativo , utilizando el producto tensorial de formas cuadráticas para definir el producto de anillos. A esto se le llama a veces anillo de Witt W ( k ), aunque el término "anillo de Witt" también se usa a menudo para un anillo completamente diferente de vectores de Witt .

Para analizar la estructura de este anillo, se supone que k tiene una característica distinta de 2, de modo que se pueden identificar formas bilineales simétricas y formas cuadráticas.

El núcleo del homomorfismo de rango módulo 2 es un ideal primo , I , del anillo de Witt ^{[ 4 ]} denominado ideal fundamental . ^{[ 10 ]} Los homomorfismos de anillos de W ( k ) a Z corresponden a los ordenamientos de cuerpos de k , tomando signatura con respecto al ordenamiento. ^{[ 10 ]} El anillo de Witt es un anillo de Jacobson . ^{[ 9 ]} Es un anillo noetheriano si y solo si hay un número finito de clases cuadradas ; es decir, si los cuadrados en k forman un subgrupo de índice finito en el grupo multiplicativo de k . ^{[ 11 ]}

Si k no es formalmente real, el ideal fundamental es el único ideal primo de W ^{[ 12 ]} y consiste precisamente en los elementos nilpotentes ; ^{[ 9 ]} W es un anillo local y tiene dimensión de Krull 0. ^{[ 13 ]}

Si k es real, entonces los elementos nilpotentes son precisamente aquellos de orden aditivo finito, y estos a su vez son las formas cuyas signaturas son todas 0; ^{[ 14 ]} W tiene dimensión de Krull 1. ^{[ 13 ]}

Si k es un cuerpo pitagórico real , entonces los divisores de cero de W son los elementos para los cuales alguna signatura es 0; de lo contrario, los divisores de cero son exactamente el ideal fundamental. ^{[ 5 ] [ 15 ]}

Si k es un cuerpo ordenado con cono positivo P, entonces la ley de inercia de Sylvester se cumple para formas cuadráticas sobre k y la signatura define un homomorfismo de anillos de W ( k ) a Z , con núcleo un ideal primo K _P. Estos ideales primos están en biyección con los ordenamientos X _k de k y constituyen el espectro mínimo de ideales primos MinSpec W ( k ) de W ( k ). La biyección es un homeomorfismo entre MinSpec W ( k ) con la topología de Zariski y el conjunto de ordenamientos X _k con la topología de Harrison . ^{[ 16 ]}

La n -ésima potencia del ideal fundamental se genera aditivamente mediante las n -ésimas formas de Pfister . ^{[ 17 ]}

• El anillo de Witt de C , y de hecho cualquier cuerpo algebraicamente cerrado o cuerpo cuadráticamente cerrado , es Z /2 Z . ^{[ 18 ]}
• El anillo de Witt ^de R es Z. ^{[ 18} ]
• El anillo de Witt de un cuerpo finito F _q con q impar es Z /4 Z si q ≡ 3 mod 4 e isomorfo al anillo de grupo ( Z /2 Z )[ F* / F* ² ] si q ≡ 1 mod 4. ^{[ 19 ]}
• El anillo de Witt de un cuerpo local con ideal maximal de norma congruente a 1 módulo 4 es isomorfo al anillo de grupo ( Z /2 Z )[ V ] donde V es el 4-grupo de Klein . ^{[ 20 ]}
• El anillo de Witt de un cuerpo local con ideal maximal de norma congruente con 3 módulo 4 es ( Z /4 Z )[ C ₂ ] donde C ₂ es un grupo cíclico de orden 2. ^{[ 20 ]}
• El anillo de Witt de Q ₂ es de orden 32 y está dado por ^{[ 21 ].}

${\displaystyle \mathbf {Z} _{8}[s,t]/\langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4\rangle }$.

