Hipótesis de termalización de autoestados

La hipótesis de termalización de autoestados ( ETH ) es un conjunto de ideas que pretende explicar cuándo y por qué un sistema mecánico cuántico aislado puede describirse con precisión utilizando la mecánica estadística de equilibrio . En particular, se dedica a comprender cómo los sistemas que se preparan inicialmente en estados alejados del equilibrio pueden evolucionar con el tiempo hacia un estado que parece estar en equilibrio térmico . La frase " termalización de autoestados " fue acuñada por primera vez por Mark Srednicki en 1994, ^{[ 1 ]} después de que Josh Deutsch introdujera ideas similares en 1991. ^{[ 2 ]} La filosofía principal que subyace a la hipótesis de termalización de autoestados es que, en lugar de explicar la ergodicidad de un sistema termodinámico a través del mecanismo del caos dinámico , como se hace en la mecánica clásica , se deben examinar las propiedades de los elementos de matriz de cantidades observables en los autoestados de energía individuales del sistema.

En mecánica estadística , el conjunto microcanónico es un conjunto estadístico particular que se utiliza para hacer predicciones sobre los resultados de experimentos realizados en sistemas aislados que se cree que están en equilibrio con una energía conocida con exactitud. El conjunto microcanónico se basa en la suposición de que, cuando se analiza un sistema en equilibrio de este tipo, la probabilidad de encontrarlo en cualquiera de los estados microscópicos con la misma energía total es igual. ^{[ 3 ]} Con esta suposición, ^{[ nota al pie 1 ]} el promedio de conjunto de una cantidad observable se obtiene promediando el valor de esa cantidad observable.${\displaystyle A_{i}}$en todos los microestados${\displaystyle i}$con la energía total correcta: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\bar {A}}_{\mathrm {classical} }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{i}}$

Es importante destacar que esta magnitud es independiente de todo lo relacionado con el estado inicial, excepto de su energía.

Los supuestos de ergodicidad están bien fundamentados en la mecánica clásica como resultado del caos dinámico , ya que un sistema caótico generalmente pasa el mismo tiempo en áreas iguales de su espacio de fases . ^{[ 3 ]} Si preparamos un sistema clásico, caótico y aislado en alguna región de su espacio de fases, entonces, a medida que se le permite evolucionar en el tiempo, explorará todo su espacio de fases, sujeto solo a un pequeño número de leyes de conservación (como la conservación de la energía total). Si se puede justificar la afirmación de que un sistema físico dado es ergódico, entonces este mecanismo proporcionará una explicación de por qué la mecánica estadística tiene éxito en hacer predicciones precisas. Por ejemplo, se ha demostrado rigurosamente que el gas de esferas duras es ergódico. ^{[ 3 ]}

Este argumento no puede extenderse directamente a sistemas cuánticos, incluso a aquellos que son análogos a sistemas clásicos caóticos, porque la evolución temporal de un sistema cuántico no muestrea uniformemente todos los vectores en el espacio de Hilbert con una energía dada. ^{[ nota al pie 2 ]} Dado el estado en el tiempo cero en una base de autoestados de energía

${\displaystyle |\Psi (0)\rangle =\sum _{\alpha }c_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,}$

el valor esperado de cualquier observable${\displaystyle {\hat {A}}}$es

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}\equiv \langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle =\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }.}$

Incluso si el${\displaystyle E_{\alpha }}$son inconmensurables, de modo que este valor esperado se da durante largos períodos de tiempo por

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}{\overset {t\to \infty }{\approx }}\sum _{\alpha }\vert c_{\alpha }\vert ^{2}A_{\alpha \alpha },}$

El valor esperado conserva permanentemente el conocimiento del estado inicial en forma de coeficientes.${\displaystyle c_{\alpha }}$.

En principio, sigue siendo una cuestión abierta si un sistema mecánico cuántico aislado, preparado en un estado inicial arbitrario, alcanzará un estado que se asemeje al equilibrio térmico, en el que un número reducido de observables sea suficiente para realizar predicciones acertadas sobre el sistema. Sin embargo, diversos experimentos con gases atómicos fríos han observado relajación térmica en sistemas que, con muy buena aproximación, están completamente aislados de su entorno, y para una amplia gama de estados iniciales. ^{[ 4 ] [ 5 ]} La tarea de explicar esta aplicabilidad, observada experimentalmente, de la mecánica estadística de equilibrio a sistemas cuánticos aislados es el objetivo principal de la hipótesis de termalización de autoestados.

