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distancia euclidiana

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Utilizando el teorema de Pitágoras para calcular la distancia euclidiana bidimensional

En matemáticas , la distancia euclidiana entre dos puntos en un espacio euclidiano es la longitud del segmento de recta que los une. Se puede calcular a partir de las coordenadas cartesianas de los puntos utilizando el teorema de Pitágoras , por lo que a veces se la denomina distancia pitagórica .

Estos nombres provienen de los antiguos matemáticos griegos Euclides y Pitágoras . En la geometría deductiva griega, ejemplificada en los Elementos de Euclides , las distancias no se representaban con números, sino con segmentos de línea de igual longitud, considerados «iguales». La noción de distancia es inherente al compás, la herramienta que se utiliza para dibujar un círculo , cuyos vértices se encuentran a la misma distancia de un centro común . La conexión entre el teorema de Pitágoras y el cálculo de distancias no se estableció hasta el siglo XVIII.

La distancia entre dos objetos que no son puntos se define generalmente como la menor distancia entre pares de puntos que separan dichos objetos. Existen fórmulas para calcular distancias entre distintos tipos de objetos, como la distancia entre un punto y una línea . En matemáticas avanzadas, el concepto de distancia se ha generalizado a espacios métricos abstractos , y se han estudiado otras distancias además de la euclidiana. En algunas aplicaciones de estadística y optimización , se utiliza el cuadrado de la distancia euclidiana en lugar de la distancia misma.

Fórmulas de distancia

Una dimensión

La distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta real es el valor absoluto de la diferencia numérica de sus coordenadas, su diferencia absoluta . Por lo tanto, sipag{\displaystyle p}yq{\displaystyle q}son dos puntos en la recta real, entonces la distancia entre ellos viene dada por: [ 1 ]

d(pag,q)=|pag−q|.{\displaystyle d(p,q)=|pq|.}

Una fórmula más complicada, que da el mismo valor, pero que se generaliza más fácilmente a dimensiones superiores, es: [ 1 ]

d(pag,q)=(pag−q)2.{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(pq)^{2}}}.}

En esta fórmula, elevar al cuadrado y luego calcular la raíz cuadrada deja cualquier número positivo sin cambios, pero reemplaza cualquier número negativo por su valor absoluto. [ 1 ]

Dos dimensiones

En el plano euclidiano , sea el puntopag{\displaystyle p}tener coordenadas cartesianas(pag1,pag2){\displaystyle (p_{1},p_{2})}y dejar que el puntoq{\displaystyle q}tener coordenadas(q1,q2){\displaystyle (q_{1},q_{2})}. Entonces la distancia entrepag{\displaystyle p}yq{\displaystyle q}está dado por: [ 2 ]

d(pag,q)=(pag1−q1)2+(pag2−q2)2.{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.}

Esto se puede ver aplicando el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo con lados horizontales y verticales, teniendo el segmento de línea desdepag{\displaystyle p}aq{\displaystyle q}como su hipotenusa . Las dos fórmulas al cuadrado dentro de la raíz cuadrada dan las áreas de los cuadrados en los lados horizontal y vertical, y la raíz cuadrada exterior convierte el área del cuadrado en la hipotenusa en la longitud de la hipotenusa. [ 3 ] En términos de la operación de suma pitagórica⊕{\displaystyle \oplus }, disponible en muchas bibliotecas de software como hypot, la misma fórmula se puede expresar como: [ 4 ]

d(pag,q)=(pag1−q1)⊕(pag2−q2)=hypagot(pag1−q1,pag2−q2).{\displaystyle d(p,q)=(p_{1}-q_{1})\oplus (p_{2}-q_{2})={\mathsf {hypot}}(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2}).}

