adición pitagórica

La distancia euclidiana entre dos puntos en el plano euclidiano , dada por sus coordenadas cartesianas.${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$y${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, es ^{[ 11 ]}$${\displaystyle (x_{1}-x_{2})\oplus (y_{1}-y_{2}).}$$De la misma manera, la distancia entre puntos tridimensionales${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$y${\ Displaystyle (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$se puede encontrar mediante la suma pitagórica repetida como ^{[ 11 ]}$${\displaystyle (x_{1}-x_{2})\oplus (y_{1}-y_{2})\oplus (z_{1}-z_{2}).}$$

La suma pitagórica también puede hallar la longitud de una diagonal interior de un rectángulo o paralelepípedo rectangular . Para un rectángulo con lados${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$, la longitud de la diagonal es${\displaystyle a\oplus b}$. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Para un cuboide con longitudes de lado${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$, la longitud de una diagonal del cuerpo es${\displaystyle a\oplus b\oplus c}$. ^{[ 13 ]}

La suma pitagórica (y su implementación como hypotfunción) se usa a menudo junto con la atan2función (una forma de dos parámetros de la arcotangente ) para convertir de coordenadas cartesianas.${\displaystyle (x,y)}$a coordenadas polares${\displaystyle (r,\theta )}$: ^{[ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}r&=x\oplus y={\mathsf {hypot}}(x,y)\\\theta &={\mathsf {atan2}}(y,x).\\\end{aligned}}}$$

La raíz cuadrática media o media cuadrática de un conjunto finito de${\displaystyle n}$los números son${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {n}}}}$veces su suma pitagórica. Esta es una media generalizada de los números. ^{[ 16 ]}

La desviación estándar de un conjunto de observaciones es la media cuadrática de sus desviaciones individuales respecto a la media. Cuando se suman dos o más variables aleatorias independientes, la desviación estándar de su suma es la suma pitagórica de sus desviaciones estándar. ^{[ 16 ]} Por lo tanto, la suma pitagórica puede interpretarse como la cantidad de ruido total al combinar fuentes de ruido independientes. ^{[ 17 ]}

Si las tolerancias de ingeniería de diferentes partes de un conjunto se tratan como ruido independiente, se pueden combinar mediante una suma pitagórica. ^{[ 18 ]} En ciencias experimentales como la física , la suma en cuadratura se usa a menudo para combinar diferentes fuentes de incertidumbre de medición . ^{[ 19 ]} Sin embargo, este método de propagación de la incertidumbre solo se aplica cuando no hay correlación entre las fuentes de incertidumbre, ^{[ 20 ]} y ha sido criticado por confundir el ruido experimental con los errores sistemáticos . ^{[ 21 ]}

La relación energía-momento en física , que describe la energía de una partícula en movimiento, puede expresarse como la suma pitagórica.$${\displaystyle E=mc^{2}\oplus pc,}$$ dónde${\displaystyle m}$es la masa en reposo de una partícula,${\displaystyle p}$es su impulso ,${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz y${\displaystyle E}$es la energía relativista resultante de la partícula . ^{[ 22 ]}

Al combinar señales, puede ser una técnica de diseño útil disponer que las señales combinadas sean ortogonales en polarización o fase , de modo que se sumen en cuadratura. ^{[ 23 ] [ 24 ]} En los inicios de la ingeniería de radio , esta idea se utilizó para diseñar antenas direccionales , permitiendo la recepción de señales mientras se anulaba la interferencia de señales provenientes de otras direcciones. ^{[ 23 ]} Cuando se aplica la misma técnica en software para obtener una señal direccional de una matriz de fase de radio o ultrasonido , se puede utilizar la suma pitagórica para combinar las señales. ^{[ 25 ]} Otras aplicaciones recientes de esta idea incluyen una mayor eficiencia en la conversión de frecuencia de láseres . ^{[ 24 ]}

En la psicofísica de la percepción háptica , se ha propuesto la adición pitagórica como un modelo para la intensidad percibida de la vibración cuando se combinan dos tipos de vibración. ^{[ 26 ]}

En el procesamiento de imágenes , el operador Sobel para la detección de bordes consiste en un paso de convolución para determinar el gradiente de una imagen, seguido de una suma pitagórica en cada píxel para determinar la magnitud del gradiente. ^{[ 27 ]}

