Mutación (álgebra de Jordan)

En matemáticas , una mutación , también llamada homotopo , de un álgebra de Jordan unitaria es una nueva álgebra de Jordan definida por un elemento dado del álgebra de Jordan. La mutación tiene una unidad si y solo si el elemento dado es invertible, en cuyo caso la mutación se llama mutación propia o isótopo . Las mutaciones fueron introducidas por primera vez por Max Koecher en su enfoque algebraico de Jordan para espacios simétricos hermíticos y dominios simétricos acotados de tipo tubo. Sus propiedades funtoriales permiten una construcción explícita del espacio simétrico hermítico correspondiente de tipo compacto como una compactificación de un álgebra de Jordan semisimple compleja de dimensión finita. El grupo de automorfismos de la compactificación se convierte en un subgrupo complejo , la complejización de su subgrupo compacto maximal . Ambos grupos actúan transitivamente sobre la compactificación. La teoría se ha extendido para cubrir todos los espacios simétricos hermíticos utilizando la teoría de pares de Jordan o sistemas triples de Jordan . Koecher obtuvo los resultados en el caso más general directamente del caso del álgebra de Jordan, utilizando el hecho de que solo se requieren pares de Jordan asociados con automorfismos de período dos de álgebras de Jordan.

Sea A un álgebra de Jordan unitaria sobre un cuerpo k de característica ≠ 2. ^{[ 1 ]} Para a en A, definimos el operador de multiplicación de Jordan en A mediante

${\displaystyle \displaystyle {L(a)b=ab}}$

y la representación cuadrática Q ( a ) por

${\displaystyle Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).\,}$

Satisface

${\displaystyle Q(1)=I.\,}$

la identidad fundamental

${\displaystyle \displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a)}}$

la identidad de conmutación u homotopía

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a),}}$

dónde

${\displaystyle R(a,b)c=2Q(a,c)b,\,\,\,Q(x,y)={\frac {1}{2}}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).}$

En particular, si a o b es invertible, entonces

${\displaystyle \displaystyle {R(a,b)=2Q(a)Q(a^{-1},b)=2Q(a,b^{-1})Q(b).}}$

De ello se deduce que A con las operaciones Q y R y el elemento identidad define un álgebra de Jordan cuadrática , donde un álgebra de Jordan cuadrática consiste en un espacio vectorial A con un elemento distinguido 1 y una aplicación cuadrática de A en endomorfismos de A , a ↦ Q ( a ), que satisfacen las condiciones:

• Q (1) = id
• Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) ("identidad fundamental")
• Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) ("conmutación o identidad homotópica"), donde R ( a , b ) c = ( Q ( a + c ) − Q ( a ) − Q ( c )) b

El producto triple de Jordan se define por

${\displaystyle \{a,b,c\}=(ab)c+(cb)a-(ac)b,\,}$

de modo que

${\displaystyle Q(a)b=\{a,b,a\},\,\,\,Q(a,c)b=\{a,b,c\},\,\,\,R(a,b)c=\{a,b,c\}.\,}$

También están las fórmulas

${\displaystyle Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab),\,\,\,R(a,b)=[L(a),L(b)]+L(ab).\,}$

Para y en A, la mutación A ^y se define en el espacio vectorial A con multiplicación

${\displaystyle a\circ b=\{a,y,b\}.\,}$

Si Q ( y ) es invertible, el mutuo se denomina mutación propia o isótopo .

Sea A un álgebra de Jordan cuadrática sobre un cuerpo k de característica ≠ 2. Siguiendo a Jacobson (1969) , se puede asociar una estructura de álgebra de Jordan lineal con A tal que, si L ( a ) es una multiplicación de Jordan, entonces la estructura cuadrática viene dada por Q ( a ) = 2 L ( a ) ² − L ( a ² ).

En primer lugar, el axioma Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) puede reforzarse a

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}}$

En efecto, aplicados a c , los dos primeros términos dan

${\displaystyle \displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}}$

Intercambiando b y c se obtiene entonces

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}}$

Ahora dejemos

${\displaystyle \displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}}$

Sustituyendo b por a y a por 1 en la identidad anterior se obtiene

${\displaystyle \displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}}$

En particular

${\displaystyle \displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}}$

El producto Jordan se entrega por

${\displaystyle \displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1}{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}}$

de modo que

${\displaystyle \displaystyle {a\circ b=b\circ a.}}$

La fórmula anterior muestra que 1 es una identidad. Definiendo a ² por a ∘ a = Q ( a )1, la única condición restante por verificar es la identidad de Jordan.

${\displaystyle \displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}}$

En la identidad fundamental

${\displaystyle \displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}}$

Sustituye a por a + t 1, establece b = 1 y compara los coeficientes de t ² en ambos lados:

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}}$

Si se establece b = 1 en el segundo axioma, se obtiene:

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}}$

y por lo tanto L ( a ) debe conmutar con L ( a ² ).

Sea A un álgebra de Jordan unitaria sobre un cuerpo k de característica ≠ 2. Un elemento a en un álgebra de Jordan unitaria A se dice invertible si existe un elemento b tal que ab = 1 y a ² b = a . ^{[ 2 ]}

Propiedades. ^{[ 3 ]}

Si ab = 1 y a ² b = a , entonces Q ( a ) b = 2 a ( a b ) − ( a ² ) b = a . La identidad de Jordan [ L ( x ), L ( x ² )] = 0 puede polarizarse reemplazando x por x + ty y tomando el coeficiente de t . Esto da

${\displaystyle \displaystyle {[L(x^{2}),L(y)]+2[L(xy),L(x)]=0.}}$

Tomando x = a o b e y = b o a se muestra que L ( a ² ) conmuta con L ( b ) y L ( b ² ) conmuta con L ( a ) . Por lo tanto ( b ² )( a ² ) = 1 . Aplicando L ( b ) se obtiene b ² a = b . Por lo tanto Q ( a ) b ² = 1 . Recíprocamente, si Q ( a ) b = a y Q ( a ) b ² = 1 , entonces la segunda relación da Q ( a ) Q ( b ) ² Q ( a ) = I . Así que tanto Q ( a ) como Q ( b ) son invertibles. La primera da Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) = Q ( a ) de modo que Q ( a ) y Q ( b ) son inversas entre sí. Dado que L ( b ) conmuta con Q ( b ) conmuta con su inversa Q ( a ) . De manera similar, ^L ( a ) conmuta con Q ( b ) . Entonces ( a² ) b = L ( b ) a² = Q ( a ) b = a y ab = L ( b ) Q ⁽ a ) b = Q( a ) Q ( b )1 = 1 .

