Álgebra de Hopf débil

En matemáticas , las bialgebras débiles son una generalización de las bialgebras que son a la vez álgebras y coálgebras, pero para las cuales las condiciones de compatibilidad entre ambas estructuras se han "debilitado". En el mismo sentido, las álgebras de Hopf débiles son bialgebras débiles junto con una aplicación lineal S que satisface condiciones específicas; son generalizaciones de las álgebras de Hopf .

Estos objetos fueron introducidos por Böhm, Nill y Szlachányi. Las primeras motivaciones para estudiarlos provinieron de la teoría cuántica de campos y las álgebras de operadores . ^{[ 1 ]} Las álgebras de Hopf débiles tienen una teoría de representación bastante interesante ; en particular, los módulos sobre un álgebra de Hopf débil semisimple finita son una categoría de fusión (que es una categoría monoidal con propiedades adicionales). También fue demostrado por Etingof, Nikshych y Ostrik que cualquier categoría de fusión es equivalente a una categoría de módulos sobre un álgebra de Hopf débil. ^{[ 2 ]}

Una bialgebra débil${\displaystyle (H,\mu,\eta,\Delta,\varepsilon)}$sobre un campo${\displaystyle k}$es un espacio vectorial${\displaystyle H}$de tal manera que

• ${\displaystyle (H,\mu,\eta)}$forma un álgebra asociativa con la multiplicación${\displaystyle \mu :H\otimes H\rightarrow H}$y unidad${\displaystyle \eta :k\rightarrow H}$,
• ${\displaystyle (H,\Delta,\varepsilon)}$forma una coálgebra coasociativa con comultiplicación${\displaystyle \Delta :H\rightarrow H\otimes H}$y counidad${\displaystyle \varepsilon :H\rightarrow k}$,

para los cuales se cumplen las siguientes condiciones de compatibilidad  :

1. Multiplicatividad de la comultiplicación  :

   ${\displaystyle \Delta \circ \mu =(\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _ {H}\otimes \sigma _ {H,H}\otimes \mathrm {id} _ {H})\circ (\Delta \otimes \Delta )}$,

2. Multiplicatividad débil de la counidad  :

   ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})}$,

3. Comultiplicatividad débil de la unidad  :

   ${\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta \circ \eta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )=(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )}$,

dónde${\displaystyle \sigma _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V:v\otimes w\mapsto w\otimes v}$invierte los dos factores tensoriales. Además${\displaystyle \mu ^{op}=\mu \circ \sigma _{H,H}}$es la multiplicación opuesta y${\displaystyle \Delta ^{op}=\sigma _{H,H}\circ \Delta }$es la comultiplicación opuesta. Nótese que también utilizamos implícitamente el teorema de coherencia de Mac Lane para la categoría monoidal de espacios vectoriales, identificando${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)}$así como${\displaystyle V\otimes k\cong V\cong k\otimes V}$.

La definición debilita la compatibilidad entre las estructuras de álgebra y coálgebra de una bialgebra. Más concretamente, la unidad y la counidad se debilitan. Esto se mantiene en los axiomas de un álgebra de Hopf débil.

Un álgebra de Hopf débil${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$es un álgebra débil${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$con un mapa lineal${\displaystyle S:H\to H}$, llamado el antípoda , que satisface:

• ${\displaystyle \mu \circ (\mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ \Delta =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H})\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\eta \otimes \mathrm {id} _{H})}$,
• ${\displaystyle \mu \circ (S\otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \varepsilon )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \mu )\circ (\sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \eta )}$,
• ${\displaystyle S=\mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (S\otimes \mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta }$.

1. Álgebra de Hopf. Por supuesto, cualquier álgebra de Hopf es un álgebra de Hopf débil.
2. Álgebra de grupoides. Supongamos${\displaystyle G=(G_{0},G_{1})}$es un grupoide y deje que${\displaystyle K[G]}$sea ​​el álgebra de grupoide , en otras palabras, el álgebra generada por los morfismos${\displaystyle g\in G_{1}}$. Esto se convierte en un álgebra de Hopf débil si definimos
   • ${\displaystyle \mu :K[G]\otimes K[G]\to K[G]~{\text{by}}~\mu (g\otimes h)=\left\{{\begin{array}{cl}g\circ h&{\text{if target(h) = source(g)}}\\0&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$
   • ${\displaystyle \eta :k\to K[G]~{\text{by}}~\eta (1)=\sum _{X\in G_{0}}\mathrm {id} _{X}}$
   • ${\displaystyle \Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G]~{\text{by}}~\Delta (g)=g\otimes g~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle \varepsilon :K[G]\to k~{\text{by}}~\varepsilon (g)=1~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle S:K[G]\to K[G]~{\text{by}}~S(g)=g^{-1}~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$.

Nótese que este segundo ejemplo es un álgebra de Hopf débil, pero no un álgebra de Hopf .

Sea H un álgebra de Hopf débil semisimple finita, entonces los módulos sobre H forman una categoría monoidal rígida semisimple con un número finito de objetos simples. Además, los espacios de homomorfismos son espacios vectoriales de dimensión finita y el espacio de endomorfismos de objetos simples es unidimensional. Finalmente, la unidad monoidal es un objeto simple. Dicha categoría se denomina categoría de fusión .

Se puede demostrar que algunas categorías monoidales no son módulos sobre un álgebra de Hopf. En el caso de las categorías de fusión (que son simplemente categorías monoidales con condiciones adicionales), Etingof, Nikshych y Ostrik demostraron que cualquier categoría de fusión es equivalente a una categoría de módulos sobre un álgebra de Hopf débil.

• Böhm, Gabriella; Nill, Florián; Szlachányi, Kornel (1999). "Álgebras de Hopf débiles. I. Teoría integral y${\displaystyle C^{*}}$-estructura" . Journal of Algebra . 221 (2): 385– 438. doi : 10.1006/jabr.1999.7984 .

• Etingof, Pavel; Nikshych, Dimitri; Ostrik, Viktor (2005). "Sobre categorías de fusión". Annals of Mathematics . Segunda serie. 162 (2): 581– 642. arXiv : math/0203060 . doi : 10.4007/annals.2005.162.581 . S2CID 8343055 . 

• Karaali, Gizem (2008). "Sobre las álgebras de Hopf y sus generalizaciones". Comunicaciones en Álgebra . 36 (12): 4341– 4367. arXiv : matemáticas/0703441 . doi : 10.1080/00927870802182424 . S2CID 15804235 .