La dificultad con la implementación ingenua es que${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$puede desbordarse o subdesbordarse, a menos que el resultado intermedio se calcule con precisión extendida . Una técnica de implementación común es intercambiar los valores, si es necesario, de modo que${\displaystyle |x|\geq |y|}$y luego utilizar la forma equivalente $${\displaystyle r=|x|{\sqrt {1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}}}.}$$

El cálculo de${\displaystyle y/x}$no puede desbordarse a menos que ambos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son cero. Si${\displaystyle y/x}$desbordamientos inferiores, el resultado final es igual a${\displaystyle |x|}$, lo cual es correcto dentro de la precisión del cálculo. La raíz cuadrada se calcula de un valor entre 1 y 2. Finalmente, la multiplicación por${\displaystyle |x|}$No puede producirse un desbordamiento negativo, y solo se produce un desbordamiento positivo cuando el resultado es demasiado grande para representarlo. ^{[ 31 ]}

Una desventaja de esta reorganización es la división adicional por${\displaystyle x}$lo cual aumenta tanto el tiempo como la imprecisión del cálculo. Las implementaciones más complejas evitan estos costos dividiendo las entradas en más casos:

• Cuando${\displaystyle x}$es mucho más grande que${\displaystyle y}$,${\displaystyle x\oplus y\approx |x|}$, dentro de la precisión de la máquina . ^{[ 31 ]}
• Cuando${\displaystyle x^{2}}$desbordamientos, multiplicar ambos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$por un pequeño factor de escala (por ejemplo, 2 ^{− 64} para precisión simple IEEE), use el algoritmo ingenuo que ahora no se desbordará y multiplique el resultado por el inverso (grande) (por ejemplo, 2 ⁶⁴ ).
• Cuando${\displaystyle y^{2}}$Para los desbordamientos inferiores, aplique la misma escala que la anterior, pero invierta los factores de escala para aumentar la escala de los valores intermedios.
• De lo contrario, el algoritmo ingenuo se puede utilizar sin problemas.

Técnicas adicionales permiten calcular el resultado con mayor precisión que el algoritmo ingenuo, por ejemplo, con una precisión menor a un ulp . ^{[ 31 ]} Los investigadores también han desarrollado algoritmos análogos para calcular sumas pitagóricas de más de dos valores. ^{[ 33 ]}

El algoritmo alfa max más beta min es una aproximación de alta velocidad de la suma pitagórica que utiliza únicamente comparación, multiplicación y suma, produciendo un valor cuyo error es inferior al 4% del resultado correcto. Se calcula como$${\displaystyle x\oplus y\approx \alpha \cdot \max(|x|,|y|)+\beta \cdot \min(|x|,|y|)}$$ para una cuidadosa selección de parámetros${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$. ^{[ 34 ]}

La función de suma pitagórica está presente como hypotfunción en muchos lenguajes de programación y sus bibliotecas. Estos incluyen: CSS , ^{[ 35 ]} D , ^{[ 36 ]} Fortran , ^{[ 37 ]} Go , ^{[ 38 ]} JavaScript (desde ES2015), ^{[ 11 ]} Julia , ^{[ 39 ]} MATLAB , ^{[ 40 ]} PHP , ^{[ 41 ]} y Python . ^{[ 42 ]} C++11 incluye una versión de dos argumentos de hypoty una versión de tres argumentos para${\displaystyle x\oplus y\oplus z}$se ha incluido desde C++17 . ^{[ 43 ]} La implementación de Java de hypot^{[ 44 ]} puede ser utilizada por sus lenguajes interoperables basados ​​en JVM, incluidos Apache Groovy , Clojure , Kotlin y Scala . ^{[ 45 ]} De manera similar, la versión hypotincluida con Ruby se extiende a lenguajes específicos de dominio basados ​​en Ruby, como Progress Chef . ^{[ 46 ]} En Rust , hypotse implementa como un método de objetos de punto flotante en lugar de como una función de dos argumentos. ^{[ 47 ]}

Metafont tiene suma y resta pitagóricas como operaciones integradas, bajo los símbolos ++y +-+respectivamente. Su operación de resta calcula

${\displaystyle \displaystyle a\ominus b={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$. ^{[ 2 ]}