Red compleja cuántica

En la teoría de la información cuántica , los cúbits son análogos a los bits en los sistemas clásicos. Un cúbit es un objeto cuántico que, al ser medido, se encuentra en uno de solo dos estados y se utiliza para transmitir información. ^{[ 3 ]} La polarización de fotones o el espín nuclear son ejemplos de fenómenos binarios que pueden utilizarse como cúbits. ^{[ 3 ]}

El entrelazamiento cuántico es un fenómeno físico caracterizado por la correlación entre los estados cuánticos de dos o más cúbits físicamente separados. ^{[ 3 ]} Los estados máximamente entrelazados son aquellos que maximizan la entropía del entrelazamiento . ^{[ 9 ] [ 10 ]} En el contexto de la comunicación cuántica, los cúbits entrelazados se utilizan como un canal cuántico . ^{[ 3 ]}

La medición de Bell es un tipo de medición cuántico-mecánica conjunta de dos cúbits tal que, después de la medición, los dos cúbits están máximamente entrelazados. ^{[ 3 ] [ 10 ]}

El intercambio de entrelazamiento es una estrategia utilizada en el estudio de redes cuánticas que permite cambiar las conexiones en la red. ^{[ 1 ] [ 11 ]} Por ejemplo, dados 4 cúbits, A, B, C y D, tales que los cúbits C y D pertenecen a la misma estación , mientras que A y C pertenecen a dos estaciones diferentes , y donde el cúbit A está entrelazado con el cúbit C y el cúbit B está entrelazado con el cúbit D. Al realizar una medición de Bell para los cúbits A y B, se entrelazan los cúbits A y B. También es posible entrelazar los cúbits C y D, a pesar de que estos dos cúbits nunca interactúan directamente entre sí. Tras este proceso, se pierde el entrelazamiento entre los cúbits A y C, y entre los cúbits B y D. Esta estrategia puede utilizarse para definir la topología de la red . ^{[ 1 ] [ 11 ] [ 12 ]}

Cada nodo de la red contiene un conjunto de cúbits en diferentes estados. Para representar el estado cuántico de estos cúbits, es conveniente utilizar la notación de Dirac y representar los dos posibles estados de cada cúbit como${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$. ^{[ 1 ] [ 11 ]} En esta notación, dos partículas están entrelazadas si la función de onda conjunta ,${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle }$, no se puede descomponer como ^{[ 3 ] [ 10 ]}

${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle =|\phi \rangle _{i}\otimes |\phi \rangle _{j},}$

dónde${\displaystyle |\phi \rangle _{i}}$representa el estado cuántico del cúbit en el nodo i y${\displaystyle |\phi \rangle _{j}}$representa el estado cuántico del cúbit en el nodo j .

Otro concepto importante son los estados máximamente entrelazados. Los cuatro estados (los estados de Bell ) que maximizan la entropía de entrelazamiento entre dos cúbits se pueden escribir de la siguiente manera: ^{[ 3 ] [ 10 ]}

${\displaystyle |\Phi _{ij}^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}+|1\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j}),}$

${\displaystyle |\Phi _{ij}^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}-|1\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j}),}$

${\displaystyle |\Psi _{ij}^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j}+|1\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}),}$

${\displaystyle |\Psi _{ij}^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j}-|1\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}).}$

El modelo de red aleatoria cuántica propuesto por Perseguers et al. (2009) ^{[ 1 ]} puede considerarse como una versión cuántica del modelo de Erdős–Rényi . En este modelo, cada nodo contiene${\displaystyle N-1}$cúbits, uno para cada otro nodo. El grado de entrelazamiento entre un par de nodos, representado por${\displaystyle p}$desempeña un papel similar al del parámetro${\displaystyle p}$en el modelo de Erdős-Rényi en el que dos nodos forman una conexión con probabilidad${\displaystyle p}$, mientras que en el contexto de las redes aleatorias cuánticas,${\displaystyle p}$Se refiere a la probabilidad de convertir un par de cúbits entrelazados a un estado máximamente entrelazado utilizando únicamente operaciones locales y comunicación clásica . ^{[ 14 ]}

Utilizando la notación de Dirac, un par de cúbits entrelazados que conectan los nodos${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$se representa como

${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle ={\sqrt {1-p/2}}|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}+{\sqrt {p/2}}|1\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j},}$

Para${\displaystyle p=0}$Los dos cúbits no están entrelazados:

${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle =|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j},}$

y para${\displaystyle p=1}$, obtenemos el estado máximamente entrelazado:

${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle ={\sqrt {1/2}}(|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}+|1\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j})}$.