También es posible calcular la distancia para puntos dados por coordenadas polares . Si las coordenadas polares depag{\displaystyle p}son(r,θ){\displaystyle (r,\theta )}y las coordenadas polares deq{\displaystyle q}son(s,ψ){\displaystyle (s,\psi )}, entonces su distancia está [ 2 ] dada por la ley de los cosenos :

d(pag,q)=r2+s2−2rsporque⁡(θ−ψ).{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}

Cuandopag{\displaystyle p}yq{\displaystyle q}se expresan como números complejos en el plano complejo , se puede utilizar la misma fórmula para puntos unidimensionales expresados ​​como números reales, aunque aquí el signo de valor absoluto indica la norma compleja : [ 5 ]

d(pag,q)=|pag−q|.{\displaystyle d(p,q)=|pq|.}

Dimensiones superiores

Derivando elnorte{\displaystyle n}Fórmula de distancia euclidiana de -dimensiones mediante la aplicación repetida del teorema de Pitágoras.

En tres dimensiones, para puntos dados por sus coordenadas cartesianas, la distancia es

d(pag,q)=(pag1−q1)2+(pag2−q2)2+(pag3−q3)2.{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}

En general, para puntos dados por coordenadas cartesianas ennorte{\displaystyle n}Espacio euclidiano de -dimensiones, la distancia es [ 6 ]

d(pag,q)=(pag1−q1)2+(pag2−q2)2+⋯+(pagnorte−qnorte)2.{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}

La distancia euclidiana también puede expresarse de forma más compacta en términos de la norma euclidiana de la diferencia vectorial euclidiana : [ 7 ]

d(pag,q)=‖pag−q‖.{\displaystyle d(p,q)=\|pq\|.}

Objetos distintos de los puntos

Para pares de objetos que no son ambos puntos, la distancia se puede definir de forma más sencilla como la distancia más pequeña entre dos puntos cualesquiera de los dos objetos, aunque también se utilizan comúnmente generalizaciones más complejas de puntos a conjuntos, como la distancia de Hausdorff . [ 8 ] Las fórmulas para calcular distancias entre diferentes tipos de objetos incluyen:

La distancia de un punto a una curva se puede utilizar para definir su curva paralela , otra curva cuyos puntos tienen la misma distancia a la curva dada. [ 11 ]

Propiedades

La distancia euclidiana es el ejemplo prototípico de la distancia en un espacio métrico , [ 12 ] y obedece todas las propiedades definitorias de un espacio métrico: [ 13 ]

  • Es simétrico , lo que significa que para todos los puntospag{\displaystyle p}yq{\displaystyle q},d(pag,q)=d(q,pag){\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}. Es decir (a diferencia de la distancia por carretera con calles de sentido único) la distancia entre dos puntos no depende de cuál de los dos puntos sea el punto de partida y cuál el punto de destino. [ 13 ]
  • Es positivo , lo que significa que la distancia entre cada dos puntos distintos es un número positivo , mientras que la distancia de cualquier punto a sí mismo es cero. [ 13 ]
  • Obedece la desigualdad triangular : por cada tres puntospag{\displaystyle p},q{\displaystyle q}, yr{\displaystyle r},d(pag,q)+d(q,r)≥d(pag,r){\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}Intuitivamente, viajar desdepag{\displaystyle p}ar{\displaystyle r}a través deq{\displaystyle q}no puede ser más corto que viajar directamente desdepag{\displaystyle p}ar{\displaystyle r}. [ 13 ]

Otra propiedad, la desigualdad de Ptolomeo , se refiere a las distancias euclidianas entre cuatro puntos.pag{\displaystyle p},q{\displaystyle q},r{\displaystyle r}, ys{\displaystyle s}. Dice que

d(pag,q)⋅d(r,s)+d(q,r)⋅d(pag,s)≥d(pag,r)⋅d(q,s).{\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}