Supongamos que estamos estudiando un sistema cuántico de muchos cuerpos aislado . En este contexto, "aislado" se refiere al hecho de que el sistema no tiene interacciones (o al menos son insignificantes) con el entorno externo a él. Si el hamiltoniano del sistema se denota${\displaystyle {\hat {H}}}$, entonces se da un conjunto completo de estados base para el sistema en términos de los autoestados del hamiltoniano,

${\displaystyle {\hat {H}}|E_{\alpha }\rangle =E_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,}$

dónde${\displaystyle |E_{\alpha }\rangle }$es el autoestado del hamiltoniano con autovalor${\displaystyle E_{\alpha }}$Nos referiremos a estos estados simplemente como "autoestados de energía". Para simplificar, asumiremos que el sistema no tiene degeneración en sus autovalores de energía y que es de extensión finita, de modo que los autovalores de energía forman un espectro discreto y no degenerado (esta no es una suposición irrazonable, ya que cualquier sistema de laboratorio "real" tenderá a tener suficiente desorden e interacciones lo suficientemente fuertes como para eliminar casi toda la degeneración del sistema, y ​​por supuesto será de tamaño finito ^{[ 6 ]} ). Esto nos permite etiquetar los autoestados de energía en orden creciente de autovalor de energía. Además, consideremos alguna otra observable cuántico-mecánica.${\displaystyle {\hat {A}}}$, sobre el cual deseamos realizar predicciones térmicas. Los elementos de matriz de este operador, expresados ​​en una base de autoestados de energía, se denotarán por

${\displaystyle A_{\alpha \beta }\equiv \langle E_{\alpha }|{\hat {A}}|E_{\beta }\rangle .}$

Ahora imaginamos que preparamos nuestro sistema en un estado inicial para el cual el valor esperado de${\displaystyle {\hat {A}}}$está lejos de su valor predicho en un conjunto microcanónico apropiado para la escala de energía en cuestión (suponemos que nuestro estado inicial es una superposición de autoestados de energía que son todos suficientemente "cercanos" en energía). La hipótesis de termalización de autoestados dice que para un estado inicial arbitrario, el valor esperado de${\displaystyle {\hat {A}}}$En última instancia, evolucionará con el tiempo hasta alcanzar el valor predicho por un conjunto microcanónico, y posteriormente exhibirá solo pequeñas fluctuaciones alrededor de ese valor, siempre que se cumplan las dos condiciones siguientes: ^{[ 4 ]}

1. Los elementos de la matriz diagonal${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$varían suavemente en función de la energía, con la diferencia entre valores vecinos,${\displaystyle A_{\alpha +1,\alpha +1}-A_{\alpha ,\alpha }}$, volviéndose exponencialmente pequeño en el tamaño del sistema.
2. Los elementos de la matriz fuera de la diagonal${\displaystyle A_{\alpha \beta }}$, con${\displaystyle \alpha \neq \beta }$son mucho más pequeños que los elementos de la matriz diagonal y, en particular, son exponencialmente pequeños en el tamaño del sistema.

Estas condiciones se pueden escribir como

${\displaystyle A_{\alpha \beta }\simeq {\overline {A}}\delta _{\alpha \beta }+{\sqrt {\frac {\overline {A^{2}}}{\mathcal {D}}}}R_{\alpha \beta },}$

dónde${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {A}}(E_{\alpha })}$y${\displaystyle {\overline {A^{2}}}={\overline {A^{2}}}(E_{\alpha },E_{\beta })}$son funciones suaves de la energía,${\displaystyle {\mathcal {D}}=e^{sV}}$es la dimensión del espacio de Hilbert de muchos cuerpos, y${\displaystyle R_{\alpha \beta }}$es una variable aleatoria con media cero y varianza unitaria. Por el contrario, si un sistema cuántico de muchos cuerpos satisface la ETH, se espera que la representación matricial de cualquier operador local en la base de autovalores de energía siga el ansatz anterior .

