Álgebra no asociativa

Un álgebra no asociativa ^{[ 1 ]} (o álgebra distributiva ) es un álgebra sobre un cuerpo donde no se asume que la operación de multiplicación binaria sea asociativa . Es decir, una estructura algebraica A es un álgebra no asociativa sobre un cuerpo K si es un espacio vectorial sobre K y está equipada con una operación de multiplicación binaria K - bilineal A × A → A que puede ser o no asociativa. Ejemplos incluyen las álgebras de Lie , las álgebras de Jordan , los octoniones y el espacio euclidiano tridimensional equipado con la operación de producto vectorial . Dado que no se asume que la multiplicación sea asociativa, es necesario usar paréntesis para indicar el orden de las multiplicaciones. Por ejemplo, las expresiones ( ab )( cd ), ( a ( bc )) d y a ( b ( cd )) pueden producir respuestas diferentes.

Si bien este uso de "no asociativo" implica que no se presupone la asociatividad, no significa que esté prohibida. En otras palabras, "no asociativo" significa "no necesariamente asociativo", al igual que "no conmutativo" significa "no necesariamente conmutativo" para anillos no conmutativos .

Un álgebra es unitaria si tiene un elemento identidad e tal que ex = x = xe para todo x en el álgebra. Por ejemplo, los octoniones son unitarios, pero las álgebras de Lie nunca lo son.

La estructura de álgebra no asociativa de A puede estudiarse asociándola con otras álgebras asociativas que son subálgebras del álgebra completa de K - endomorfismos de A como espacio vectorial K. Dos de ellas son el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa) , siendo esta última, en cierto sentido, "el álgebra asociativa más pequeña que contiene a A ".

De manera más general, algunos autores consideran el concepto de un álgebra no asociativa sobre un anillo conmutativo R : un R -módulo equipado con una operación de multiplicación binaria R -bilineal. ^{[ 2 ]} Si una estructura obedece todos los axiomas del anillo excepto la asociatividad (por ejemplo, cualquier R -álgebra), entonces es naturalmente un $\mathbb {Z}$ -álgebra, por lo que algunos autores se refieren a no asociativo $\mathbb {Z}$ -álgebras comoanillos no asociativos s.

Álgebras que satisfacen identidades

Las estructuras anulares con dos operaciones binarias y sin otras restricciones constituyen una clase amplia, demasiado general para estudiarla. Por esta razón, los tipos más conocidos de álgebras no asociativas satisfacen identidades o propiedades que simplifican la multiplicación. Entre ellas se incluyen las siguientes.

Propiedades habituales

Sean $x$ , $y$ y $z$ elementos arbitrarios del álgebra $A$ sobre el cuerpo $K.$ Sean las potencias de un entero positivo (distinto de cero) definidas recursivamente por $x 1 ≝ x$ y $x n +1 ≝ x n x$ ^{[ 3 ]} (potencias derechas) o $x n +1 ≝ xx n$ ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} (potencias izquierdas) según los autores.

Unital : existe un elemento $e$ tal que $ex = x = xe$ ; en ese caso podemos definir $x 0 ≝ e$ .
Asociativo : $(xy) z = x (yz)$ .
Conmutativo : $xy = yx$ .
Anticonmutativo : ^{[ 6 ]} $xy = - yx$ .
Identidad de Jacobi : ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} $(xy) z + (yz) x + (zx) y = 0$ o $x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0$ dependiendo de los autores, pero estas son equivalentes para álgebras anticonmutativas, y las álgebras de Lie son álgebras anticonmutativas que obedecen la identidad de Jacobi.
Identidad de Jordan : ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} $(x 2 y) x = x 2 (yx)$ o $(xy) x 2 = x (yx 2)$ dependiendo de los autores, pero estas son equivalentes para álgebras conmutativas, y las álgebras de Jordan son álgebras conmutativas que obedecen la identidad de Jordan.
Alternativa : ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} $(xx) y = x (xy)$ (alternativa izquierda) y $(yx) x = y (xx)$ (alternativa derecha).
Flexible : ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} $(xy) x = x (yx)$ .
n -ésima potencia asociativa con n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ⁿ para todos los enteros k tales que 0 < k < n .
- $Asociativo de$ tercera potencia: $x² x = xx² .$
- $Asociativa de$ cuarta potencia: $x³ x = x² x² = xx³$ (comparar con $la conmutativa$ $de$ cuarta potencia a $continuación$ ).
Asociativo de potencia : ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 3 ]} la subálgebra generada por cualquier elemento es asociativa, es decir, asociativa de potencia $n$ para todo $n \geq 2$ .
n -ésima potencia conmutativa con n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ^k x ^n−k para todos los enteros k tales que 0 < k < n .
- Tercera $potencia$ conmutativa $:$ $x²x = xx² .$
- Conmutativa de cuarta potencia: $x³ x = xx³$ (comparar con $la asociativa$ $de$ cuarta potencia anterior).
Potencia conmutativa: la subálgebra generada por cualquier elemento es conmutativa, es decir, $n-$ ésima potencia conmutativa para todo $n \geq 2$ .
Nilpotente de índice $n \geq 2$ : el producto de cualesquiera $n$ elementos, en cualquier asociación, se anula, pero no para algunos $n -1$ elementos: $x 1 x 2 \dots x n = 0$ y existen $n -1$ elementos tales que $y 1 y 2 \dots y n -1 \neq 0$ para una asociación específica.
Nil de índice $n \geq 2$ : potencia asociativa y $x n = 0$ y existe un elemento $y$ tal que $y n -1 \neq 0$ .