Para puntos en el plano, esto se puede reformular como que para cada cuadrilátero , la suma de los productos de los lados opuestos es al menos igual al producto de sus diagonales. Sin embargo, la desigualdad de Ptolomeo se aplica de forma más general a puntos en espacios euclidianos de cualquier dimensión, independientemente de su disposición. [ 14 ] Para puntos en espacios métricos que no son euclidianos, esta desigualdad puede no ser cierta. La geometría de la distancia euclidiana estudia propiedades de la distancia euclidiana, como la desigualdad de Ptolomeo, y su aplicación para comprobar si conjuntos de distancias dados provienen de puntos en un espacio euclidiano. [ 15 ]

Según el teorema de Beckman-Quarles , cualquier transformación del plano euclidiano o de un espacio euclidiano de dimensión superior que preserve las distancias unitarias debe ser una isometría que preserve todas las distancias. [ 16 ]

distancia euclidiana al cuadrado

Un cono , la gráfica de la distancia euclidiana desde el origen en el plano
Un paraboloide , la gráfica de la distancia euclidiana al cuadrado desde el origen.

En muchas aplicaciones, y en particular al comparar distancias, puede ser más conveniente omitir la raíz cuadrada final en el cálculo de distancias euclidianas, ya que la raíz cuadrada no cambia el orden (d12>d22{\displaystyle d_{1}^{2}>d_{2}^{2}}si y solo sid1>d2{\displaystyle d_{1}>d_{2}}El valor resultante de esta omisión es el cuadrado de la distancia euclidiana, y se denomina distancia euclidiana al cuadrado . [ 17 ] Por ejemplo, el árbol de expansión mínima euclidiana se puede determinar utilizando únicamente el orden entre las distancias, y no sus valores numéricos. Comparar las distancias al cuadrado produce el mismo resultado, pero evita un cálculo innecesario de raíz cuadrada y sortea problemas de precisión numérica. [ 18 ] Como ecuación, la distancia al cuadrado se puede expresar como una suma de cuadrados :

d2(pag,q)=(pag1−q1)2+(pag2−q2)2+⋯+(pagnorte−qnorte)2.{\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}

Más allá de su aplicación a la comparación de distancias, la distancia euclidiana al cuadrado es de vital importancia en estadística , donde se utiliza en el método de mínimos cuadrados , un método estándar para ajustar estimaciones estadísticas a datos minimizando el promedio de las distancias al cuadrado entre los valores observados y estimados, [ 19 ] y como la forma más simple de divergencia para comparar distribuciones de probabilidad . [ 20 ] La suma de distancias al cuadrado entre sí, como se hace en el ajuste de mínimos cuadrados, corresponde a una operación sobre distancias (no al cuadrado) llamada suma pitagórica . [ 21 ] En el análisis de conglomerados , las distancias al cuadrado pueden usarse para reforzar el efecto de distancias mayores. [ 17 ]

La distancia euclidiana al cuadrado no forma un espacio métrico, ya que no satisface la desigualdad triangular. [ 22 ] Sin embargo, es una función suave y estrictamente convexa de los dos puntos, a diferencia de la distancia, que no es suave (cerca de pares de puntos iguales) y es convexa, pero no estrictamente convexa. Por lo tanto, se prefiere la distancia al cuadrado en la teoría de la optimización , ya que permite utilizar el análisis convexo . Dado que elevar al cuadrado es una función monótona de valores no negativos, minimizar la distancia al cuadrado es equivalente a minimizar la distancia euclidiana, por lo que el problema de optimización es equivalente en términos de ambas, pero es más fácil de resolver utilizando la distancia al cuadrado. [ 23 ]

La colección de todas las distancias al cuadrado entre pares de puntos de un conjunto finito se puede almacenar en una matriz de distancias euclidianas y se utiliza de esta forma en la geometría de distancias. [ 24 ]