Podemos definir un promedio a largo plazo del valor esperado del operador.${\displaystyle {\hat {A}}}$según la expresión

${\displaystyle {\overline {A}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle ~dt.}$

Si utilizamos la expresión explícita para la evolución temporal de este valor esperado, podemos escribir:

${\displaystyle {\overline {A}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left[\sum _{\alpha ,\beta =1}^{D}c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }\right]~dt.}$

La integración en esta expresión se puede realizar explícitamente, y el resultado es

${\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }+i\hbar \lim _{\tau \to \infty }\left[\sum _{\alpha \neq \beta }^{D}{\frac {c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }}{E_{\beta }-E_{\alpha }}}\left({\frac {e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)\tau /\hbar }-1}{\tau }}\right)\right].}$

Cada uno de los términos de la segunda suma se hará más pequeño a medida que el límite se tome hacia el infinito. Suponiendo que la coherencia de fase entre los diferentes términos exponenciales de la segunda suma nunca llega a ser lo suficientemente grande como para rivalizar con este decaimiento, la segunda suma tenderá a cero, y encontramos que el promedio a largo plazo del valor esperado viene dado por ^{[ 6 ].}

${\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }.}$

Esta predicción para el promedio temporal de lo observable${\displaystyle {\hat {A}}}$se hace referencia a su valor predicho en el conjunto diagonal , ^{[ 7 ]} El aspecto más importante del conjunto diagonal es que depende explícitamente del estado inicial del sistema, y ​​por lo tanto parecería conservar toda la información relativa a la preparación del sistema. En contraste, el valor predicho en el conjunto microcanónico viene dado por el promedio ponderado uniformemente sobre todos los autoestados de energía dentro de una ventana de energía centrada alrededor de la energía media del sistema ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '},}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {N}}}$es el número de estados en la ventana de energía apropiada, y la prima en los índices de la suma indica que la suma se restringe a esta ventana microcanónica apropiada. Esta predicción no hace referencia alguna al estado inicial del sistema, a diferencia del ensamble diagonal. Por ello, no está claro por qué el ensamble microcanónico debería proporcionar una descripción tan precisa de los promedios a largo plazo de las observables en una variedad tan amplia de sistemas físicos.

Sin embargo, supongamos que los elementos de la matriz${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$son efectivamente constantes en la ventana de energía relevante, con fluctuaciones suficientemente pequeñas. Si esto es cierto, este valor constante A puede extraerse efectivamente de la suma, y ​​la predicción del conjunto diagonal es simplemente igual a este valor.

${\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }\approx A\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}=A,}$

donde hemos asumido que el estado inicial está normalizado adecuadamente. De igual modo, la predicción del conjunto microcanónico se convierte en

${\displaystyle \langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '}\approx {\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A=A.}$

Por lo tanto, ambos conjuntos coinciden.

Esta constancia de los valores de${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$sobre ventanas de energía pequeñas es la idea principal que subyace a la hipótesis de termalización de autoestados. Nótese que, en particular, afirma que el valor esperado de${\displaystyle {\hat {A}}}$En un único autoestado de energía, es igual al valor predicho por un conjunto microcanónico construido a esa escala de energía. Esto constituye una base para la mecánica estadística cuántica radicalmente diferente de la construida sobre las nociones de ergodicidad dinámica. ^{[ 1 ]}

Varios estudios numéricos de pequeños sistemas reticulares parecen confirmar tentativamente las predicciones de la hipótesis de termalización de autoestados en sistemas interactuantes que se esperaría que se termalizaran. ^{[ 5 ]} De igual modo, los sistemas integrables tienden a no obedecer la hipótesis de termalización de autoestados. ^{[ 5 ]}