Relaciones entre propiedades

Para $K$ de cualquier característica :

Asociativo implica alternativa .
Cualquiera de las dos propiedades (alternativa izquierda , alternativa derecha y flexible ) implica la tercera.
- Por lo tanto, alternativo implica flexible .
La alternativa implica la identidad de Jordan . ^{[ 17 ]}^{[ a ]}
Conmutativo implica flexible .
Anticonmutativo implica flexible .
Alternativa implica poder asociativo . ^{[ a ]}
Flexible implica asociativo de tercera potencia .
Las propiedades asociativas y conmutativas de segundo orden son siempre verdaderas.
La tercera potencia asociativa y la tercera potencia conmutativa son equivalentes.
$La n$ -ésima potencia asociativa implica $la n$ -ésima potencia conmutativa .
La ausencia de índice 2 implica anticonmutativo .
El índice 2 nulo implica la identidad de Jordan .
El nilpotente de índice 3 implica la identidad de Jacobi .
La nilpotencia de índice $n$ implica la nulidad de índice $N$ con $2 \leq N \leq n$ .
Unital y nil de índice $n$ son incompatibles.

Si $K \neq GF(2)$ o $dim(A) \leq 3$ :

La identidad de Jordan y la conmutatividad implican juntas la asociatividad de poder . ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

Si $char(K) \neq 2$ :

La alternativa correcta implica poder asociativo . ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}
- De manera similar, la alternativa izquierda implica poder asociativo .
La identidad unitaria y la identidad de Jordan juntas implican flexibilidad . ^{[ 25 ]}
La identidad de Jordan y la flexibilidad implican juntas un poder asociativo . ^{[ 26 ]}
Conmutativo y anticonmutativo juntos implican nilpotente de índice 2 .
Anticonmutativo implica nulo de índice 2 .
Unital y anticonmutativo son incompatibles.

Si $char(K) \neq 3$ :

La identidad unital y la identidad jacobiana son incompatibles.

Si $char(K) \notin {2,3,5$ }:

La conmutatividad y $x 4 = x 2 x 2$ (una de las dos identidades que definen la asociatividad de cuarta potencia ) implican juntas la asociatividad de potencia . ^{[ 27 ]}

Si $char(K) = 0$ :

La tercera potencia asociativa y $x 4 = x 2 x 2$ (una de las dos identidades que definen la cuarta potencia asociativa ) implican juntas la potencia asociativa . ^{[ 28 ]}

Si $char(K) = 2$ :

Las propiedades conmutativas y anticonmutativas son equivalentes.

Asociado

El asociador en A es el mapa multilineal K $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$ dado por

[x, y, z] = (xy) z - x (yz)

.

Mide el grado de no asociatividad de $A$ y se puede utilizar para expresar convenientemente algunas identidades posibles que satisface A.

Sean $x$ , $y$ y $z$ elementos arbitrarios del álgebra.

Asociativo: $[x, y, z] = 0$ .
Alternativa: [ x , x , y ] = 0 (alternativa izquierda) y [ y , x , x ] = 0 (alternativa derecha).
- Esto implica que al permutar cualesquiera dos términos se cambia el signo: $[x, y, z] = -[x, z, y] = -[z, y, x] = -[y, x, z]$ ; lo contrario solo se cumple si $char(K) \neq 2$ .
Flexible: [ x , y , x ] = 0 .
- Esto implica que al permutar los términos extremos cambia el signo: $[x, y, z] = -[z, y, x]$ ; lo contrario solo se cumple si $char(K) \neq 2$ .
Identidad de Jordan: ^{[ 29 ]} $[x 2, y, x] = 0$ o $[x, y, x 2] = 0$ dependiendo de los autores.
Tercera potencia asociativa: $[x, x, x] = 0$ .

