Cuádrica

Fuente: ^{[ 3 ]}

Se puede representar un rayo tridimensional paramétricamente como $${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&x_{0}+\alpha t\\y&=&y_{0}+\beta t\\z&=&z_{0}+\gamma t\end{array}}}$$dónde${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$, y${\displaystyle \gamma }$son los${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$componentes del vector de dirección normalizado del rayo y${\displaystyle t}$es la distancia a lo largo del rayo. Insertando estos valores en la ecuación para una superficie cuádrica tridimensional, se obtiene una ecuación cuadrática para${\displaystyle t}$Si existen dos raíces reales, esto proporciona los dos puntos de intersección del rayo con la superficie cuádrica. Si existe una raíz doble, el rayo roza la superficie. Si no existen raíces reales, el rayo no alcanza la superficie cuádrica.

Alternativamente, utilizando coordenadas homogéneas , se puede representar el rayo como ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle {\mathbf {r}}={\mathbf {p_{0}}}+{\mathbf {d}}t}$$dónde$${\displaystyle {\mathbf {p_{0}}}={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\1\end{bmatrix}}}$$es una línea que pasa por el punto${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$y$${\displaystyle {\mathbf {d}}={\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \\0\end{bmatrix}}}$$es el vector de dirección del rayo. La ecuación para la intersección de un rayo con una superficie cuádrica se representa entonces como$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}0&={\mathbf {r}}^{T}{\mathbf {Mr}}\\&={({{\mathbf {p}}_{0}}+t{\mathbf {d}})}^{T}{\mathbf {M}}({\mathbf {p_{0}}}+t{\mathbf {d}})\\&=({\mathbf {d}}^{t}{\mathbf {Md}})t^{2}+(2{\mathbf {d}}^{T}{\mathbf {Mp_{0}}})t+({{\mathbf {p}}_{0}}^{T}{\mathbf {Mp_{0}}})\end{alignedat}}}$$lo que produce la misma ecuación cuadrática en t .

La normal a cualquier punto de la superficie es$${\displaystyle {\mathbf {n}}=norm({\mathbf {Mp}}).}$$

En gráficos por computadora, la representación visual de objetos modelados matemáticamente se determina frecuentemente mediante trazado de rayos . A menudo, las superficies de los objetos se describen en términos de una serie de puntos en la superficie y las normales a la superficie en esos puntos. Los puntos intermedios en la superficie se describen mediante un conjunto de parches de superficie entre los puntos. Las superficies cuádricas se utilizan frecuentemente de esta manera cuando la superficie se describe como un conjunto de triángulos utilizando las posiciones y normales a los vértices de esos triángulos. El uso de superficies cuádricas para modelar estos parches tiene la ventaja de que es fácil determinar si un rayo de luz interseca un parche y dónde lo hace, como se describió en la sección anterior. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La ecuación para una superficie cuádrica tiene diez variables, pero solo nueve variables independientes, ya que la multiplicación de la ecuación por cualquier constante distinta de cero no tiene efecto. Las normales y las ubicaciones de tres puntos dan nueve restricciones. Por lo tanto, parecería posible determinar de forma única un parche triangular de superficie cuádrica a partir de esta información. De hecho, se puede construir una${\displaystyle 9\times 9}$matriz lineal para designar estas restricciones. Sin embargo, se puede demostrar que esta matriz siempre será singular, por lo que se debe agregar alguna restricción adicional para determinar de manera única la superficie cuádrica de ese parche. ^{[ 6 ]}

Fuentes: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

En general, las ecuaciones cuádricas pueden no estar en forma normal, y puede ser difícil determinar el tipo de superficie cuádrica mediante inspección visual a menos que la superficie cuádrica tenga su centro en el origen y los ejes principales estén a lo largo de las direcciones x , y y z. Sin embargo, si se define la submatriz de${\displaystyle {\mathbf {M}}}$$${\displaystyle {\mathbf {A}}={\begin{bmatrix}m_{xx}&m_{xy}&m_{xz}\\m_{xy}&m_{yy}&m_{yz}\\m_{xz}&m_{yz}&m_{zz}\end{bmatrix}}}$$Luego, la siguiente tabla permite clasificar la superficie cuádrica, basándose en los rangos , determinantes y valores propios de la${\displaystyle {\mathbf {A}}}$y${\displaystyle {\mathbf {M}}}$matrices.

