primo pitagórico

Un primo pitagórico es un número primo de la forma${\displaystyle 4n+1}$Los primos pitagóricos son precisamente los números primos impares que son la suma de dos cuadrados; esta caracterización es el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados .

De forma equivalente, según el teorema de Pitágoras , son los números primos impares.${\displaystyle p}$para qué${\displaystyle {\sqrt {p}}}$es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos enteros, y también son números primos.${\displaystyle p}$ para qué${\displaystyle p}$ en sí misma es la hipotenusa de un triángulo pitagórico primitivo . Por ejemplo, el número 5 es un primo pitagórico;${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 1 y 2, y el 5 mismo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 3 y 4.

Los primeros primos pitagóricos son

Según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , esta secuencia es infinita. Más concretamente, para cada${\displaystyle n}$, los números primos pitagóricos y no pitagóricos hasta${\displaystyle n}$son aproximadamente iguales. Sin embargo, el número de primos pitagóricos hasta${\displaystyle n}$es frecuentemente algo menor que el número de primos no pitagóricos; este fenómeno se conoce como sesgo de Chebyshev . ^{[ 1 ]} Por ejemplo, los únicos valores de${\displaystyle n}$hasta 600.000 para los cuales hay más primos impares pitagóricos que no pitagóricos menores o iguales a n son 26861 y 26862. ^{[ 2 ]}

La suma de un cuadrado impar y un cuadrado par es congruente con 1  mod  4, pero existen números compuestos como el 21 que son 1 mod 4 y, sin embargo, no pueden representarse como sumas de dos cuadrados. El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados establece que los números primos que pueden representarse como sumas de dos cuadrados son exactamente 2 y los primos impares congruentes con 1 mod 4. ^{[ 3 ]} La representación de cada uno de estos números es única, salvo por el orden de los dos cuadrados. ^{[ 4 ]}

Utilizando el teorema de Pitágoras , esta representación puede interpretarse geométricamente: los primos pitagóricos son precisamente los números primos impares.${\displaystyle p}$de tal manera que existe un triángulo rectángulo , con catetos enteros, cuya hipotenusa tiene longitud${\displaystyle {\sqrt {p}}}$Además , son exactamente números primos .${\displaystyle p}$de tal manera que existe un triángulo rectángulo con lados enteros cuya hipotenusa tiene longitud${\displaystyle p}$. Porque, si el triángulo con catetos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$tiene longitud de hipotenusa${\displaystyle {\sqrt {p}}}$(con${\displaystyle x>y}$), luego el triángulo con patas${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$y${\displaystyle 2xy}$tiene longitud de hipotenusa${\displaystyle p}$. ^{[ 5 ]}

Otra forma de entender esta representación como una suma de dos cuadrados involucra enteros gaussianos , los números complejos cuya parte real y parte imaginaria son ambas enteras. ^{[ 6 ]} La norma de un entero gaussiano${\displaystyle x+iy}$es el número${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$Por lo tanto , los primos pitagóricos (y 2) aparecen como normas de enteros gaussianos, mientras que otros primos no. Dentro de los enteros gaussianos, los primos pitagóricos no se consideran números primos, porque se pueden factorizar como $${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy).}$$ De manera similar, sus cuadrados pueden factorizarse de una forma diferente a su factorización entera , como $${\displaystyle {\begin{aligned}p^{2}&=(x+iy)^{2}(x-iy)^{2}\\&=(x^{2}-y^{2}+2ixy)(x^{2}-y^{2}-2ixy).\\\end{aligned}}}$$ Las partes real e imaginaria de los factores en estas factorizaciones son las longitudes de los catetos de los triángulos rectángulos que tienen las hipotenusas dadas.

La ley de reciprocidad cuadrática dice que si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son primos impares distintos, al menos uno de los cuales es pitagórico, entonces${\displaystyle p}$es un módulo de residuo cuadrático${\displaystyle q}$si y solo si${\displaystyle q}$es un módulo de residuo cuadrático${\displaystyle p}$; por el contrario, si ninguno${\displaystyle p}$ni${\displaystyle q}$es pitagórico, entonces${\displaystyle p}$es un módulo de residuo cuadrático${\displaystyle q}$si y solo si${\displaystyle q}$no es un módulo de residuo cuadrático${\displaystyle p}$. ^{[ 4 ]}

En el campo finito${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$con${\displaystyle p}$un primo pitagórico, la ecuación polinómica${\displaystyle x^{2}=-1}$tiene dos soluciones. Esto puede expresarse diciendo que${\displaystyle -1}$es un módulo de residuo cuadrático${\displaystyle p}$En cambio , esta ecuación no tiene solución en los campos finitos.${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$dónde${\displaystyle p}$es un primo impar pero no es pitagórico. ^{[ 4 ]}

Por cada primo pitagórico${\displaystyle p}$, existe un gráfico de Paley con${\displaystyle p}$vértices, que representan los números módulo${\displaystyle p}$, con dos números adyacentes en el gráfico si y solo si su diferencia es un residuo cuadrático. Esta definición produce la misma relación de adyacencia independientemente del orden en que se resten los dos números para calcular su diferencia, debido a la propiedad de los primos pitagóricos que${\displaystyle -1}$es un residuo cuadrático. ^{[ 7 ]}

• Eaves, Laurence , "Números primos pitagóricos: incluyendo 5, 13 y 137" , Numberphile , Brady Haran , archivado del original el 19 de marzo de 2016 , recuperado el 2 de abril de 2013.
• Secuencia OEIS A007350 (donde la carrera de primos 4n-1 vs. 4n+1 cambia de líder)