El núcleo es el conjunto de elementos que se asocian con todos los demás: ^{[ 30 ]} es decir, el $n$ en A tal que

[n, A, A] = [A, n, A] = [A, A, n] = {0}

.

El núcleo es un subanillo asociativo de A.

Centro

El centro de A es el conjunto de elementos que conmutan y se asocian con todo en A , es decir, la intersección de

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

con el núcleo. Resulta que para los elementos de C(A) es suficiente que dos de los conjuntos $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ son $\{0\}$ para que el tercero sea también el conjunto cero.

Ejemplos

El espacio euclidiano R³ con multiplicación dada por el producto vectorial es un ejemplo de álgebra anticonmutativa y no asociativa. El producto vectorial también satisface la identidad de Jacobi ^.
Las álgebras de Lie son álgebras que satisfacen la anticonmutatividad y la identidad de Jacobi.
Álgebras de campos vectoriales en una variedad diferenciable (si K es R o los números complejos C ) o una variedad algebraica (para K general );
Las álgebras de Jordan son álgebras que satisfacen la ley conmutativa y la identidad de Jordan. ^{[ 9 ]}
Toda álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie al utilizar el conmutador como corchete de Lie. De hecho, toda álgebra de Lie puede construirse de esta manera, o bien es una subálgebra de un álgebra de Lie construida así.
Toda álgebra asociativa sobre un cuerpo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan definiendo una nueva multiplicación x*y = ( xy + yx )/2. A diferencia del caso del álgebra de Lie, no todas las álgebras de Jordan pueden construirse de esta manera. Aquellas que sí pueden se denominan especiales .
Las álgebras alternativas son aquellas que satisfacen la propiedad de ser alternativas. Los ejemplos más importantes son los octoniones (un álgebra sobre los números reales) y las generalizaciones de los octoniones sobre otros cuerpos, llamadas álgebras de octoniones , como los bioctoniones . Todas las álgebras asociativas son alternativas. Salvo isomorfismo, las únicas álgebras alternativas de dimensión finita para números reales, las álgebras de división (véase más adelante) son los números reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.
Las álgebras asociativas de potencia son aquellas álgebras que satisfacen la identidad asociativa de potencia. Algunos ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, las álgebras de Jordan sobre un cuerpo distinto de GF(2) (véase la sección anterior) y los sedeniones .

Más clases de álgebras:

Álgebras graduadas . Estas incluyen la mayoría de las álgebras de interés para el álgebra multilineal , como el álgebra tensorial , el álgebra simétrica y el álgebra exterior sobre un espacio vectorial dado . Las álgebras graduadas pueden generalizarse a álgebras filtradas .
Álgebras de división , en las que existen inversos multiplicativos. Se han clasificado las álgebras de división alternativas de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales. Estas son los números reales (dimensión 1), los números complejos (dimensión 2), los cuaterniones (dimensión 4) y los octoniones (dimensión 8). Los cuaterniones y los octoniones no son conmutativos. De estas álgebras, todas son asociativas excepto los octoniones.
Las álgebras cuadráticas requieren que xx = re + sx para ciertos elementos r y s del cuerpo base , y que e sea una unidad del álgebra. Ejemplos de ello son todas las álgebras alternativas de dimensión finita y el álgebra de matrices reales de 2x2. Salvo isomorfismo, las únicas álgebras reales cuadráticas alternativas sin divisores de cero son los números reales, complejos, cuaterniones y octoniones.
Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R ), que comienzan con:
- los números complejos C (un álgebra conmutativa y asociativa);
- los cuaterniones H (un álgebra asociativa);
- los octoniones O (un álgebra alternativa );
- los sedeniones S ;
- los trigontaduoniones T y la secuencia infinita de álgebras de Cayley-Dickson ( álgebras asociativas de potencia ).
Las álgebras hipercomplejas son todas álgebras R unitarias de dimensión finita , por lo que incluyen las álgebras de Cayley-Dickson y muchas más.
Las álgebras de Poisson se consideran en la cuantización geométrica . Llevan dos multiplicaciones, lo que las convierte en álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diferentes maneras.
Las álgebras genéticas son álgebras no asociativas que se utilizan en la genética matemática.
Sistemas triples

Propiedades

Existen varias propiedades que pueden resultar familiares en la teoría de anillos o en las álgebras asociativas, pero que no siempre se cumplen en las álgebras no asociativas. A diferencia del caso asociativo, los elementos con un inverso multiplicativo (bilateral) también pueden ser divisores de cero . Por ejemplo, todos los elementos no nulos de los sedeniones tienen un inverso bilateral, pero algunos de ellos también son divisores de cero.