En efecto, si a es invertible, entonces lo anterior implica que Q ( a ) es invertible con inversa Q ( b ) . Cualquier inversa b satisface Q ( a ) b = a , por lo que b = Q ( a ) ^⁻¹a . Recíprocamente, si Q ( a ) es invertible, sea b = Q ( a ) ^⁻¹a . Entonces Q ( a ) b = a . La identidad fundamental implica entonces que Q ( b ) y Q ( a ) son inversas entre sí, de modo que ^Q ( a ) b² = Q ( a ) Q ( b ) ¹ = 1 .

Esto se deduce de la fórmula a ⁻¹ = Q ( a ) ⁻¹ a .

Supongamos que Q ( a ) c = 1 . Entonces, por la identidad fundamental Q ( a ) es invertible, por lo que a es invertible.

Esto es una consecuencia inmediata de la identidad fundamental y del hecho de que STS es invertible si y solo si S y T son invertibles.

En la identidad de conmutación Q ( a ) R ( b , a ) = Q(Q( a ) b , a ) , sea b = c ² con c = a ⁻¹ . Entonces Q( a ) b = 1 y Q (1, a ) = L ( a ) . Como L ( a ) conmuta con L ( c ² ) , R ( b , a ) = L ( c ) = L ( a ⁻¹ ) .

Si L ( a ) y L ( b ) conmutan, entonces ba = 1 implica b ( a² ) = a . Recíprocamente, supongamos que ^a es invertible con su inversa b . Entonces ab = 1. Además, L ( b ) conmuta con Q ( b ) y, por lo tanto, con su inversa Q ( a ) . Así que conmuta con L ( a ) = Q ( a ) L ( b ) .

El álgebra k [ a ] es conmutativa y asociativa, por lo que si b es una inversa, entonces ab = 1 y a²b = a . Recíprocamente , Q ( a ) deja k [ a ] invariante . Por lo tanto, si es biyectiva en A, ^también lo es allí. Así ^, a⁻¹ = Q ( a ) ^⁻¹a pertenece a k [ a ] .

De hecho ^{[ 4 ]} la multiplicación en el álgebra A ^y viene dada por

${\displaystyle \displaystyle {a\circ b=\{a,y,b\},}}$

por lo tanto, por definición es conmutativa. De ello se deduce que

${\displaystyle \displaystyle {a\circ b=L_{y}(a)b,}}$

con

${\displaystyle \displaystyle {L_{y}(a)=[L(a),L(y)]+L(ay).}}$

Si e satisface a ∘ e = a , entonces tomando a = 1 se obtiene

${\displaystyle \displaystyle {ye=1.}}$

Tomando a = e se obtiene

${\displaystyle \displaystyle {e(ya)=y(ea)}}$

de modo que L ( y ) y L ( e ) conmutan. Por lo tanto, y es invertible y e = y ⁻¹ .

Ahora, para el conjunto invertible y

${\displaystyle \displaystyle {Q_{y}(a)=Q(a)Q(y),\,\,\,R_{y}(a,b)=R(a,Q(y)b).}}$

Entonces

${\displaystyle \displaystyle {Q_{y}(e)=Q_{y}(y^{-1})=Q(y^{-1})Q(y)=I.}}$

Además,

${\displaystyle \displaystyle {Q_{y}(a)Q_{y}(b)Q_{y}(a)=Q(a)Q(y)Q(b)Q(y)Q(a)Q(y)=Q(a)Q(Q(y)b)Q(a)Q(y)=Q(Q(a)Q(y)b)Q(y)=Q_{y}(Q_{y}(a)b).}}$

Finalmente

${\displaystyle \displaystyle {Q(y)R(c,Q(y)d)Q(y)^{-1}=R(Q(y)c,d),}}$

desde

${\displaystyle \displaystyle {Q(y)R(c,Q(y)d)x=2Q(y)Q(c,x)Q(y)d=2Q(Q(y)c,Q(y)x)d=R(Q(y)c,d)Q(y)x.}}$

Por eso

${\displaystyle \displaystyle {Q_{y}(a)R_{y}(b,a)=Q(a)Q(y)R(b,Q(y)a)=Q(y^{-1})Q(Q(y)a)R(b,Q(y)a)=Q(y)^{-1}R(Q(y)a,b)Q(Q(y)a)=R_{y}(a,b)Q_{y}(a).}}$

Por lo tanto , ( A , Q ^y , y ⁻¹ ) es un álgebra de Jordan cuadrática unitaria. Por consiguiente, corresponde a un álgebra de Jordan lineal con el operador de multiplicación de Jordan asociado M ( a ) dado por

${\displaystyle \displaystyle {M(a)b={\frac {1}{2}}R_{y}(a,e)b={\frac {1}{2}}R(a,Q(y)e)b={\frac {1}{2}}R(a,y)b=\{a,y,b\}=L_{y}(a)b.}}$

Esto demuestra que los operadores L _y ( a ) satisfacen la identidad de Jordan, de modo que la mutación o isótopo propio A ^y es un álgebra de Jordan unitaria. La correspondencia con las álgebras de Jordan cuadráticas muestra que su representación cuadrática viene dada por Q _y .