Generalizaciones

En áreas más avanzadas de las matemáticas, al considerar el espacio euclidiano como un espacio vectorial , su distancia se asocia con una norma denominada norma euclidiana , definida como la distancia de cada vector al origen . Una de las propiedades importantes de esta norma, en relación con otras normas, es que permanece invariable ante rotaciones arbitrarias del espacio alrededor del origen. [ 25 ] Según el teorema de Dvoretzky , todo espacio vectorial normado de dimensión finita posee un subespacio de alta dimensión en el que la norma es aproximadamente euclidiana; la norma euclidiana es la única norma con esta propiedad. [ 26 ] Puede extenderse a espacios vectoriales de dimensión infinita como la norma L 2 o distancia L 2. [ 27 ] La distancia euclidiana confiere al espacio euclidiano la estructura de un espacio topológico , la topología euclidiana , con las bolas abiertas (subconjuntos de puntos a una distancia menor que un valor dado de un punto dado) como sus vecindades . [ 28 ]

Comparación de las distancias de Chebyshev, euclidiana y de taxi para la hipotenusa de un triángulo 3-4-5 en un tablero de ajedrez.

Otras distancias comunes en espacios de coordenadas reales y espacios de funciones : [ 29 ]

  • Distancia de Chebyshev ( distancia L ∞ ), que mide la distancia como el máximo de las distancias en cada coordenada.
  • Distancia en taxi ( distancia L1 ), también llamada distancia de Manhattan, que mide la distancia como la suma de las distancias en cada coordenada.
  • La distancia de Minkowski ( distancia L p ), una generalización que unifica la distancia euclidiana, la distancia de taxi y la distancia de Chebyshev.

Para puntos en superficies tridimensionales, conviene distinguir la distancia euclidiana de la distancia geodésica , que es la longitud de la curva más corta que pertenece a la superficie. En particular, para medir distancias de círculo máximo en la Tierra u otras superficies esféricas o casi esféricas, se han utilizado distancias como la distancia haversine, que calcula las distancias de círculo máximo entre dos puntos en una esfera a partir de sus longitudes y latitudes, y la fórmula de Vincenty, también conocida como "distancia de Vincent", para distancias en un esferoide. [ 30 ]

Historia

La distancia euclidiana es la distancia en el espacio euclidiano . Ambos conceptos reciben su nombre del antiguo matemático griego Euclides , cuyos Elementos se convirtieron en un libro de texto estándar de geometría durante muchos siglos. [ 31 ] Los conceptos de longitud y distancia están muy extendidos en diversas culturas, y se remontan a los primeros documentos burocráticos "protoliterarios" que se conservan de Sumeria en el cuarto milenio a. C. (mucho antes de Euclides), [ 32 ] y se ha planteado la hipótesis de que se desarrollan en los niños antes que los conceptos relacionados de velocidad y tiempo. [ 33 ] Sin embargo, la noción de distancia, como un número definido a partir de dos puntos, no aparece explícitamente en los Elementos de Euclides . En cambio, Euclides aborda este concepto implícitamente, a través de la congruencia de segmentos de recta, la comparación de longitudes de segmentos de recta y el concepto de proporcionalidad . [ 34 ]

El teorema de Pitágoras también es antiguo, pero solo pudo adquirir su papel central en la medición de distancias después de la invención de las coordenadas cartesianas por René Descartes en 1637. La fórmula de la distancia en sí fue publicada por primera vez en 1731 por Alexis Clairaut . [ 35 ] Debido a esta fórmula, la distancia euclidiana también se denomina a veces distancia pitagórica. [ 36 ] Aunque las mediciones precisas de largas distancias en la superficie de la Tierra, que no son euclidianas, habían sido estudiadas nuevamente en muchas culturas desde la antigüedad (véase historia de la geodesia ), la idea de que la distancia euclidiana podría no ser la única forma de medir distancias entre puntos en espacios matemáticos llegó incluso más tarde, con la formulación del siglo XIX de la geometría no euclidiana . [ 37 ] La definición de la norma euclidiana y la distancia euclidiana para geometrías de más de tres dimensiones también apareció por primera vez en el siglo XIX, en la obra de Augustin-Louis Cauchy . [ 38 ]

Referencias

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