Ciertos invariantes de una forma cuadrática pueden considerarse funciones definidas sobre clases de Witt. La dimensión módulo 2 es una función definida sobre clases; el discriminante también está bien definido. El invariante de Hasse de una forma cuadrática es, de nuevo, una función bien definida sobre clases de Witt con valores en el grupo de Brauer del cuerpo de definición. ^{[ 22 ]}

Sea K un campo local completo con valuación v , uniformizador π y campo residual k de característica distinta de 2. Existe una inyección W ( k ) → W ( K ) que eleva la forma diagonal ⟨ a ₁ ,... a _n ⟩ a ⟨ u ₁ ,... u _n ⟩ donde u _i es una unidad de K con imagen a _i en k . Esto produce

${\displaystyle W(K)=W(k)\oplus \langle \pi \rangle \cdot W(k)}$

identificar W ( k ) con su imagen en W ( K ). ^{[ 26 ]}

Sea K un cuerpo numérico . Para las formas cuadráticas sobre K , existe un invariante de Hasse ±1 para cada lugar finito correspondiente a los símbolos de Hilbert . Los invariantes de una forma sobre un cuerpo numérico son precisamente la dimensión, el discriminante, todos los invariantes de Hasse locales y las signaturas provenientes de incrustaciones reales. ^{[ 27 ]}

El anillo de símbolos se define sobre K , Sym( K ), como un conjunto de ternas ( d , e , f ) con d en K* / K* ² , e en Z /2 y f una secuencia de elementos ±1 indexados por los lugares de K , sujeto a la condición de que todos los términos de f , salvo un número finito , sean +1, que el valor en los lugares complejos sea +1 y que el producto de todos los términos de f sea +1. Sea [ a , b ] la secuencia de símbolos de Hilbert: satisface las condiciones sobre f que acabamos de mencionar. ^{[ 28 ]}

La suma y la multiplicación se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}][-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}}]f_{1}f_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})\cdot (d_{2},e_{2},f_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2},[d_{1},d_{2}]^{1+e_{1}e_{2}}f_{1}^{e_{2}}f_{2}^{e_{1}})}$.

Luego hay un homomorfismo de anillos sobreyectivo de W ( K ) a Sym( K ) obtenido al mapear una clase a ^un discriminante, rango módulo 2, y la secuencia de invariantes de Hasse. El núcleo es I3 . ^{[ 29 ]}

El anillo simbólico es una realización del grupo Brauer-Wall. ^{[ 30 ]}

Sea k un campo de característica distinta de 2. Las potencias del ideal I de formas de dimensión par ("ideal fundamental") en${\displaystyle W(k)}$forman una filtración descendente y se puede considerar el anillo graduado asociado , que es la suma directa de cocientes.${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$. Dejar${\displaystyle \langle a\rangle }$sea ​​la forma cuadrática${\displaystyle ax^{2}}$considerado como un elemento del anillo de Witt. Entonces${\displaystyle \langle a\rangle -\langle 1\rangle }$es un elemento de I y, en consecuencia, un producto de la forma

${\displaystyle \langle \langle a_ {1},\ldots ,a_ {n}\rangle \rangle =(\langle a_ {1}\rangle -\langle 1\rangle )\cdots (\langle a_ {n}\rangle -\langle 1\rangle )}$

es un elemento de${\displaystyle I^{n}}$. John Milnor en un artículo de 1970 ^{[ 34 ]} demostró que el mapeo de${\displaystyle (k^{*})^{n}}$a${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$que envía${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$a${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle \rangle }$es multilineal y mapea elementos de Steinberg (elementos tales que para algunos${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$de tal manera que${\displaystyle i\neq j}$uno tiene${\displaystyle a_{i}+a_{j}=1}$) a 0. Esto significa que esta aplicación define un homomorfismo del anillo de Milnor de k al anillo de Witt graduado. Milnor también demostró que este homomorfismo envía elementos divisibles por 2 a 0 y que es sobreyectivo. En el mismo artículo, formuló una conjetura afirmando que este homomorfismo es un isomorfismo para todos los cuerpos k (de característica distinta de 2). Esto se conoció como la conjetura de Milnor sobre formas cuadráticas.

La conjetura fue demostrada por Dmitry Orlov, Alexander Vishik y Vladimir Voevodsky ^{[ 35 ]} en 1996 (publicada en 2007) para el caso${\displaystyle {\textrm {char}}(k)=0}$, lo que ha llevado a una mayor comprensión de la estructura de las formas cuadráticas sobre cuerpos arbitrarios.