La definición de mutación también se aplica a elementos no invertibles y . Si A es de dimensión finita sobre R o C , los elementos invertibles a en A son densos, ya que la invertibilidad es equivalente a la condición de que det Q ( a ) ≠ 0. Por lo tanto, por continuidad, la identidad de Jordan para mutaciones propias implica la identidad de Jordan para mutaciones arbitrarias. En general, la identidad de Jordan se puede deducir del teorema de Macdonald para álgebras de Jordan porque involucra solo dos elementos del álgebra de Jordan. Alternativamente, la identidad de Jordan se puede deducir realizando la mutación dentro de un álgebra cuadrática unitaria. ^{[ 5 ]}

Para a en A, definimos una estructura cuadrática en A ₁ = A ⊕ k mediante

${\displaystyle \displaystyle {Q_{1}(a\oplus \alpha 1)(b\oplus \beta 1)=\alpha ^{2}\beta 1\oplus [\alpha ^{2}a+\alpha ^{2}b+2\alpha \beta a+\alpha \{a,y,b\}+\beta Q(a)y+Q(a)Q(y)b].}}$

Entonces se puede verificar que ( A1 , Q1 , 1) _es ^un álgebra de Jordan cuadrática unitaria. El álgebra de Jordan unitaria a la que corresponde tiene _a Ay ^como ideal, de modo que en particular Ay satisface la identidad de Jordan. Las identidades para un álgebra de Jordan cuadrática unitaria se derivan de las siguientes propiedades de compatibilidad de la aplicación cuadrática Qy ₍ a ) = Q ( a ) Q ( y ) y la aplicación de cuadratura Sy ₍ a ) = Q ( a ) y :

• R _y ( a , a ) = L _y ( S _y ( a )).
• [ Q _y ( a ), L _y ( a )] = 0.
• Q _y ( a ) S _y ( a ) = S _y ( S _y ( a )).
• Q _y ∘ S _y = S _y ∘ Q _y .
• Q _y ( a ) Q _y ( b ) S _y ( a ) = S _y ( Q _y ( a ) b ).
• Q _y ( Q _y ( a ) b ) = Q _y ( a ) Q _y ( b ) Q _y ( a ) .

Sea A un álgebra de Jordan unitaria. Si a , b y a – b son invertibles, entonces se cumple la identidad de Hua : ^{[ 6 ]}

En particular, si x y 1 – x son invertibles, entonces también lo es 1 – x ⁻¹ con

${\displaystyle \displaystyle {(1-x)^{-1}+(1-x^{-1})^{-1}=1.}}$

Para demostrar la identidad para x , establecemos y = (1 – x ) ⁻¹ . Entonces L ( y ) = Q (1 – x ) ⁻¹ L (1 – x ) . Por lo tanto, L ( y ) conmuta con L ( x ) y Q ( x ) . Como Q ( y ) = Q (1 – x ) ⁻¹ , también conmuta con L ( x ) y Q ( x ) . Como L ( x ⁻¹ ) = Q ( x ) ⁻¹ L ( x ) , L ( y ) también conmuta con L ( x ⁻¹ ) y Q ( x ⁻¹ ) .

De ello se deduce que ( x ⁻¹ – 1) xy =(1 – x ) y = 1 . Además, y – 1 = xy puesto que (1 – x ) y = 1 . Por lo tanto, L ( xy ) conmuta con L ( x ) y por consiguiente L ( x ⁻¹ – 1) . Así pues, 1 – x ⁻¹ tiene inverso 1 – y .

Ahora sea A ^a la mutación de A definida por a . El elemento identidad de A ^a es a ⁻¹ . Además, un elemento invertible c en A también es invertible en A ^a con inverso Q ( a ) ⁻¹ c ⁻¹ .

Sea x = Q ( a ) ⁻¹ b en A ^a . Es invertible en A , al igual que a ⁻¹ – Q ( a ) ⁻¹ b = Q ( a ) ⁻¹ ( a – b ) . Entonces, por el caso especial de la identidad de Hua para x en A ^a

${\displaystyle \displaystyle {a^{-1}=Q(a)^{-1}(a^{-1}-Q(a)^{-1}b)^{-1}+Q(a)^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}=(a-b)^{-1}+(a-Q(a)b^{-1})^{-1}.}}$

Si A es un álgebra de Jordan unitaria, el operador de Bergman se define para a , b en A por ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)=I-R(a,b)+Q(a)Q(b).}}$

Si a es invertible entonces

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)=Q(a)Q(a^{-1}-b);}}$

mientras que si b es invertible entonces

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)=Q(a-b^{-1})Q(b).}}$

De hecho, si a es invertible

Q ( a ) Q ( a ⁻¹ − b ) = Q ( a )[ Q ( a ⁻¹ − 2 Q ( a ⁻¹ , b ) + Q ( b )]= I − 2 Q ( a )Q( a ⁻¹ , b ) + Q ( a ) Q ( b )= I − R ( a , b ) + Q ( a ) Q ( b )

y de forma similar si b es invertible.

De forma más general, el operador de Bergman satisface una versión de la identidad de conmutación u homotopía:

y una versión de la identidad fundamental:

También existe una tercera identidad, más técnica:

Sea A un álgebra de Jordan unitaria de dimensión finita sobre un cuerpo k de característica ≠ 2. ^{[ 8 ]} Para un par ( a , b ) con a y a ⁻¹ − b invertibles, definimos

En este caso, el operador de Bergman B ( a , b ) = Q ( a ) Q ( a ⁻¹ − b ) define un operador invertible en A y

De hecho

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b)=Q(a^{b})Q(a^{-1})(a-Q(a)b)=Q(a^{b})(a^{b})^{-1}=a^{b}.}}$

Además, por definición, a ⁻¹ − b − c es invertible si y solo si ( a ^b ) ⁻¹ − c es invertible. En ese caso

En efecto,

${\displaystyle \displaystyle {a^{b+c}=((a^{-1}-b)-c)^{-1}=((a^{b})^{-1}-c)^{-1}=(a^{b})^{c}.}}$

Se puede prescindir de la suposición de que a sea invertible, ya que a ^b se puede definir solo suponiendo que el operador de Bergman B ( a , b ) sea invertible. El par ( a , b ) se denomina entonces cuasi-invertible . En ese caso , a ^b se define mediante la fórmula

${\displaystyle \displaystyle {a^{b}=B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b).}}$

Si B ( a , b ) es invertible, entonces B ( a , b ) c = 1 para algún c . La identidad fundamental implica que B ( a , b ) Q ( c ) B ( b , a ) = I . Por lo tanto, por dimensionalidad finita , B ( b , a ) es invertible. Así pues , ( a , b ) es invertible si y solo si ( b , a ) es invertible y en este caso

De hecho

B ( a , b )( a + Q ( a ) b ^a ) = a − 2 R ( a , b ) a + Q ( a ) Q ( b ) a + Q ( a )( b − Q ( b ) a ) = a − Q ( a ) b ,

por lo tanto, la fórmula se obtiene aplicando B ( a , b ) ⁻¹ a ambos lados.