Todas las superficies cuádricas reales, excepto los elipsoides y los hiperboloides, son casos límite especiales. Cualquier elipsoide o hiperboloides real se puede expresar como una matriz reposicionada de la forma$${\displaystyle {\mathbf {M}}={\mathbf {P}}^{T}{\mathbf {M}}{\acute {}}{\mathbf {P}}=0}$$con${\displaystyle {\mathbf {M}}{\acute {}}}$que contiene únicamente los componentes diagonales de${\displaystyle m_{xx}{\acute {}},m_{yy}{\acute {}},m_{zz}{\acute {}}}$, y${\displaystyle m_{0}{\acute {}}}$, siendo los demás ceros. Aquí las columnas de los ejes x , y y z de la matriz afín${\displaystyle {\mathbf {P}}}$son los autovectores normalizados de${\displaystyle {\mathbf {A}}}$. donde el acento agudo implica la transpuesta de la matriz. La ubicación del centroide ,${\displaystyle {\mathbf {p}}}$(en la cuarta columna de${\displaystyle {\mathbf {P}}}$) es$${\displaystyle {\mathbf {p}}={\mathbf {A}}^{-1}{\begin{bmatrix}q_{x}\\q_{y}\\q_{z}\end{bmatrix}}}$$Los radios de los ejes tienen los valores$${\displaystyle {radius}^{2}={\frac {C}{eigenvalue\;of{\mathbf {A}}}}}$$donde los ejes radiales y a lo largo de los autovectores de los autovalores correspondientes, y$${\displaystyle C={\mathbf {p}}^{T}{\mathbf {Ap}}-m_{0}}$$Para un elipsoide real, los radios de todos los autovalores son positivos. Para un hiperboloide de una hoja, uno de los radios al cuadrado es negativo, siendo los otros dos los de la elipse en el cuello del hiperboloide. Para un hiperboloide de dos hojas, dos de los radios al cuadrado son negativos y el radio real es la distancia desde el centro hasta los vértices de las hojas. Si los tres autovalores dan radios al cuadrado negativos, entonces la superficie cuádrica es un elipsoide imaginario. ^{[ 7 ]}

Las matrices de transformación afín se utilizan para representar transformaciones de coordenadas. Dicha matriz tiene la forma ^{[ 9 ] [ 10 ].}$${\displaystyle {\mathbf {P_{10}}}={\begin{bmatrix}x_{x}&x_{y}&x_{z}&x_{0}\\y_{x}&y_{y}&y_{z}&y_{0}\\z_{x}&z_{y}&z_{z}&z_{0}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$Aquí la primera columna de la matriz es el vector de dirección normalizado de la${\displaystyle x}$-eje del nuevo sistema de coordenadas${\displaystyle C_{1}}$, con respecto al sistema de coordenadas original,${\displaystyle C_{0}}$La segunda columna representa la${\displaystyle y}$eje -, la tercera columna${\displaystyle z}$-eje, y la cuarta columna es la ubicación del origen en${\displaystyle C_{1}}$en el sistema de coordenadas original. Un punto en la ubicación${\displaystyle {\mathbf {p_{1}}}}$, en términos de la${\displaystyle C_{1}}$El sistema de coordenadas está en el punto$${\displaystyle {\mathbf {p_{0}}}={\mathbf {P_{10}p_{1}}}}$$en el sistema de coordenadas original. Tenga en cuenta que aquí, el${\displaystyle {\mathbf {p_{1}}}}$El vector tiene un "1" como su cuarto término, ya que es un vector de ubicación, mientras que los vectores de dirección tienen un "0" como cuarto término. Usando las reglas habituales del álgebra matricial, la transformación inversa se obtiene como la inversa de la matriz.${\displaystyle {\mathbf {P_{10}}}}$, eso es,$${\displaystyle {\mathbf {P_{01}}}={\mathbf {P_{10}}}^{-1}}$$Estas transformaciones se pueden concatenar, de modo que si hay un sistema de coordenadas${\displaystyle C_{2}}$, con una ubicación y orientación${\displaystyle {\mathbf {P_{21}}}}$con respecto a${\displaystyle C_{1}}$, su orientación con respecto a${\displaystyle C_{0}}$es$${\displaystyle {\mathbf {P_{20}}}={\mathbf {P_{21}P_{10}}}}$$como se calcula mediante multiplicación de matrices. Estas matrices de transformación se utilizan frecuentemente para calcular las ubicaciones y la orientación de los vehículos. Por ejemplo, una aeronave en un punto${\displaystyle {\mathbf {p_{1}}}}$en el marco de referencia de la aeronave estará en un punto${\displaystyle {\mathbf {p_{0}}}}$en el sistema de coordenadas terrestres, si${\displaystyle {\mathbf {P_{10}}}}$es la transformación entre el sistema de referencia terrestre y el sistema de referencia de la aeronave.