El anillo de Grothendieck-Witt GW es una construcción relacionada generada por clases de isometría de espacios cuadráticos no singulares, con la suma dada por la suma ortogonal y la multiplicación dada por el producto tensorial. Dado que dos espacios que difieren por un plano hiperbólico no se identifican en GW , la inversa para la suma debe introducirse formalmente a través de la construcción descubierta por Grothendieck (véase el grupo de Grothendieck ). Existe un homomorfismo natural GW → Z dado por la dimensión: un cuerpo es cuadráticamente cerrado si y solo si este es un isomorfismo. ^{[ 18 ]} Los espacios hiperbólicos generan un ideal en GW y el anillo de Witt W es el cociente. ^{[ 36 ]} La potencia exterior le da al anillo de Grothendieck-Witt la estructura adicional de un λ-anillo . ^{[ 37 ]}

Fabien Morel ^{[ 39 ] [ 40 ]} demostró que el anillo de Grothendieck-Witt de un campo perfecto es isomorfo al grupo de homotopía estable motivacional de esferas π _0,0 (S ^0,0 ) (véase " Teoría de la homotopía A¹ ").

Se dice que dos cuerpos son equivalentes de Witt si sus anillos de Witt son isomorfos.

Para los cuerpos globales existe un principio de lo local a lo global: dos cuerpos globales son equivalentes en Witt si y solo si existe una biyección entre sus lugares tal que los cuerpos locales correspondientes sean equivalentes en Witt. ^{[ 41 ]} En particular, dos cuerpos numéricos K y L son equivalentes en Witt si y solo si existe una biyección T entre los lugares de K y los lugares de L y un isomorfismo de grupo t entre sus grupos de clase cuadrada , que preserva los símbolos de Hilbert de grado 2. En este caso, el par ( T , t ) se denomina equivalencia de reciprocidad o equivalencia de símbolos de Hilbert de grado 2. ^{[ 42 ]} También se han estudiado algunas variaciones y extensiones de esta condición, como la "equivalencia de símbolos de Hilbert de grado l domesticada ". ^{[ 43 ]}

Los grupos de Witt también se pueden definir de la misma manera para formas antisimétricas , y para formas cuadráticas , y más generalmente para formas ε-cuadráticas , sobre cualquier *-anillo R.

Los grupos resultantes (y sus generalizaciones) se conocen como los grupos L simétricos de dimensión par L ^{2 k} ( R ) y los grupos L cuadráticos de dimensión par L _{2 k} ( R ). Los grupos L cuadráticos son 4-periódicos, siendo L ₀ ( R ) el grupo de Witt de formas (1)-cuadráticas (simétricas) y L ₂ ( R ) el grupo de Witt de formas (−1)-cuadráticas (antisimétricas); los grupos L simétricos no son 4-periódicos para todos los anillos, por lo que proporcionan una generalización menos exacta.

Los grupos L son objetos centrales en la teoría quirúrgica , ya que forman uno de los tres términos de la secuencia exacta de cirugía .

• Altura reducida de un campo

• Conner, Pierre E.; Perlis, Robert (1984). Un estudio de las formas traza de los cuerpos numéricos algebraicos . Serie de Matemáticas Puras. Vol.  2. World Scientific. ISBN 9971-966-05-0. Zbl 0551.10017 . 
• Garibaldi, Skip ; Merkurjev, Alexander ; Serre, Jean-Pierre (2003). Invariantes cohomológicos en la cohomología de Galois . Serie de conferencias universitarias. Vol.  28. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311 . 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  67. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR 2104929 . Zbl 1068.11023 .  
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001  
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 . 
• Milnor, Juan ; Husemoller, Dale (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol.  73. Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 . 
• Witt, Ernst (1936), "Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Korpern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 176 (3): 31– 44, Zbl 0015.05701 

• Balmer, Paul (2005). «Grupos de Witt». En Friedlander, Eric M .; Grayson, DR (eds.). Manual de la teoría K. Vol.  2. Springer-Verlag . pp. 539–579 . ISBN  3-540-23019-X. Zbl 1115.19004 . 

• Witt inaugura la enciclopedia de matemáticas de Springer.