Como antes , ( a , b + c ) es cuasi-invertible si y solo si ( ab ^, c ) es cuasi-invertible; y en ese caso

${\displaystyle \displaystyle {a^{b+c}=(a^{b})^{c}.}}$

Si k = R o C , esto se seguiría por continuidad del caso especial en el que a y a ⁻¹ − b fueran invertibles. En general, la demostración requiere cuatro identidades para el operador de Bergman:

De hecho, al aplicar Q a la identidad B ( a , b ) a ^b = a − Q ( a ) b se obtiene

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)Q(a^{b})B(b,a)=B(a,b)Q(a)=Q(a)B(b,a).}}$

La primera identidad se obtiene cancelando B ( a , b ) y B ( b , a ) . La segunda identidad se obtiene mediante una cancelación similar en

B ( a , b ) Q ( a ^b , c ) B ( b , a ) = Q ( B ( a , b ) a ^b , B ( a , b ) c ) = Q ( a − Q ( a ) b , B ( a , b ) c ) = B ( a , b )( Q ( a , c ) − R ( c , b ) Q ( a )) = ( Q ( a , c ) − Q ( a ) R ( b , c )) B ( b , a ) .

La tercera identidad se obtiene aplicando la segunda identidad a un elemento d y luego intercambiando los roles de c y d . La cuarta se obtiene porque

B ( a , b ) B ( a ^b , c ) = B ( a , b )( I − R ( a ^b , c ) + Q ( a ^b ) Q ( c )) = I − R ( a , b + c ) + Q ( a ) Q ( b + c ) = B ( a , b + c ) .

De hecho , ( a , b ) es cuasi-invertible si y solo si a es cuasi-invertible en la mutación Ab . Dado que esta mutación no necesariamente es unitaria, esto significa que cuando una identidad es adjunta ¹ − a se vuelve invertible en Ab ^⊕ k 1. Esta condición se puede expresar de la siguiente manera sin mencionar la mutación ni el homotopo:

De hecho, si ^{(a, b) es cuasi-invertible, entonces c = a b satisface la primera identidad por definición. La segunda se deduce porque B(a, b)Q(ab} ) = Q ( a ) . Recíprocamente , ^las condiciones establecen que en A b ⊕ k 1 las condiciones implican que 1 + c es ^el inverso de 1 − a . Por otro lado , (1 − a ) ∘ x = B ( a , b ) x para x en A ^b . Por lo tanto, B ( a , b ) es invertible.

Sea A un álgebra de Jordan unitaria de dimensión finita sobre un cuerpo k de característica ≠ 2. ^{[ 9 ]} Se dice que dos pares ( a _i , b _i ) con a _i invertible son equivalentes si ( a ₁ ) ⁻¹ − b ₁ + b ₂ es invertible y a ₂ = ( a ₁ ) ^{b ₁ − b ₂} .

Esta es una relación de equivalencia, ya que si a es invertible , a ⁰ = a, de modo que un par ( a , b ) es equivalente a sí mismo. Es simétrica, ya que por definición a ₁ = ( a ₂ ) ^{b ₂ − b _1.} Es transitiva. Supongamos que ( a ₃ , b ₃ ) es un tercer par con ( a ₂ ) ⁻¹ − b ₂ + b ₃ invertible y a ₃ = ( a ₂ ) ^{b ₂ − b _3.} De lo anterior

${\displaystyle \displaystyle {a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{3}=(a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{2})-b_{2}+b_{3}=a_{2}^{-1}-b_{2}+b_{3}}}$

es invertible y

${\displaystyle \displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}}$

En cuanto a la cuasi-invertibilidad, esta definición puede extenderse al caso en que no se supone que a y a ⁻¹ − b sean invertibles.

Se dice que dos pares ( a _i , b _i ) son equivalentes si ( a ₁ , b ₁ − b ₂ ) es cuasi-invertible y a ₂ = ( a ₁ ) ^{b ₁ − b ₂} . Cuando k = R o C , el hecho de que esta definición más general también dé una relación de equivalencia se puede deducir del caso invertible por continuidad. Para k general , también se puede verificar directamente:

• La relación es reflexiva ya que ( a , 0) ^es cuasi-invertible y a0 = a .
• La relación es simétrica, ya que a ₁ = ( a ₂ ) ^{b ₂ − b ₁} .
• ^La relación es transitiva. Supongamos que ₍ a₃ , _b₃ ) es un tercer par con ⁽ a₂, b₂ − b₃ ) _cuasi - _invertible y _^a₃ = ( _{a₂ )} b₂ − _b₃ . ^{En _este} caso

${\displaystyle \displaystyle {B(a_{1},b_{1}-b_{3})=B(a_{1},b_{1}-b_{2})B(a_{2},b_{2}-b_{3}),}}$

de modo que ( a ₁ , b ₁ − b ₃ ) es cuasi-invertible con

${\displaystyle \displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}}$

La clase de equivalencia de ( a , b ) se denota por ( a : b ) .