Las superficies cuádricas tienen la agradable propiedad de que también se transforman bajo transformaciones de coordenadas afines. Si una superficie cuádrica,${\displaystyle {\mathbf {M}}}$, is moved to a coordinate location and orientation ${\displaystyle C_{1}}$, its description as seen from the original coordinate system ${\displaystyle C_{1}}$ is^[11]$${\displaystyle {\mathbf {M}}_{moved\;to}={\mathbf {P_{01}}}^{T}{\mathbf {M}}\;{\mathbf {P_{01}}}}$$However, this needs to be distinguished from a quadric surface defined in coordinate system ${\displaystyle C_{0}}$ as viewed from a coordinate system ${\displaystyle C_{1}}$, where the transformation is

${\displaystyle {\mathbf {M}}_{viewed\;from}={\mathbf {P_{10}}}^{T}{\mathbf {M}}\;{\mathbf {P_{10}}}}$

Note that since ${\displaystyle {\mathbf {M}}^{T}={\mathbf {M}}}$, it does not matter whether or not this matrix is transposed, and one may see it either way in the literature.

Latitude and longitude are normally thought of as lines on the globe, but when you consider that one may cross a line of latitude or longitude at different altitudes, it becomes obvious that these lines are actually surfaces, in fact, quadric surfaces. If the Earth is approximated as a sphere, longitudes are planes slicing though the center of the Earth and through the poles, while latitudes are cones, with the point of the cone at the center of the Earth. Altitudes are spheres of different radii. This is the general model currently used for naval and aviation navigation.

When the Earth is better approximated as an ellipsoid, the longitudes are still the same planes as for the spherical Earth. Latitudes are still cones, but the points of the cones are no longer at the center of the Earth, except at the equator; the cone axis is still along the Earth's axis, but north or south of the Earth center. Altitudes are ellipsoids. In the World Geodetic System 1984 (WGS84), the equatorial radius of the Earth is (${\displaystyle G_{a}}$) is given as 6,378,137.0 meters and the polar radius (${\displaystyle G_{b}}$) as 6,356,752.3142 meters. The squared first eccentricity is then$${\displaystyle {G_{e}}^{2}={\frac {{G_{a}}^{2}-{G_{b}}^{2}}{{G_{a}}^{2}}}=0.00669437999014}$$

Given latitude ${\displaystyle \phi }$ and longitude ${\displaystyle \lambda }$, Earth-centered (geocentric) coordinates can be determined as^[12]$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&(R_{N}+H)\cos \phi \cos \lambda \\y&=&(R_{N}+H)\cos \phi \sin \lambda \\z&=&({\frac {R_{N}G_{b}}{G_{a}}}+H)\sin \phi \end{array}}}$$ where H is the height above the Earth ellipsoid and$${\displaystyle R_{N}=G_{a}/{\sqrt {1-{G_{e}}^{2}{\sin }^{2}\phi }}.}$$

Una cuádrica en un espacio afín de dimensión n es el conjunto de ceros de un polinomio de grado 2. Es decir, es el conjunto de los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

donde el polinomio p tiene la forma

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

para una matriz${\displaystyle A=(a_{i,j})}$con${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$corriendo de 0 a${\displaystyle n}$Cuando la característica del campo de los coeficientes no es dos, generalmente${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$se supone; equivalentemente${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$Cuando la característica del campo de los coeficientes es dos, generalmente${\displaystyle a_{i,j}=0}$se asume cuando${\displaystyle j<i}$; equivalentemente${\displaystyle A}$es triangular superior .

