Cuádrica

Fuente: ^{[ 3 ]}

Se puede representar un rayo tridimensional paramétricamente como $${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&x_{0}+\alpha t\\y&=&y_{0}+\beta t\\z&=&z_{0}+\gamma t\end{array}}}$$dónde${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$, y${\displaystyle \gamma }$son los${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$componentes del vector de dirección normalizado del rayo y${\displaystyle t}$es la distancia a lo largo del rayo. Insertando estos valores en la ecuación para una superficie cuádrica tridimensional, se obtiene una ecuación cuadrática para${\displaystyle t}$Si existen dos raíces reales, esto proporciona los dos puntos de intersección del rayo con la superficie cuádrica. Si existe una raíz doble, el rayo roza la superficie. Si no existen raíces reales, el rayo no alcanza la superficie cuádrica.

Alternativamente, utilizando coordenadas homogéneas , se puede representar el rayo como ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle {\mathbf {r}}={\mathbf {p_{0}}}+{\mathbf {d}}t}$$dónde$${\displaystyle {\mathbf {p_{0}}}={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\1\end{bmatrix}}}$$es una línea que pasa por el punto${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$y$${\displaystyle {\mathbf {d}}={\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \\0\end{bmatrix}}}$$es el vector de dirección del rayo. La ecuación para la intersección de un rayo con una superficie cuádrica se representa entonces como$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}0&={\mathbf {r}}^{T}{\mathbf {Mr}}\\&={({{\mathbf {p}}_{0}}+t{\mathbf {d}})}^{T}{\mathbf {M}}({\mathbf {p_{0}}}+t{\mathbf {d}})\\&=({\mathbf {d}}^{t}{\mathbf {Md}})t^{2}+(2{\mathbf {d}}^{T}{\mathbf {Mp_{0}}})t+({{\mathbf {p}}_{0}}^{T}{\mathbf {Mp_{0}}})\end{alignedat}}}$$lo que produce la misma ecuación cuadrática en t .

La normal a cualquier punto de la superficie es$${\displaystyle {\mathbf {n}}=norm({\mathbf {Mp}}).}$$

En gráficos por computadora, la representación visual de objetos modelados matemáticamente se determina frecuentemente mediante trazado de rayos . A menudo, las superficies de los objetos se describen en términos de una serie de puntos en la superficie y las normales a la superficie en esos puntos. Los puntos intermedios en la superficie se describen mediante un conjunto de parches de superficie entre los puntos. Las superficies cuádricas se utilizan frecuentemente de esta manera cuando la superficie se describe como un conjunto de triángulos utilizando las posiciones y normales a los vértices de esos triángulos. El uso de superficies cuádricas para modelar estos parches tiene la ventaja de que es fácil determinar si un rayo de luz interseca un parche y dónde lo hace, como se describió en la sección anterior. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La ecuación para una superficie cuádrica tiene diez variables, pero solo nueve variables independientes, ya que la multiplicación de la ecuación por cualquier constante distinta de cero no tiene efecto. Las normales y las ubicaciones de tres puntos dan nueve restricciones. Por lo tanto, parecería posible determinar de forma única un parche triangular de superficie cuádrica a partir de esta información. De hecho, se puede construir una${\displaystyle 9\times 9}$matriz lineal para designar estas restricciones. Sin embargo, se puede demostrar que esta matriz siempre será singular, por lo que se debe agregar alguna restricción adicional para determinar de manera única la superficie cuádrica de ese parche. ^{[ 6 ]}

Fuentes: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

En general, las ecuaciones cuádricas pueden no estar en forma normal, y puede ser difícil determinar el tipo de superficie cuádrica mediante inspección visual a menos que la superficie cuádrica tenga su centro en el origen y los ejes principales estén a lo largo de las direcciones x , y y z. Sin embargo, si se define la submatriz de${\displaystyle {\mathbf {M}}}$$${\displaystyle {\mathbf {A}}={\begin{bmatrix}m_{xx}&m_{xy}&m_{xz}\\m_{xy}&m_{yy}&m_{yz}\\m_{xz}&m_{yz}&m_{zz}\end{bmatrix}}}$$Luego, la siguiente tabla permite clasificar la superficie cuádrica, basándose en los rangos , determinantes y valores propios de la${\displaystyle {\mathbf {A}}}$y${\displaystyle {\mathbf {M}}}$matrices.