Sea A un álgebra de Jordan unitaria semisimple compleja de dimensión finita. Si T es un operador en A , sea T ^t su transpuesta con respecto a la forma traza. Así, L ( a ) ^t = L ( a ) , Q ( a ) ^t = Q ( a ) , R ( a , b ) ^t = R ( b , a ) y B ( a , b ) ^t = B ( b , a ) . El grupo de estructura de A consiste en g en GL( A ) tal que

${\displaystyle \displaystyle {Q(ga)=gQ(a)g^{t}.}}$

Forman un grupo Γ( A ) . El grupo de automorfismos Aut A de A consta de operadores lineales complejos invertibles g tales que L ( ga ) = gL ( a ) g ⁻¹ y g1 = 1. Dado que un automorfismo g conserva la forma de traza, g ⁻¹ = g ^t .

• El grupo de estructura es cerrado al tomar transpuestas g ↦ g ^t y adjuntas g ↦ g *.
• El grupo de estructura contiene el grupo de automorfismos. El grupo de automorfismos se puede identificar con el estabilizador 1 en el grupo de estructura.
• Si a es invertible, Q ( a ) se encuentra en el grupo de estructura.
• Si g está en el grupo de estructura y a es invertible, ga también es invertible con ( ga ) ⁻¹ = ( g ^t ) ⁻¹ a ⁻¹ .
• El grupo de estructura Γ( A ) actúa transitivamente sobre el conjunto de elementos invertibles en A .
• Cada g en Γ( A ) tiene la forma g = h Q ( a ) donde h es un automorfismo y a es invertible.

El álgebra de Jordan compleja A es la complejización de un álgebra de Jordan euclidiana real E , para la cual la forma traza define un producto interno. Hay una involución asociada a ↦ a * en A que da lugar a un producto interno complejo en A. El grupo de estructura unitaria Γ _u ( A ) es el subgrupo de Γ( A ) que consta de operadores unitarios, de modo que Γ _u ( A ) = Γ( A ) ∩ U( A ) . El componente identidad de Γ _u ( A ) se denota por K . Es un subgrupo cerrado conexo de U( A ) .

• El estabilizador de 1 en Γ _u ( A ) es Aut E .
• Cada g en Γ _u ( A ) tiene la forma g = h Q ( u ) con h en Aut E y u invertible en A con u * = u ⁻¹ .
• Γ( A ) es la complejización de Γ _u ( A ).
• El conjunto S de elementos invertibles u en A tales que u * = u ⁻¹ puede caracterizarse equivalentemente como aquellos u para los cuales L ( u ) es un operador normal con uu * = 1 o como aquellos u de la forma exp ia para algún a en E . En particular, S es conexo.
• El componente identidad de Γ _u ( A ) actúa transitivamente sobre S
• Dado un marco de Jordan ( e _i ) y v en A , existe un operador u en la componente identidad de Γ _u ( A ) tal que uv = Σ α _i e _i con α _i ≥ 0. Si v es invertible, entonces α _i > 0.

El grupo de estructura Γ( A ) actúa naturalmente sobre X . ^{[ 10 ]} Para g en Γ( A ), se establece

${\displaystyle \displaystyle {g(a,b)=(ga,(g^{t})^{-1}b).}}$

Entonces ( x , y ) es cuasi-invertible si y solo si ( gx ,( g ^t ) ⁻¹ y ) es cuasi-invertible y

${\displaystyle \displaystyle {g(x^{y})=(gx)^{(g^{t})^{-1}y}.}}$

De hecho, las relaciones de covarianza para g con Q y la inversa implican que

${\displaystyle \displaystyle {gB(x,y)g^{-1}=B(gx,(g^{t})^{-1}y)}}$

Si x es invertible y por lo tanto en todas partes por densidad. A su vez, esto implica la relación para la cuasi-inversa. Si a es invertible, entonces Q ( a ) está en Γ( A ) y si ( a , b ) es cuasi-invertible , B ( a , b ) está en Γ( A ). Por lo tanto, ambos tipos de operadores actúan sobre X .

Las relaciones definitorias para el grupo de estructura muestran que es un subgrupo cerrado de${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$de GL( ^A ) . Dado que Q ( e ^a ) = e² ^{L ( a )} , el álgebra de Lie compleja correspondiente contiene los operadores L ( a ) . Los conmutadores [ L ( a ), L ( b )] generan el álgebra de Lie compleja de derivaciones de A. Los operadores R ( a , b ) = [ L ( a ), L ( b )] + L ( ab ) generan${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$y satisfacen R ( a , b ) ^t = R ( b , a ) y [ R ( a , b ), R ( c , d )]= R ( R ( a , b ) c , d ) − R ( c , R ( b , a ) d ) .

Sea A un álgebra de Jordan unitaria compleja de dimensión finita que es semisimple , es decir, la forma traza Tr L ( ab ) es no degenerada. Sea X el cociente de A × A por la relación de equivalencia. Sea X _b el subconjunto de X de clases ( a : b ) . La aplicación φ _b : X _b → A , ( a : b ) ↦ a es inyectiva. Un subconjunto U de X se define como abierto si y solo si U ∩ X _b es abierto para todo b .

Los mapas de transición del atlas con cartas φ _b vienen dados por

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{cb}=\varphi _{c}\circ \varphi _{b}^{-1}:\varphi _{b}(X_{b}\cap X_{c})\rightarrow \varphi _{c}(X_{b}\cap X_{c}).}}$

y son inyectivas y holomorfas ya que

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{cb}(a)=a^{b-c}}}$

con derivado

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{cb}^{\prime }(a)=B(a,b-c)^{-1}.}}$

Esto define la estructura de una variedad compleja en X porque φ _dc ∘ φ _cb = φ _db en φ _b ( X _b ∩ X _c ∩ X _d ) .

En efecto, todas las funciones polinómicas p _i ( b ) = det B ( a _i , b _i − b ) no son triviales ya que p _i ( b _i ) = 1 . Por lo tanto, existe un b tal que p _i ( b ) ≠ 0 para todo i , que es precisamente el criterio para que ( a _i : b _i ) pertenezca a X _b .

Loos (1977) utiliza los operadores de Bergman para construir un biholomorfismo explícito entre X y una subvariedad algebraica suave cerrada del espacio proyectivo complejo . ^{[ 11 ]} Esto implica, en particular, que X es compacto. Existe una demostración más directa de compacidad utilizando grupos de simetría.