La ecuación puede acortarse, como la ecuación matricial.

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} =0\,,}$

con

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}\,.}$

La ecuación de la completación proyectiva es casi idéntica:

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} =0,}$

con

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

Estas ecuaciones definen una cuádrica como una hipersuperficie algebraica de dimensión n − 1 y grado dos en un espacio de dimensión n .

Se dice que una cuádrica no es degenerada si la matriz${\displaystyle A}$es invertible .

Una cuádrica no degenerada es no singular en el sentido de que su completación proyectiva no tiene un punto singular (un cilindro es no singular en el espacio afín, pero es una cuádrica degenerada que tiene un punto singular en el infinito ).

The singular points of a degenerate quadric are the points whose projective coordinates belong to the null space of the matrix A.

A quadric is reducible if and only if the rank of A is one (case of a double hyperplane) or two (case of two hyperplanes).

Let consider the quadric of equation

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}-1=0.}$

For ${\displaystyle n=2,}$ this is the unit circle; for ${\displaystyle n=3}$ this is the unit sphere; in higher dimensions, this is the unit hypersphere.

The point ${\displaystyle \mathbf {a} =(0,\ldots ,0,-1)}$ belongs to the quadric (the choice of this point among other similar points is only a question of convenience). So, the equation ${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$ of the preceding section becomes

${\displaystyle (\lambda t_{1}^{2})+\cdots +(\lambda t_{n-1})^{2}+(1-\lambda )^{2}-1=0.}$

By expanding the squares, simplifying the constant terms, dividing by ${\displaystyle \lambda ,}$ and solving in ${\displaystyle \lambda ,}$ one obtains

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.}$

Substituting this into ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$ and simplifying the expression of the last coordinate, one obtains the parametric equation

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2t_{1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\\vdots \\x_{n-1}={\frac {2t_{n-1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\x_{n}={\frac {1-t_{1}^{2}-\cdots -t_{n-1}^{2}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.\end{cases}}}$

By homogenizing, one obtains the projective parametrization

${\displaystyle {\begin{cases}X_{0}=T_{1}^{2}+\cdots +T_{n}^{2}\\X_{1}=2T_{1}T_{n}\\\vdots \\X_{n-1}=2T_{n-1}T_{n}\\X_{n}=T_{n}^{2}-T_{1}^{2}-\cdots -T_{n-1}^{2}.\end{cases}}}$

A straightforward verification shows that this induces a bijection between the points of the quadric such that ${\displaystyle X_{n}\neq -X_{0}}$ and the points such that ${\displaystyle T_{n}\neq 0}$ in the projective space of the parameters. On the other hand, all values of ${\displaystyle (T_{1},\ldots ,T_{n})}$ such that ${\displaystyle T_{n}=0}$ and ${\displaystyle T_{1}^{2}+\cdots +T_{n-1}^{2}\neq 0}$ give the point ${\displaystyle A.}$

In the case of conic sections (${\displaystyle n=2}$), there is exactly one point with ${\displaystyle T_{n}=0.}$ and one has a bijection between the circle and the projective line.

For ${\displaystyle n>2,}$ there are many points with ${\displaystyle T_{n}=0,}$ and thus many parameter values for the point ${\displaystyle A.}$ On the other hand, the other points of the quadric for which ${\displaystyle X_{n}=-X_{0}}$ (and thus ${\displaystyle x_{n}=-1}$) cannot be obtained for any value of the parameters. These points are the points of the intersection of the quadric and its tangent plane at ${\displaystyle A.}$ In this specific case, these points have nonreal complex coordinates, but it suffices to change one sign in the equation of the quadric for producing real points that are not obtained with the resulting parametrization.

This is well illustrated by Pythagorean triples. A Pythagorean triple is a triple${\displaystyle (a,b,c)}$ of positive integers such that ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$ A Pythagorean triple is primitive if ${\displaystyle a,b,c}$ are setwise coprime, or, equivalently, if any of the three pairs ${\displaystyle (a,b),}$${\displaystyle (b,c)}$ and ${\displaystyle (a,c)}$ is coprime.