Todas las superficies cuádricas reales, excepto los elipsoides y los hiperboloides, son casos límite especiales. Cualquier elipsoide o hiperboloides real se puede expresar como una matriz reposicionada de la forma$${\displaystyle {\mathbf {M}}={\mathbf {P}}^{T}{\mathbf {M}}{\acute {}}{\mathbf {P}}=0}$$con${\displaystyle {\mathbf {M}}{\acute {}}}$que contiene únicamente los componentes diagonales de${\displaystyle m_{xx}{\acute {}},m_{yy}{\acute {}},m_{zz}{\acute {}}}$, y${\displaystyle m_{0}{\acute {}}}$, siendo los demás ceros. Aquí las columnas de los ejes x , y y z de la matriz afín${\displaystyle {\mathbf {P}}}$son los autovectores normalizados de${\displaystyle {\mathbf {A}}}$. donde el acento agudo implica la transpuesta de la matriz. La ubicación del centroide ,${\displaystyle {\mathbf {p}}}$(en la cuarta columna de${\displaystyle {\mathbf {P}}}$) es$${\displaystyle {\mathbf {p}}={\mathbf {A}}^{-1}{\begin{bmatrix}q_{x}\\q_{y}\\q_{z}\end{bmatrix}}}$$Los radios de los ejes tienen los valores$${\displaystyle {radius}^{2}={\frac {C}{eigenvalue\;of{\mathbf {A}}}}}$$donde los ejes radiales y a lo largo de los autovectores de los autovalores correspondientes, y$${\displaystyle C={\mathbf {p}}^{T}{\mathbf {Ap}}-m_{0}}$$Para un elipsoide real, los radios de todos los autovalores son positivos. Para un hiperboloide de una hoja, uno de los radios al cuadrado es negativo, siendo los otros dos los de la elipse en el cuello del hiperboloide. Para un hiperboloide de dos hojas, dos de los radios al cuadrado son negativos y el radio real es la distancia desde el centro hasta los vértices de las hojas. Si los tres autovalores dan radios al cuadrado negativos, entonces la superficie cuádrica es un elipsoide imaginario. ^{[ 7 ]}

Las matrices de transformación afín se utilizan para representar transformaciones de coordenadas. Dicha matriz tiene la forma ^{[ 9 ] [ 10 ].}$${\displaystyle {\mathbf {P_{10}}}={\begin{bmatrix}x_{x}&x_{y}&x_{z}&x_{0}\\y_{x}&y_{y}&y_{z}&y_{0}\\z_{x}&z_{y}&z_{z}&z_{0}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$Aquí la primera columna de la matriz es el vector de dirección normalizado de la${\displaystyle x}$-eje del nuevo sistema de coordenadas${\displaystyle C_{1}}$, con respecto al sistema de coordenadas original,${\displaystyle C_{0}}$La segunda columna representa la${\displaystyle y}$eje -, la tercera columna${\displaystyle z}$-eje, y la cuarta columna es la ubicación del origen en${\displaystyle C_{1}}$en el sistema de coordenadas original. Un punto en la ubicación${\displaystyle {\mathbf {p_{1}}}}$, en términos de la${\displaystyle C_{1}}$El sistema de coordenadas está en el punto$${\displaystyle {\mathbf {p_{0}}}={\mathbf {P_{10}p_{1}}}}$$en el sistema de coordenadas original. Tenga en cuenta que aquí, el${\displaystyle {\mathbf {p_{1}}}}$El vector tiene un "1" como su cuarto término, ya que es un vector de ubicación, mientras que los vectores de dirección tienen un "0" como cuarto término. Usando las reglas habituales del álgebra matricial, la transformación inversa se obtiene como la inversa de la matriz.${\displaystyle {\mathbf {P_{10}}}}$, eso es,$${\displaystyle {\mathbf {P_{01}}}={\mathbf {P_{10}}}^{-1}}$$Estas transformaciones se pueden concatenar, de modo que si hay un sistema de coordenadas${\displaystyle C_{2}}$, con una ubicación y orientación${\displaystyle {\mathbf {P_{21}}}}$con respecto a${\displaystyle C_{1}}$, su orientación con respecto a${\displaystyle C_{0}}$es$${\displaystyle {\mathbf {P_{20}}}={\mathbf {P_{21}P_{10}}}}$$como se calcula mediante multiplicación de matrices. Estas matrices de transformación se utilizan frecuentemente para calcular las ubicaciones y la orientación de los vehículos. Por ejemplo, una aeronave en un punto${\displaystyle {\mathbf {p_{1}}}}$en el marco de referencia de la aeronave estará en un punto${\displaystyle {\mathbf {p_{0}}}}$en el sistema de coordenadas terrestres, si${\displaystyle {\mathbf {P_{10}}}}$es la transformación entre el sistema de referencia terrestre y el sistema de referencia de la aeronave.