Dado un marco de Jordan ( e _i ) en E , para cada a en A hay un k en U = Γ _u ( A ) tal que a = k (Σ α _i e _i ) con α _i ≥ 0 (y α _i > 0 si a es invertible). De hecho, si ( a , b ) está en X entonces es equivalente a k ( c , d ) con c y d en la subálgebra de Jordan unitaria A _e = ⊕ C e _i , que es la complejización de E _e = ⊕ R e _i . Sea Z la variedad compleja construida para A _e . Debido a que A _e es una suma directa de copias de C , Z es simplemente un producto de esferas de Riemann, una para cada e _i . En particular es compacto. Hay un mapa natural de Z en X que es continuo. Sea Y la imagen de Z . Es compacto y, por lo tanto, coincide con la clausura de Y ₀ = A _e ⊂ A = X ₀ . El conjunto U ⋅ Y es la imagen continua del conjunto compacto U × Y . Por lo tanto, es compacto. Por otro lado, U ⋅ Y ₀ = X ₀ , por lo que contiene un subconjunto denso de X y, por consiguiente, debe coincidir con X . Así pues, X es compacto.

El argumento anterior muestra que cada ( a , b ) en X es equivalente a k ( c , d ) con c y d en A _e y k en Γ _u ( A ) . El mapeo de Z en X es de hecho una incrustación. Esto es consecuencia de que ( x , y ) sea cuasi-invertible en A _e si y solo si es cuasi-invertible en A . De hecho, si B ( x , y ) es inyectiva en A , su restricción a A _e también es inyectiva. Recíprocamente, las dos ecuaciones para la cuasi-inversa en A _e implican que también es una cuasi-inversa en A .

Sea A un álgebra de Jordan unitaria semisimple compleja de dimensión finita. El grupo SL(2, C ) actúa mediante una transformación de Möbius sobre la esfera de Riemann C ∪ {∞}, la compactificación de un punto de C . Si g en SL(2, C ) está dado por la matriz

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},}}$

entonces

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=(\alpha z+\beta )(\gamma z+\delta )^{-1}.}}$

Existe una generalización de esta acción de SL(2, C ) a A y su compactificación X . Para definir esta acción, observe que SL(2, C ) es generada por los tres subgrupos de matrices unitriangulares inferiores y superiores y las matrices diagonales. También es generada por las matrices unitriangulares inferiores (o superiores), las matrices diagonales y la matriz

${\displaystyle \displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}}$

La matriz J corresponde a la transformación de Möbius j ( z ) = − z ⁻¹ y se puede escribir

${\displaystyle \displaystyle {J={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}.}}$

Las transformaciones de Möbius que fijan ∞ son simplemente las matrices triangulares superiores. Si g no fija ∞, lo transforma en un punto finito a . Pero entonces g se puede combinar con una matriz unitaria triangular superior para transformar a en 0 y luego con J para transformar 0 en infinito.

Para un elemento a de A , la acción de g en SL(2, C ) se define mediante la misma fórmula.

${\displaystyle \displaystyle {g(a)=(\alpha a+\beta 1)(\gamma a+\delta 1)^{-1}.}}$

Esto define un elemento de C [ a ] siempre que γa + δ1 sea invertible en A. La acción se define así en todas partes de A si g es triangular superior. Por otro lado, la acción sobre X es sencilla de definir para matrices triangulares inferiores. ^{[ 12 ]}

• Para matrices diagonales g con entradas diagonales α y α ⁻¹ , g ( a , b ) = (α ² a , α ⁻² b ) es una acción holomorfa bien definida sobre A ² que pasa al cociente X . En X ₀ = A coincide con la acción de Möbius.
• Para matrices unitarangulares inferiores, con parámetro fuera de la diagonal γ, definimos g ( a , b ) = ( a , b − γ1) . Nuevamente, esto es holomorfo en A ² y pasa al cociente X . Cuando b = 0 y γ ≠ 0 ,

${\displaystyle \displaystyle {g(a:0)=(a:-\gamma )=(a^{-\gamma }:0)=(a(\gamma a+1)^{-1}:0)}}$

Si γ a + 1 es invertible, entonces esto es una extensión de la acción de Möbius.

• Para matrices unitarangulares superiores, con parámetro fuera de la diagonal β, la acción sobre X ₀ = ( A :0) ​​se define por g ( a ,0) = ( a + β1) . Loos (1977) demostró que esto definía un flujo complejo de un parámetro sobre A . El campo vectorial complejo holomorfo correspondiente se extendía a X , de modo que la acción sobre la variedad compleja compacta X podía definirse mediante el flujo complejo asociado. Un método más sencillo consiste en observar que el operador J puede implementarse directamente utilizando sus relaciones de entrelazamiento con el grupo de estructura unitaria.

De hecho, en los elementos invertibles de A , el operador j ( a ) = − a ⁻¹ satisface j ( ga ) = ( g ^t ) ⁻¹ j ( a ) . Para definir un biholomorfismo j en X tal que j ∘ g = ( g ^t ) ⁻¹ ∘ j , basta con definir estos para ( a : b ) en alguna órbita adecuada de Γ( A ) o Γ _u ( A ). Por otro lado, como se indicó anteriormente, dado un marco de Jordan ( e _i ) en E , para cada a en A hay un k en U = Γ _u ( A ) tal que a = k (Σ α _i e _i ) con α _i ≥ 0 .