Para valores intermedios de${\displaystyle p}$,${\displaystyle 0<p<1}$, cualquier estado entrelazado es, con probabilidad${\displaystyle p}$, convertido con éxito al estado máximamente entrelazado utilizando operaciones LOCC. ^{[ 14 ]}

Una característica que distingue a este modelo de su análogo clásico es el hecho de que, en las redes cuánticas aleatorias, los enlaces solo se establecen realmente después de ser medidos, y es posible explotar este hecho para dar forma al estado final de la red. Para una red cuántica compleja inicial con un número infinito de nodos, Perseguers et al. ^{[ 1 ]} demostraron que, las mediciones correctas y el intercambio de entrelazamiento , hacen posible colapsar la red inicial a una red que contiene cualquier subgrafo finito, siempre que${\displaystyle p}$escalas con${\displaystyle N}$como${\textstyle p\sim N^{Z}}$, dónde${\displaystyle Z\geq -2}$Este resultado es contrario a la teoría clásica de grafos, donde el tipo de subgrafos contenidos en una red está limitado por el valor de${\displaystyle z}$. ^{[ 15 ]}

Los modelos de percolación de entrelazamiento intentan determinar si una red cuántica es capaz de establecer una conexión entre dos nodos arbitrarios a través del entrelazamiento, y encontrar las mejores estrategias para crear dichas conexiones. ^{[ 11 ] [ 16 ]}

Cirac et al. (2007) ^{[ 16 ]} aplicaron un modelo a redes complejas de Cuquet et al. (2009), ^{[ 11 ]} en el que los nodos se distribuyen en una red ^{[ 16 ]} o en una red compleja, ^{[ 11 ]} y cada par de vecinos comparte dos pares de cúbits entrelazados que pueden convertirse en un par de cúbits máximamente entrelazados con probabilidad${\displaystyle p}$Podemos pensar en los cúbits máximamente entrelazados como los verdaderos enlaces entre nodos. En la teoría de percolación clásica , con una probabilidad${\displaystyle p}$que dos nodos están conectados,${\displaystyle p}$tiene un valor crítico (denotado por${\displaystyle p_{c}}$), de modo que si${\displaystyle p>p_{c}}$Existe un camino entre dos nodos seleccionados aleatoriamente con una probabilidad finita, y para${\displaystyle p<p_{c}}$La probabilidad de que exista tal camino es asintóticamente cero. ^{[ 17 ]}${\displaystyle p_{c}}$depende únicamente de la topología de la red. ^{[ 17 ]}

Se encontró un fenómeno similar en el modelo propuesto por Cirac et al. (2007), ^{[ 16 ]} donde la probabilidad de formar un estado máximamente entrelazado entre dos nodos seleccionados aleatoriamente es cero si${\displaystyle p<p_{c}}$y finito si${\displaystyle p>p_{c}}$La principal diferencia entre la percolación clásica y la entrelazada es que, en las redes cuánticas, es posible cambiar los enlaces en la red, de manera que se modifica la topología efectiva de la red. Como resultado,${\displaystyle p_{c}}$depende de la estrategia utilizada para convertir cúbits parcialmente entrelazados en cúbits máximamente conectados . ^{[ 11 ] [ 16 ]} Con un enfoque ingenuo,${\displaystyle p_{c}}$para una red cuántica es igual a${\displaystyle p_{c}}$para una red clásica con la misma topología. ^{[ 16 ]} Sin embargo, se demostró que es posible aprovechar el intercambio cuántico para reducir${\displaystyle p_{c}}$tanto en redes regulares ^{[ 16 ]} como en redes complejas . ^{[ 11 ]}