Las superficies cuádricas tienen la agradable propiedad de que también se transforman bajo transformaciones de coordenadas afines. Si una superficie cuádrica,${\displaystyle {\mathbf {M}}}$, se mueve a una ubicación y orientación de coordenadas${\displaystyle C_{1}}$su descripción tal como se ve desde el sistema de coordenadas original${\displaystyle C_{1}}$es ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\mathbf {M}}_{moved\;to}={\mathbf {P_{01}}}^{T}{\mathbf {M}}\;{\mathbf {P_{01}}}}$$Sin embargo, esto debe distinguirse de una superficie cuádrica definida en un sistema de coordenadas.${\displaystyle C_{0}}$visto desde un sistema de coordenadas${\displaystyle C_{1}}$donde la transformación es

${\displaystyle {\mathbf {M}}_{viewed\;from}={\mathbf {P_{10}}}^{T}{\mathbf {M}}\;{\mathbf {P_{10}}}}$

Tenga en cuenta que desde${\displaystyle {\mathbf {M}}^{T}={\mathbf {M}}}$No importa si esta matriz está transpuesta o no, y en la literatura se puede ver de ambas maneras.

Normalmente, la latitud y la longitud se conciben como líneas en el globo terráqueo, pero si se considera que se puede cruzar una línea de latitud o longitud a diferentes altitudes, resulta evidente que estas líneas son en realidad superficies, concretamente, superficies cuádricas. Si se aproxima la Tierra a una esfera, las longitudes son planos que la atraviesan por el centro y los polos, mientras que las latitudes son conos , con el vértice en el centro de la Tierra. Las altitudes son esferas de diferentes radios. Este es el modelo general que se utiliza actualmente en la navegación naval y aérea.

Cuando la Tierra se aproxima mejor a un elipsoide, las longitudes siguen siendo los mismos planos que para la Tierra esférica. Las latitudes siguen siendo conos, pero los vértices de los conos ya no están en el centro de la Tierra, excepto en el ecuador; el eje del cono sigue estando a lo largo del eje de la Tierra, pero al norte o al sur del centro de la Tierra. Las altitudes son elipsoides. En el Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS84), el radio ecuatorial de la Tierra es (${\displaystyle G_{a}}$) se da como 6.378.137,0 metros y el radio polar (${\displaystyle G_{b}}$) como 6.356.752,3142 metros. La primera excentricidad al cuadrado es entonces$${\displaystyle {G_{e}}^{2}={\frac {{G_{a}}^{2}-{G_{b}}^{2}}{{G_{a}}^{2}}}=0.00669437999014}$$

Dada la latitud${\displaystyle \phi }$y longitud${\displaystyle \lambda }$, las coordenadas centradas en la Tierra (geocéntricas) se pueden determinar como ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&(R_{N}+H)\cos \phi \cos \lambda \\y&=&(R_{N}+H)\cos \phi \sin \lambda \\z&=&({\frac {R_{N}G_{b}}{G_{a}}}+H)\sin \phi \end{array}}}$$ donde H es la altura sobre el elipsoide terrestre y$${\displaystyle R_{N}=G_{a}/{\sqrt {1-{G_{e}}^{2}{\sin }^{2}\phi }}.}$$

Una cuádrica en un espacio afín de dimensión n es el conjunto de ceros de un polinomio de grado 2. Es decir, es el conjunto de los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

donde el polinomio p tiene la forma

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

para una matriz${\displaystyle A=(a_{i,j})}$con${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$corriendo de 0 a${\displaystyle n}$Cuando la característica del campo de los coeficientes no es dos, generalmente${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$se supone; equivalentemente${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$Cuando la característica del campo de los coeficientes es dos, generalmente${\displaystyle a_{i,j}=0}$se asume cuando${\displaystyle j<i}$; equivalentemente${\displaystyle A}$es triangular superior .

La ecuación puede acortarse, como la ecuación matricial.