El cálculo de j en el álgebra asociativa conmutativa A _e es directo ya que es un producto directo. Para c = Σ α _i e _i y d = Σ β _i e _i , el operador de Bergman en A _e tiene determinante det B ( c , d ) = Π(1 − α _i β _i ) ² . En particular det B ( c , d − λ) ≠ 0 para algún λ ≠ 0. Así que ( c , d ) es equivalente a ( x ,λ) . Sea μ = −λ ⁻¹ . En A , para un conjunto denso de a , el par ( a ,λ) es equivalente a ( b ,0) con b invertible. Entonces (− b ⁻¹ ,0) es equivalente a (μ − μ ² a ,μ) . Dado que a ↦ μ − μ ² a es holomorfa, se deduce que j tiene una única extensión continua a X tal que j ∘ g = ( g ^t ) ⁻¹ ∘ j para g en Γ( A ) , la extensión es holomorfa y para λ ≠ 0 , μ = −λ ⁻¹

Las transformaciones holomorfas correspondientes a matrices unitarangulares superiores pueden definirse utilizando el hecho de que son las conjugadas por J de matrices unitarangulares inferiores, para las cuales la acción ya es conocida. Una construcción algebraica directa se presenta en Dineen, Mackey y Mellon (1999) .

Esta acción de SL(2, C ) es compatible con inclusiones. Más generalmente, si e ₁ , ..., e _m es un marco de Jordan, hay una acción de SL(2, C ) ^m sobre A _e que se extiende a A . Si c = Σ γ _i e _i y b = Σ β _i e _i , entonces S ( c ) y T ( b ) dan la acción del producto de las matrices unitarangulares inferior y superior. Si a = Σ α _i e _i es invertible, el producto correspondiente de matrices diagonales actúa como W = Q ( a ) . ^{[ 13 ]} En particular, las matrices diagonales dan una acción de ( C *) ^m y T ^m .

Sea A un álgebra de Jordan semisimple unitaria compleja de dimensión finita. Existe una acción holomorfa transitiva de un grupo de matrices complejas G sobre la variedad compleja compacta X. Koecher (1967) describió G de forma análoga a SL(2, C ) en términos de generadores y relaciones. G actúa sobre el álgebra de Lie de dimensión finita correspondiente de campos vectoriales holomorfos restringidos a X ₀ = A , de modo que G se realiza como un grupo de matrices cerrado. Es la complejización de un grupo de Lie compacto sin centro, por lo que es un grupo algebraico semisimple. La componente identidad H del grupo compacto actúa transitivamente sobre X , de modo que X puede identificarse como un espacio simétrico hermitiano de tipo compacto. ^{[ 14 ]}

El grupo G se genera mediante tres tipos de transformaciones holomorfas en X :

• Operadores W correspondientes a elementos W en Γ( A ) dados por W ( a , b ) = ( Wa , ( W ^t ) ⁻¹ b ) . Estos ya fueron descritos anteriormente. En X ₀ = A , están dados por a ↦ Wa .
• Los operadores S _c se definen mediante S _c ( a , b ) = ( a , b + c ) . Estos son el análogo de las matrices unitriangulares inferiores y forman un subgrupo isomorfo al grupo aditivo de A , con la parametrización dada. Nuevamente, estos actúan holomorfamente sobre A ² y la acción pasa al cociente X . Sobre A la acción viene dada por a ↦ a ^c si ( a , c ) es cuasi-invertible.
• La transformación j correspondiente a J en SL(2, C ) . Se construyó arriba como parte de la acción de PSL(2, C ) = SL(2, C )/{±I } sobre X . En elementos invertibles en A viene dada por a ↦ − a ⁻¹ .

Los operadores W normalizan el grupo de operadores S _c . De manera similar, el operador j normaliza el grupo de estructura, j ∘ W = ( W ^t ) ⁻¹ ∘ j . Los operadores T _c = j ∘ S _{− c} ∘ j también forman un grupo de transformaciones holomorfas isomorfas al grupo aditivo de A . Generalizan el subgrupo unitriangular superior de SL(2, C ) . Este grupo es normalizado por los operadores W del grupo de estructura. El operador T _c actúa sobre A como a ↦ a + c . Si c es un escalar, los operadores S _c y T _c coinciden con los operadores correspondientes a las matrices unitriangulares inferior y superior en SL(2, C ) . En consecuencia, existe una relación j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ y PSL(2, C ) es un subgrupo de G . Loos (1977) define los operadores T _c en términos del flujo asociado a un campo vectorial holomorfo en X , mientras que Dineen, Mackey y Mellon (1999) dan una descripción algebraica directa.

En efecto, S _b T _a (0:0) = ( a : b ) .

Sean G ₋₁ y G ₊₁ los grupos abelianos complejos formados por las simetrías T _c y S _c respectivamente. Sea G ₀ = Γ( A ) .

Las dos expresiones para G son equivalentes como sigue al conjugarlas por j .

Para un invertible, la identidad de Hua puede ser reescrita.

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}}$

Además, j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ y S _c = j ∘ T _{− c} ∘ j . ^{[ 15 ]}

Las relaciones de convarianza muestran que los elementos de G caen en los conjuntos G ₀ G ₁ , G ₀ G ₁ jG ₁ , G ₀ G ₁ jG ₁ jG ₁ , G ₀ G ₁ jG ₁ jG ₁ jG ₁ . ... La primera expresión para G se deduce una vez establecido que no aparecen nuevos elementos en el cuarto conjunto o subsiguientes. Para ello basta con demostrar que ^{[ 16 ]}

j ∘ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ ∘ j ⊆ G ₀ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ .

Entonces, si hay tres o más ocurrencias de j , el número se puede reducir recursivamente a dos. Dados a y b en A , elija λ ≠ 0 de modo que c = a − λ y d = b − λ ⁻¹ sean invertibles. Entonces

${\displaystyle \displaystyle {jT_{a}jT_{b}j=jT_{c}T_{\lambda }jT_{\lambda ^{-1}}T_{d}\circ j=\lambda ^{2}jT_{c}jT_{-\lambda }jT_{d}\ j=\lambda ^{2}T_{-c^{-1}}jQ(c^{-1})T_{-c^{-1}-\lambda -d^{-1}}jQ(d^{-1})jT_{-d^{-1}},}}$

que se encuentra en G ₀ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ .

Basta con comprobar que si S _a T _b (0:0) = (0:0) , entonces b = 0. Si es así, ( b :0) = (0: − a ) = (0:0) , entonces b = 0 .

Para un invertible, la identidad de Hua puede ser reescrita.