Álgebra libre no asociativa

El álgebra libre no asociativa sobre un conjunto X sobre un cuerpo K se define como el álgebra cuya base consiste en todos los monomios no asociativos, productos formales finitos de elementos de X que conservan los paréntesis. El producto de monomios u , v es simplemente ( u )( v ). El álgebra es unitaria si se toma el producto vacío como un monomio. ^{[ 31 ]}

Kurosh demostró que toda subálgebra de un álgebra libre no asociativa es libre. ^{[ 32 ]}

Álgebras asociadas

Un álgebra A sobre un cuerpo K es en particular un espacio vectorial K , por lo que se puede considerar el álgebra asociativa End _K ( A ) del endomorfismo de espacio vectorial lineal K de A. Podemos asociar a la estructura de álgebra en A dos subálgebras de End _K ( A ), el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa) .

Álgebra de derivación

Una derivación en A es una aplicación D con la propiedad

D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .

Las derivaciones en A forman un subespacio Der _K ( A ) en End _K ( A ). El conmutador de dos derivaciones es nuevamente una derivación, de modo que el corchete de Lie le da a Der _K ( A ) una estructura de álgebra de Lie . ^{[ 33 ]}

Álgebra envolvente

Hay aplicaciones lineales L y R asociadas a cada elemento a de un álgebra A : ^{[ 34 ]}

L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .

Aquí cada elemento $L(a),R(a)$ se considera un elemento de End _K ( A ). El álgebra envolvente asociativa o álgebra de multiplicación de A es el álgebra subasociativa de End _K ( A ) generada por las aplicaciones lineales izquierda y derecha $L(a),R(a)$ . ^{[ 29 ]}^{[ 35 ]} El centroide de A es el centralizador del álgebra envolvente en el álgebra de endomorfismos End _K ( A ). Un álgebra es central si su centroide consiste en los K -escalares múltiplos de la identidad. ^{[ 16 ]}

Algunas de las identidades posibles que satisfacen las álgebras no asociativas pueden expresarse convenientemente en términos de las aplicaciones lineales: ^{[ 36 ]}

Conmutativo: cada L ( a ) es igual al R ( a ) correspondiente;
Asociativo: cualquier L conmuta con cualquier R ;
Flexible: cada L ( a ) conmuta con el R ( a ) correspondiente;
Jordan: cada L ( a ) conmuta con R ( a ² );
Alternativa: cada L ( a ) ² = L ( a ² ) y de forma similar para la derecha.

La representación cuadrática Q se define mediante ^{[ 37 ].}

Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\

,

o equivalentemente,

Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .

El artículo sobre álgebras envolventes universales describe la construcción canónica de dichas álgebras, así como los teoremas de tipo PBW correspondientes. Para las álgebras de Lie, estas álgebras envolventes poseen una propiedad universal que, en general, no se cumple para las álgebras no asociativas. El ejemplo más conocido es, quizás, el álgebra de Albert , un álgebra de Jordan excepcional que no está cubierta por la construcción canónica del álgebra envolvente para álgebras de Jordan.

Véase también

Lista de álgebras
Magmas conmutativos no asociativos , que dan lugar a álgebras no asociativas.