By choosing ${\displaystyle A=(-1,0,1)}$ and ⁠${\displaystyle \mathbf {t} =(m,n)}$⁠, the above method provides the parametrization

${\displaystyle {\begin{cases}a=m^{2}-n^{2}\\b=2mn\\c=m^{2}+n^{2}\end{cases}}}$

for the quadric of equation ${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$ (The names of variables and parameters are being changed from the above ones to those that are common when considering Pythagorean triples).

If m and n are coprime integers such that ${\displaystyle m>n>0,}$La terna resultante es una terna pitagórica. Si uno de los términos m y n es par y el otro impar, esta terna resultante es primitiva; de lo contrario, ambos m y n son impares, y se obtiene una terna primitiva dividiendo por 2.

En resumen, las ternas pitagóricas primitivas con${\displaystyle b}$incluso se obtienen como

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2},}$

con m y n enteros coprimos tales que uno es par y${\displaystyle m>n>0}$(esta es la fórmula de Euclides ). Las ternas pitagóricas primitivas con${\displaystyle b}$Los impares se obtienen como

${\displaystyle a={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad b=mn,\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}},}$

con m y n enteros impares coprimos tales que${\displaystyle m>n>0.}$

Como el intercambio de a y b transforma una terna pitagórica en otra terna pitagórica, solo uno de los dos casos es suficiente para producir todas las ternas pitagóricas primitivas hasta el orden de a y b .

Dejar${\displaystyle K}$ser un campo y${\displaystyle V}$un espacio vectorial sobre${\displaystyle K}$Un mapeo${\displaystyle q}$de${\displaystyle V}$a${\displaystyle K}$de tal manera que

(P1)${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$para cualquier${\displaystyle \lambda \in K}$y${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$.

(P2)${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec {x}})-q({\vec {y}})\;}$es una forma bilineal .

Se denomina forma cuadrática . La forma bilineal.${\displaystyle f}$es simétrico .

En caso de${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$La forma bilineal es${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$, es decir${\displaystyle f}$y${\displaystyle q}$se determinan mutuamente de una manera única. En caso de${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$(eso significa:${\displaystyle 1+1=0}$) la forma bilineal tiene la propiedad${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$, es decir${\displaystyle f}$es simpléctico .

Para${\displaystyle V=K^{n}\ }$y${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$ (${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$es una base de${\displaystyle V}$)${\displaystyle \ q}$tiene la forma familiar

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ for }}\ i\neq k\ {\text{ and }}\ a_{ii}:=q({\vec {e}}_{i})\ }$y

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k}+x_{k}y_{i})}$.

Por ejemplo:

${\displaystyle n=3,\quad q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\quad f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$

Dejar${\displaystyle K}$ser un campo,${\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }$,

${\displaystyle V_{n+1}}$un espacio vectorial de ( n + 1) dimensiones sobre el campo${\displaystyle K,}$

${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle }$el subespacio unidimensional generado por${\displaystyle {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}}$,

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \mid {\vec {x}}\in V_{n+1}\},\ }$el conjunto de puntos ,

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{{\text{2-dimensional subspaces of }}V_{n+1}\},\ }$el conjunto de líneas .

${\displaystyle P_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}})\ }$es el espacio proyectivo n -dimensional sobre${\displaystyle K}$.

El conjunto de puntos contenidos en un${\displaystyle (k+1)}$subespacio -dimensional de${\displaystyle V_{n+1}}$es un${\displaystyle k}$subespacio -dimensional de${\displaystyle P_{n}(K)}$. Un subespacio bidimensional es un plano .

En caso de${\displaystyle \;n>3\;}$a${\displaystyle (n-1)}$El subespacio de -dimensiones se llama hiperplano .

Una forma cuadrática${\displaystyle q}$ on a vector space ${\displaystyle V_{n+1}}$ defines a quadric${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ in the associated projective space ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ as the set of the points ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$ such that ${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$. That is,

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid q({\vec {x}})=0\}.}$

Examples in ${\displaystyle P_{2}(K)}$.:(E1): For ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$ one obtains a conic. (E2): For ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ one obtains the pair of lines with the equations ${\displaystyle x_{1}=0}$ and ${\displaystyle x_{2}=0}$, respectively. They intersect at point ${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle }$;

For the considerations below it is assumed that ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\neq \emptyset }$.