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}}$

Dado que j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ , los operadores Q ( a ) pertenecen al grupo generado por G _±1 . ^{[ 17 ]}

Para pares cuasi-invertibles ( a , b ) , existen las "relaciones de intercambio" ^{[ 18 ].}

Esta identidad muestra que B ( a , b ) está en el grupo generado por G _±1 . Tomando inversos, es equivalente a la identidad T _a S _b = S _{b ^a} B ( a , b ) T _{a ^b} .

Para demostrar las relaciones de intercambio, basta con comprobar que es válida cuando se aplica a los puntos del conjunto denso de puntos ( c : 0) en X para los cuales ( a + c , b ) es cuasi-invertible. Entonces se reduce a la identidad:

De hecho, si ( a , b ) es cuasi-invertible, entonces ( a + c , b ) es cuasi-invertible si y solo si ( c , b ^a ) es cuasi-invertible. Esto se deduce de que ( x , y ) es cuasi-invertible si y solo si ( y , x ) lo es. Además, la fórmula anterior se cumple en este caso.

Para la demostración, se requieren dos identidades más:

${\displaystyle \displaystyle {B(c+b,a)=B(c,a^{b})B(b,a)}}$

${\displaystyle \displaystyle {R(a,b)=R(a^{b},b-Q(b)a)=R(a-Q(a)b,b^{a})}}$

La primera se deduce de una identidad previa aplicando la transpuesta. Para la segunda, debido a la transpuesta, basta con demostrar la primera igualdad. Haciendo c = b − Q ( b ) a en la identidad B ( a , b ) R ( a ^b , c ) = R ( a , c ) − Q ( a ) Q ( b , c ) se obtiene

B ( a , b ) R ( a ^b , b − Q ( b ) c ) = B ( a , b ) R ( a , b ),

por lo tanto, la identidad se obtiene cancelando B ( a , b ) .

Para demostrar la fórmula, las relaciones ( a + c ) ^b = B ( a , c ) ⁻¹ ( a + c − Q ( a + c ) b ) y a ^b + B ( a , b ) ⁻¹ c ^{( b a )} = B ( a + c , b ) ⁻¹ ( B ( c , b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) + c − Q ( c ) b ^a ) muestran que es suficiente para demostrar que

a + c − Q ( a + c ) b = B ( c , b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) + c − Q ( c ) b ^a .

En efecto, B ( c , b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) + c − Q ( c ) b ^a = a + c − Q ( a ) b + 2 R ( c , b ^a )( a − Q ( a ) b ) − Q ( c )[ b ^a − Q ( b ^a )( a − Q ( a ) b )] . Por otro lado, 2 R ( c , b ^a )( a − Q ( a ) b ) = 2 R ( c , a − Q ( a ) b ) b ^a = R ( a , b ) c = 2 Q ( a , c ) b y b ^a − Q ( b ^a )( a − Q ( a ) b ) = b ^a − Q ( b ) B ( a , b ) ⁻¹ ( a − Q ( a ) b ) = b ^a − Q ( b ) a ^b = b . Entonces B ( c , b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) + c − Q ( c ) b ^a = a + c − Q ( a ) b − 2 Q (a , c ) b − Q ( c ) b = a + c − Q ( a + c ) b .

Ahora definimos Ω = G ₊₁ G ₀ G ₋₁ . Entonces las relaciones de intercambio implican que S _b T _a está en Ω si y solo si ( a , b ) es cuasi-invertible; y que g está en Ω si y solo si g (0:0) está en X ₀ . ^{[ 19 ]}

De hecho, si S _b T _a está en Ω , entonces ( a , b ) es equivalente a ( x , 0) , por lo que es un par cuasi-invertible; el recíproco se deduce de las relaciones de intercambio. Claramente Ω(0:0) = G ₁ (0:0) = X _0. El recíproco se deduce de G = G ₋₁ G ₁ G ₀ G ₋₁ y del criterio para que S _b T _a esté en Ω .

La variedad compleja compacta X se modela en el espacio A. Las derivadas de los mapas de transición describen el fibrado tangente a través de funciones de transición holomorfas F _bc : X _b ∩ X _c → GL( A ) . Estas están dadas por F _bc ( a , b ) = B ( a , b − c ) , por lo que el grupo de estructura del fibrado de fibra principal correspondiente se reduce a Γ( A ) , el grupo de estructura de A . ^{[ 20 ]} El fibrado vectorial holomorfo correspondiente con fibra A es el fibrado tangente de la variedad compleja X . Sus secciones holomorfas son simplemente campos vectoriales holomorfos en X . Se pueden determinar directamente usando el hecho de que deben ser invariantes bajo la acción adjunta natural de las simetrías holomorfas conocidas de X . Forman un álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita. La restricción de estos campos vectoriales a X ₀ se puede describir explícitamente. Una consecuencia directa de esta descripción es que el álgebra de Lie es trigradada y que el grupo de simetrías holomorfas de X , descrito por generadores y relaciones en Koecher (1967) y Loos (1979) , es un grupo algebraico semisimple lineal complejo que coincide con el grupo de biholomorfismos de X.

Las álgebras de Lie de los tres subgrupos de automorfismos holomorfos de X dan lugar a espacios lineales de campos vectoriales holomorfos en X y, por lo tanto, X ₀ = A .

• El grupo de estructura Γ( A ) tiene álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$generados por los operadores R ( x , y ) . Estos definen un álgebra de Lie compleja de campos vectoriales lineales a ↦ R ( x , y ) a en A .
• Los operadores de traslación actúan sobre A como T _c ( a ) = a + c . Los subgrupos uniparamétricos correspondientes vienen dados por T _tc y corresponden a los campos vectoriales constantes a ↦ c . Estos dan lugar a un álgebra de Lie abeliana.${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}$de campos vectoriales en A.
• Los operadores S _c definidos en X por S _c ( a , b ) = ( a , b − c ) . Los grupos uniparamétricos correspondientes S _tc definen campos vectoriales cuadráticos a ↦ Q ( a ) c en A . Estos dan lugar a un álgebra de Lie abeliana.${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$de campos vectoriales en A.