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} =0\,,}$

con

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}\,.}$

La ecuación de la completación proyectiva es casi idéntica:

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} =0,}$

con

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

Estas ecuaciones definen una cuádrica como una hipersuperficie algebraica de dimensión n − 1 y grado dos en un espacio de dimensión n .

Se dice que una cuádrica no es degenerada si la matriz${\displaystyle A}$es invertible .

Una cuádrica no degenerada es no singular en el sentido de que su completación proyectiva no tiene un punto singular (un cilindro es no singular en el espacio afín, pero es una cuádrica degenerada que tiene un punto singular en el infinito ).

Los puntos singulares de una cuádrica degenerada son los puntos cuyas coordenadas proyectivas pertenecen al espacio nulo de la matriz A.

Una cuádrica es reducible si y solo si el rango de A es uno (caso de un hiperplano doble) o dos (caso de dos hiperplanos).

Consideremos la ecuación cuádrica de

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}-1=0.}$

Para${\displaystyle n=2,}$este es el círculo unitario ; para${\displaystyle n=3}$Esta es la esfera unitaria ; en dimensiones superiores, esta es la hiperesfera unitaria .

El punto${\displaystyle \mathbf {a} =(0,\ldots ,0,-1)}$pertenece a la cuádrica (la elección de este punto entre otros puntos similares es solo una cuestión de conveniencia). Por lo tanto, la ecuación${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$de la sección anterior se convierte en

${\displaystyle (\lambda t_{1}^{2})+\cdots +(\lambda t_{n-1})^{2}+(1-\lambda )^{2}-1=0.}$

Al expandir los cuadrados, simplificar los términos constantes y dividir por${\displaystyle \lambda ,}$y resolviendo en${\displaystyle \lambda ,}$uno obtiene

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.}$

Sustituyendo esto en${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$y simplificando la expresión de la última coordenada, se obtiene la ecuación paramétrica

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2t_{1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\\vdots \\x_{n-1}={\frac {2t_{n-1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\x_{n}={\frac {1-t_{1}^{2}-\cdots -t_{n-1}^{2}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.\end{cases}}}$

Al homogeneizar, se obtiene la parametrización proyectiva.

${\displaystyle {\begin{cases}X_{0}=T_{1}^{2}+\cdots +T_{n}^{2}\\X_{1}=2T_{1}T_{n}\\\vdots \\X_{n-1}=2T_{n-1}T_{n}\\X_{n}=T_{n}^{2}-T_{1}^{2}-\cdots -T_{n-1}^{2}.\end{cases}}}$

Una verificación sencilla muestra que esto induce una biyección entre los puntos de la cuádrica tal que${\displaystyle X_{n}\neq -X_{0}}$y los puntos tales que${\displaystyle T_{n}\neq 0}$en el espacio proyectivo de los parámetros. Por otro lado, todos los valores de${\displaystyle (T_{1},\ldots ,T_{n})}$de tal manera que${\displaystyle T_{n}=0}$y${\displaystyle T_{1}^{2}+\cdots +T_{n-1}^{2}\neq 0}$dar el punto${\displaystyle A.}$

En el caso de secciones cónicas (${\displaystyle n=2}$), hay exactamente un punto con${\displaystyle T_{n}=0.}$y existe una biyección entre el círculo y la línea proyectiva.

Para${\displaystyle n>2,}$hay muchos puntos con${\displaystyle T_{n}=0,}$y por lo tanto muchos valores de parámetros para el punto${\displaystyle A.}$Por otro lado, los otros puntos de la cuádrica para los cuales${\displaystyle X_{n}=-X_{0}}$(y por lo tanto${\displaystyle x_{n}=-1}$) no se puede obtener para ningún valor de los parámetros. Estos puntos son los puntos de intersección de la cuádrica y su plano tangente en${\displaystyle A.}$En este caso específico, estos puntos tienen coordenadas complejas no reales, pero basta con cambiar un signo en la ecuación de la cuádrica para producir puntos reales que no se obtienen con la parametrización resultante.

Esto se ilustra bien con las ternas pitagóricas . Una terna pitagórica es una terna${\displaystyle (a,b,c)}$de enteros positivos tales que${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$Una terna pitagórica es primitiva si${\displaystyle a,b,c}$son coprimos por conjuntos, o, equivalentemente, si alguno de los tres pares${\displaystyle (a,b),}$${\displaystyle (b,c)}$y${\displaystyle (a,c)}$es coprimo.