For point ${\displaystyle P=\langle {\vec {p}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$ the set

${\displaystyle P^{\perp }:=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}}$

is called polar space of ${\displaystyle P}$ (with respect to ${\displaystyle q}$).

If ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$ for all ${\displaystyle {\vec {x}}}$, one obtains ${\displaystyle P^{\perp }={\mathcal {P}}}$.

If ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$ for at least one ${\displaystyle {\vec {x}}}$, the equation ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$is a non trivial linear equation which defines a hyperplane. Hence

${\displaystyle P^{\perp }}$ is either a hyperplane or ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

For the intersection of an arbitrary line ${\displaystyle g}$ with a real quadric ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$, the following cases may occur:

a) ${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset \;}$ and ${\displaystyle g}$ is called exterior line

b) ${\displaystyle g\subset {\mathcal {Q}}\;}$ and ${\displaystyle g}$ is called a line in the quadric

c) ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1\;}$ and ${\displaystyle g}$ is called tangent line

d) ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2\;}$ and ${\displaystyle g}$ is called secant line.

Proof: Let ${\displaystyle g}$ be a line, which intersects ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ at point ${\displaystyle \;U=\langle {\vec {u}}\rangle \;}$ and ${\displaystyle \;V=\langle {\vec {v}}\rangle \;}$ is a second point on ${\displaystyle g}$. From ${\displaystyle \;q({\vec {u}})=0\;}$ one obtains ${\displaystyle q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q(x{\vec {u}})+q({\vec {v}})+f(x{\vec {u}},{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})\;.}$ I) In case of ${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$ the equation ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$ holds and it is ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$ for any ${\displaystyle x\in K}$. Hence either ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ for any${\displaystyle x\in K}$ or ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$ for any${\displaystyle x\in K}$, which proves b) and b'). II) In case of ${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$ one obtains ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$ and the equation ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})=0\;}$ has exactly one solution ${\displaystyle x}$. Hence: ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$, which proves c).

Additionally the proof shows:

A line ${\displaystyle g}$ through a point ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$ is a tangent line if and only if ${\displaystyle g\subset P^{\perp }}$.

In the classical cases ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ or ${\displaystyle \mathbb {C} }$ there exists only one radical, because of ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ and ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle q}$ are closely connected. In case of ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ the quadric ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ is not determined by ${\displaystyle f}$ (see above) and so one has to deal with two radicals:

a) ${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{P\in {\mathcal {P}}\mid P^{\perp }={\mathcal {P}}\}}$ is a projective subspace. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is called f-radical of quadric ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$.

b) ${\displaystyle {\mathcal {S}}:={\mathcal {R}}\cap {\mathcal {Q}}}$ is called singular radical or ${\displaystyle q}$-radical of ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$.

c) In case of ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ one has ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}}$.

A quadric is called non-degenerate if ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\emptyset }$.

Examples in ${\displaystyle P_{2}(K)}$ (see above): (E1): For ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$ (conic) the bilinear form is ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$ In case of ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ the polar spaces are never ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Hence ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}=\emptyset }$. In case of ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ the bilinear form is reduced to ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ and ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle \notin {\mathcal {Q}}}$. Hence ${\displaystyle {\mathcal {R}}\neq {\mathcal {S}}=\emptyset \;.}$ In this case the f-radical is the common point of all tangents, the so called knot. In both cases ${\displaystyle S=\emptyset }$ and the quadric (conic) ist non-degenerate. (E2): For ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ (pair of lines) the bilinear form is ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ and ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle ={\mathcal {S}}\;,}$ the intersection point. In this example the quadric is degenerate.

A quadric is a rather homogeneous object:

For any point ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}\;}$ there exists an involutorial central collineation${\displaystyle \sigma _{P}}$ with center ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle \sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}}$.

Proof: Due to ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}}$ the polar space ${\displaystyle P^{\perp }}$ is a hyperplane.

The linear mapping

${\displaystyle \varphi$ :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{q({\vec {p}})}}{\vec {p}}}