Modelo doble cuántico

En física de la materia condensada y teoría de la información cuántica , el modelo cuántico doble , propuesto por Alexei Kitaev , es un modelo reticular que exhibe excitaciones topológicas. ^{[ 1 ]} Este modelo puede considerarse una teoría de gauge reticular y tiene aplicaciones en muchos campos, como computación cuántica topológica , orden topológico , memoria cuántica topológica , código de corrección de errores cuánticos , etc. El nombre "cuántico doble" proviene del doble de Drinfeld de grupos finitos y álgebras de Hopf . ^{[ 2 ]} El ejemplo más conocido es el modelo de código tórico , que es un caso especial del modelo cuántico doble al establecer el grupo de entrada como un grupo cíclico.${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$.

Los datos de entrada para el doble cuántico de Kitaev son un grupo finito.${\displaystyle G}$Consideremos una red dirigida.${\displaystyle \Sigma }$, colocamos un espacio de Hilbert${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$Abarcados por elementos de grupo en cada arista, existen cuatro tipos de operadores de arista.

${\displaystyle L_{+}^{g}|h\rangle =|gh\rangle ,L_{-}^{g}|h\rangle =|hg^{-1}\rangle ,}$

${\displaystyle T_{+}^{g}|h\rangle =\delta _ {g,h}|h\rangle ,T_{-}^{g}|h\rangle =\delta _ {g^{-1},h}|h\rangle .}$

Para cada vértice que se conecta a${\displaystyle m}$bordes${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$, hay un operador de vértice

${\displaystyle A_{v}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}L^{g}(e_{1})\otimes \ldots \otimes L^{g}(e_{m}).}$

Observe que cada borde tiene una orientación: cuando${\displaystyle v}$es el punto de partida de${\displaystyle e_{k}}$, el operador se establece como${\displaystyle L_{-}}$, de lo contrario, se establece como ${\displaystyle L_{+}}$.

Por cada rostro rodeado de${\displaystyle m}$bordes${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$Hay un operador facial

${\displaystyle B_{f}=\sum _{h_{1}\cdots h_{m}=1_{G}}\prod _{k=1}^{m}T^{h_{k}}(e_{k}).}$

Similar al operador de vértice, debido a la orientación del borde, cuando la cara${\displaystyle f}$está en el lado derecho al recorrer la dirección positiva de${\displaystyle e}$, establecimos${\displaystyle T_{+}}$; de lo contrario, establecemos ${\displaystyle T_{-}}$en la expresión anterior. Además, tenga en cuenta que se supone que el orden de los bordes que rodean la cara es en sentido contrario a las agujas del reloj.

El hamiltoniano reticular del modelo doble cuántico viene dado por

${\displaystyle H=-\sum _{v}A_{v}-\sum _{f}B_{f}.}$

Ambos${\displaystyle A_{v}}$y${\displaystyle B_{f}}$son proyectores hermíticos, son estabilizadores cuando se considera que el modelo es un código de corrección de errores cuánticos.

Las excitaciones topológicas del modelo se caracterizan por las representaciones del doble cuántico de grupo finito. ${\displaystyle G}$Los tipos de aniones vienen dados por representaciones irreducibles. Para el modelo de red, las excitaciones topológicas se crean mediante operadores de cinta. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

La teoría de frontera con brecha del modelo doble cuántico se puede construir basándose en subgrupos de ${\displaystyle G}$. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Existe una dualidad límite-volumen para este modelo.

La excitación topológica del modelo es equivalente a la del modelo de red de cuerdas de Levin-Wen con entrada dada por la categoría de representación de grupo finito. ${\displaystyle G}$.

El modelo doble cuántico puede generalizarse al caso en que los datos de entrada vienen dados por un álgebra de Hopf C* . ^{[ 7 ]} En este caso, los operadores de cara y vértice se construyen utilizando la comultiplicación del álgebra de Hopf. Para cada vértice, se utiliza la integral de Haar del álgebra de Hopf de entrada para construir el operador de vértice. Para cada cara, se utiliza la integral de Haar del álgebra de Hopf dual del álgebra de Hopf de entrada para construir el operador de cara.

Las excitaciones topológicas se crean mediante operadores de cinta. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 5 ]}

Un caso más general surge cuando los datos de entrada se eligen como un álgebra de Hopf débil , lo que da como resultado el modelo doble cuántico de Hopf débil. ^{[ 10 ] [ 11 ]}