Al elegir${\displaystyle A=(-1,0,1)}$y​${\displaystyle \mathbf {t} =(m,n)}$⁠ , el método anterior proporciona la parametrización

${\displaystyle {\begin{cases}a=m^{2}-n^{2}\\b=2mn\\c=m^{2}+n^{2}\end{cases}}}$

para la cuádrica de ecuación${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$(Los nombres de las variables y los parámetros se están cambiando de los anteriores a los que son comunes al considerar ternas pitagóricas).

Si m y n son enteros coprimos tales que${\displaystyle m>n>0,}$La terna resultante es una terna pitagórica. Si uno de los términos m y n es par y el otro impar, esta terna resultante es primitiva; de lo contrario, ambos m y n son impares, y se obtiene una terna primitiva dividiendo por 2.

En resumen, las ternas pitagóricas primitivas con${\displaystyle b}$incluso se obtienen como

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2},}$

con m y n enteros coprimos tales que uno es par y${\displaystyle m>n>0}$(esta es la fórmula de Euclides ). Las ternas pitagóricas primitivas con${\displaystyle b}$Los impares se obtienen como

${\displaystyle a={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad b=mn,\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}},}$

con m y n enteros impares coprimos tales que${\displaystyle m>n>0.}$

Como el intercambio de a y b transforma una terna pitagórica en otra terna pitagórica, solo uno de los dos casos es suficiente para producir todas las ternas pitagóricas primitivas hasta el orden de a y b .

Dejar${\displaystyle K}$ser un campo y${\displaystyle V}$un espacio vectorial sobre${\displaystyle K}$Un mapeo${\displaystyle q}$de${\displaystyle V}$a${\displaystyle K}$de tal manera que

(P1)${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$para cualquier${\displaystyle \lambda \in K}$y${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$.

(P2)${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec {x}})-q({\vec {y}})\;}$es una forma bilineal .

Se denomina forma cuadrática . La forma bilineal.${\displaystyle f}$es simétrico .

En caso de${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$La forma bilineal es${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$, es decir${\displaystyle f}$y${\displaystyle q}$se determinan mutuamente de una manera única. En caso de${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$(eso significa:${\displaystyle 1+1=0}$) la forma bilineal tiene la propiedad${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$, es decir${\displaystyle f}$es simpléctico .

Para${\displaystyle V=K^{n}\ }$y${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$ (${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$es una base de${\displaystyle V}$)${\displaystyle \ q}$tiene la forma familiar

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ for }}\ i\neq k\ {\text{ and }}\ a_{ii}:=q({\vec {e}}_{i})\ }$y

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k}+x_{k}y_{i})}$.

Por ejemplo:

${\displaystyle n=3,\quad q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\quad f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$

Dejar${\displaystyle K}$ser un campo,${\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }$,

${\displaystyle V_{n+1}}$un espacio vectorial de ( n + 1) dimensiones sobre el campo${\displaystyle K,}$

${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle }$el subespacio unidimensional generado por${\displaystyle {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}}$,

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \mid {\vec {x}}\in V_{n+1}\},\ }$el conjunto de puntos ,

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{{\text{2-dimensional subspaces of }}V_{n+1}\},\ }$el conjunto de líneas .

${\displaystyle P_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}})\ }$es el espacio proyectivo n -dimensional sobre${\displaystyle K}$.

El conjunto de puntos contenidos en un${\displaystyle (k+1)}$subespacio -dimensional de${\displaystyle V_{n+1}}$es un${\displaystyle k}$subespacio -dimensional de${\displaystyle P_{n}(K)}$. Un subespacio bidimensional es un plano .

En caso de${\displaystyle \;n>3\;}$a${\displaystyle (n-1)}$El subespacio de -dimensiones se llama hiperplano .

Una forma cuadrática${\displaystyle q}$en un espacio vectorial${\displaystyle V_{n+1}}$define una cuádrica${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$en el espacio proyectivo asociado${\displaystyle {\mathcal {P}},}$como el conjunto de los puntos${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$de tal manera que${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$. Eso es,

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid q({\vec {x}})=0\}.}$

Ejemplos en${\displaystyle P_{2}(K)}$.: (E1): Para${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$se obtiene una cónica . (E2): Para${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$se obtiene el par de líneas con las ecuaciones${\displaystyle x_{1}=0}$y${\displaystyle x_{2}=0}$, respectivamente. Se intersecan en el punto${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle }$;

Para las consideraciones que se exponen a continuación, se supone que:${\displaystyle {\mathcal {Q}}\neq \emptyset }$.