Citas

↑ Schafer 1995 , Capítulo 1.
↑ Schafer 1995 , pág. 1.
1 2 Albert 1948a , pág. 553.
1 2 Schafer 1995 , pág. 30.
1 2 Schafer 1995 , pág. 128.
1 2 Schafer 1995 , pág. 3.
↑ Okubo 2005 , pág. 12.
↑ Schafer 1995 , pág. 91.
^ Okubo 2005 , pág. 13.
↑ Schafer 1995 , pág. 5.
↑ Okubo 2005 , pág. 18.
↑ McCrimmon 2004 , pág. 153.
↑ Schafer 1995 , pág. 28.
↑ Okubo 2005 , pág. 16.
↑ Okubo 2005 , pág. 17.
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↑ Schafer 1995 , pág. 92.
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↑ Mikheev 1976 , pág. 179.
↑ Zhevlakov y otros. 1982 , pág. 343.
↑ Schafer 1995 , pág. 148.
↑ Bremner, Murakami y Shestakov 2013 , pág. 18.
^ Bremner, Murakami y Shestakov 2013 , págs. 18-19, hecho 6.
↑ Alberto 1948a , p. 554, lema 4.
↑ Alberto 1948a , p. 554, lema 3.
1 2 Schafer 1995 , pág. 14.
↑ McCrimmon 2004 , pág. 56.
↑ Rowen 2008 , pág. 321.
↑ Kurosh 1947 , págs .
↑ Schafer 1995 , pág. 4.
↑ Okubo 2005 , pág. 24.
↑ Albert 2003 , pág. 113.
↑ McCrimmon 2004 , pág. 57.
↑ Koecher 1999 , pág. 57.

Notas

1 2 Se deduce del teorema de Artin .

Referencias

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[FOOTNOTESchafer1995Chapter_1-1] Schafer 1995 , Capítulo 1.

[FOOTNOTESchafer19951-2] Schafer 1995 , pág. 1.

[FOOTNOTEAlbert1948a553-3] 1 2 Albert 1948a , pág. 553.

[FOOTNOTESchafer199530-4] 1 2 Schafer 1995 , pág. 30.

[FOOTNOTESchafer1995128-5] 1 2 Schafer 1995 , pág. 128.

[FOOTNOTESchafer19953-6] 1 2 Schafer 1995 , pág. 3.

[FOOTNOTEOkubo200512-7] Okubo 2005 , pág. 12.

[FOOTNOTESchafer199591-8] Schafer 1995 , pág. 91.

[FOOTNOTEOkubo200513-9] Okubo 2005 , pág. 13.

[FOOTNOTESchafer19955-10] Schafer 1995 , pág. 5.

[FOOTNOTEOkubo200518-11] Okubo 2005 , pág. 18.

[FOOTNOTEMcCrimmon2004153-12] McCrimmon 2004 , pág. 153.

[FOOTNOTESchafer199528-13] Schafer 1995 , pág. 28.

[FOOTNOTEOkubo200516-14] Okubo 2005 , pág. 16.

[FOOTNOTEOkubo200517-15] Okubo 2005 , pág. 17.

[FOOTNOTEKnusMerkurjevRostTignol1998451-16] Knus y cols. 1998 , pág. 451.

[FOOTNOTERosenfeld199791-17] Rosenfeld 1997 , pág. 91.

[FOOTNOTEJacobson196836-19] Jacobson 1968 , pág. 36.

[FOOTNOTESchafer199592-20] Schafer 1995 , pág. 92.

[FOOTNOTEKokoris1955710-21] Kokoris 1955 , pág. 710.

[FOOTNOTEAlbert1948b319-22] Albert 1948b , pág. 319.

[FOOTNOTEMikheev1976179-23] Mikheev 1976 , pág. 179.

[FOOTNOTEZhevlakovSlin'koShestakovShirshov1982343-24] Zhevlakov y otros. 1982 , pág. 343.

[FOOTNOTESchafer1995148-25] Schafer 1995 , pág. 148.

[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318-26] Bremner, Murakami y Shestakov 2013 , pág. 18.

[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318–19fact_6-27] Bremner, Murakami y Shestakov 2013 , págs. 18-19, hecho 6.

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_4-28] Alberto 1948a , p. 554, lema 4.

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_3-29] Alberto 1948a , p. 554, lema 3.

[FOOTNOTESchafer199514-30] 1 2 Schafer 1995 , pág. 14.

[FOOTNOTEMcCrimmon200456-31] McCrimmon 2004 , pág. 56.

[FOOTNOTERowen2008321-32] Rowen 2008 , pág. 321.

[FOOTNOTEKurosh1947237–262-33] Kurosh 1947 , págs .

[FOOTNOTESchafer19954-34] Schafer 1995 , pág. 4.

[FOOTNOTEOkubo200524-35] Okubo 2005 , pág. 24.

[FOOTNOTEAlbert2003113-36] Albert 2003 , pág. 113.

[FOOTNOTEMcCrimmon200457-37] McCrimmon 2004 , pág. 57.

[FOOTNOTEKoecher199957-38] Koecher 1999 , pág. 57.

[Artin-18] 1 2 Se deduce del teorema de Artin .

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