Por punto${\displaystyle P=\langle {\vec {p}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$el conjunto

${\displaystyle P^{\perp }:=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}}$

se llama espacio polar de${\displaystyle P}$(con respecto a${\displaystyle q}$).

Si${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$a pesar de${\displaystyle {\vec {x}}}$, uno obtiene${\displaystyle P^{\perp }={\mathcal {P}}}$.

Si${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$por al menos uno${\displaystyle {\vec {x}}}$, la ecuación${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$es una ecuación lineal no trivial que define un hiperplano. Por lo tanto

${\displaystyle P^{\perp }}$es un hiperplano o${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Para la intersección de una línea arbitraria${\displaystyle g}$con una cuádrica real${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$Pueden darse los siguientes casos:

a)${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset \;}$y${\displaystyle g}$se llama línea exterior

b)${\displaystyle g\subset {\mathcal {Q}}\;}$y${\displaystyle g}$se denomina línea en la cuádrica

do)${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1\;}$y${\displaystyle g}$se llama línea tangente

d)${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2\;}$y${\displaystyle g}$se llama línea secante .

Prueba: Dejemos${\displaystyle g}$sea ​​una línea que interseca${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$en el punto${\displaystyle \;U=\langle {\vec {u}}\rangle \;}$y${\displaystyle \;V=\langle {\vec {v}}\rangle \;}$es un segundo punto en${\displaystyle g}$. De${\displaystyle \;q({\vec {u}})=0\;}$uno obtiene ${\displaystyle q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q(x{\vec {u}})+q({\vec {v}})+f(x{\vec {u}},{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})\;.}$ I) En caso de${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$la ecuación${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$sostiene y es ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$para cualquier${\displaystyle x\in K}$. Por lo tanto, o bien${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ para cualquier${\displaystyle x\in K}$o${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$para cualquier${\displaystyle x\in K}$, lo cual prueba b) y b'). II) En caso de${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$uno obtiene${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$y la ecuación ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})=0\;}$tiene exactamente una solución${\displaystyle x}$. Por eso:${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$, lo cual demuestra c).

Además, la prueba demuestra:

Una línea${\displaystyle g}$a través de un punto${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$es una línea tangente si y solo si${\displaystyle g\subset P^{\perp }}$.

En los casos clásicos${\displaystyle K=\mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$Solo existe un radical, debido a${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$y${\displaystyle f}$y${\displaystyle q}$están estrechamente conectados. En caso de${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$la cuádrica${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$no está determinado por${\displaystyle f}$(véase más arriba) y por lo tanto hay que lidiar con dos radicales:

a)${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{P\in {\mathcal {P}}\mid P^{\perp }={\mathcal {P}}\}}$es un subespacio proyectivo.${\displaystyle {\mathcal {R}}}$se denomina f- radical de cuádrica${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$.

b)${\displaystyle {\mathcal {S}}:={\mathcal {R}}\cap {\mathcal {Q}}}$se llama radical singular o${\displaystyle q}$-radical de${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$.

c) En caso de${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$uno tiene${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}}$.

Una cuádrica se denomina no degenerada si${\displaystyle {\mathcal {S}}=\emptyset }$.

Ejemplos en${\displaystyle P_{2}(K)}$(ver arriba): (E1): Para${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$(cónica) la forma bilineal es ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$ En caso de${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$Los espacios polares nunca son${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Por eso${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}=\emptyset }$. En caso de${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$La forma bilineal se reduce a ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$y${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle \notin {\mathcal {Q}}}$. Por eso${\displaystyle {\mathcal {R}}\neq {\mathcal {S}}=\emptyset \;.}$ En este caso, el radical f es el punto común de todas las tangentes, el llamado nudo . En ambos casos${\displaystyle S=\emptyset }$y la cuádrica (cónica) no es degenerada . (E2): Para${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$(par de líneas) la forma bilineal es${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$y${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle ={\mathcal {S}}\;,}$el punto de intersección. En este ejemplo, la cuádrica es degenerada .

Una cuádrica es un objeto bastante homogéneo:

Por cualquier punto${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}\;}$Existe una colineación central involutiva .${\displaystyle \sigma _{P}}$con centro${\displaystyle P}$y${\displaystyle \sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}}$.

Prueba: Debido a${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}}$el espacio polar${\displaystyle P^{\perp }}$es un hiperplano.

El mapeo lineal