Algunos resultados analíticos también pueden obtenerse si se hacen ciertas suposiciones sobre la naturaleza de los autoestados de energía altamente excitados. El artículo original de 1994 sobre el ETH de Mark Srednicki estudió, en particular, el ejemplo de un gas cuántico de esferas duras en una caja aislada. Este es un sistema que se sabe que exhibe caos clásicamente. ^{[ 1 ]} Para estados de energía suficientemente alta, la conjetura de Berry afirma que las autofunciones de energía en este sistema de muchos cuerpos de partículas de esferas duras parecerán comportarse como superposiciones de ondas planas , con las ondas planas entrando en la superposición con fases aleatorias y amplitudes distribuidas gaussianamente ^{[ 1 ]} (la noción precisa de esta superposición aleatoria se aclara en el artículo). Bajo esta suposición, se puede demostrar que, hasta correcciones que son despreciablemente pequeñas en el límite termodinámico , la función de distribución de momento para cada partícula individual y distinguible es igual a la distribución de Maxwell-Boltzmann ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f_{\rm {MB}}\left(\mathbf {p} ,T_{\alpha }\right)=\left(2\pi mkT\right)^{-3/2}e^{-\mathbf {p} ^{2}/2mkT_{\alpha }},}$

dónde${\displaystyle \mathbf {p} }$es el momento de la partícula, m es la masa de las partículas, k es la constante de Boltzmann y la " temperatura "${\displaystyle T_{\alpha }}$está relacionada con la energía del autoestado según la ecuación de estado usual para un gas ideal ,

${\displaystyle E_{\alpha }={\frac {3}{2}}NkT_{\alpha },}$

donde N es el número de partículas en el gas. Este resultado es una manifestación específica del ETH, ya que produce una predicción para el valor de una observable en un autoestado de energía que concuerda con la predicción derivada de un conjunto microcanónico (o canónico). Cabe destacar que no se ha realizado ningún promedio sobre los estados iniciales, ni se ha invocado nada parecido al teorema H. ​​Además, también se pueden derivar las distribuciones de Bose-Einstein o Fermi-Dirac apropiadas , si se imponen las relaciones de conmutación adecuadas para las partículas que componen el gas. ^{[ 1 ]}

Actualmente, no se comprende bien cuán alta debe ser la energía de un autoestado del gas de esferas duras para que obedezca la ETH. ^{[ 1 ]} Un criterio aproximado es que la longitud de onda térmica promedio de cada partícula sea suficientemente menor que el radio de las partículas de esferas duras, de modo que el sistema pueda sondear las características que dan lugar al caos clásicamente (es decir, el hecho de que las partículas tengan un tamaño finito ^{[ 1 ]} ). Sin embargo, es concebible que esta condición pueda relajarse, y tal vez en el límite termodinámico , los autoestados de energía de energías arbitrariamente bajas satisfagan la ETH (aparte del estado fundamental en sí, que se requiere que tenga ciertas propiedades especiales, por ejemplo, la ausencia de nodos ^{[ 1 ]} ).

A menudo se proponen tres explicaciones alternativas para la termalización de sistemas cuánticos aislados:

1. Para estados iniciales de interés físico, los coeficientes${\displaystyle c_{\alpha }}$exhiben grandes fluctuaciones de autoestado a autoestado, de una manera que no está correlacionada en absoluto con las fluctuaciones de${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$de autoestado a autoestado. Debido a que los coeficientes y los elementos de la matriz no están correlacionados, la suma en el conjunto diagonal realiza efectivamente un muestreo insesgado de los valores de${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$sobre la ventana de energía apropiada. Para un sistema suficientemente grande, este muestreo insesgado debería dar como resultado un valor cercano a la media verdadera de los valores de${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$sobre esta ventana, y reproducirá eficazmente la predicción del conjunto microcanónico. Sin embargo, este mecanismo puede ser desfavorecido por la siguiente razón heurística. Típicamente, uno está interesado en situaciones físicas en las que el valor esperado inicial de${\displaystyle {\hat {A}}}$está lejos de su valor de equilibrio. Para que esto sea cierto, el estado inicial debe contener algún tipo de información específica sobre${\displaystyle {\hat {A}}}$y por lo tanto, se vuelve sospechoso si el estado inicial realmente representa o no un muestreo imparcial de los valores de${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$dentro del rango de energía apropiado. Además, sea esto cierto o no, aún no proporciona una respuesta a la pregunta de cuándo los estados iniciales arbitrarios alcanzarán el equilibrio, si es que alguna vez lo hacen.
2. Para estados iniciales de interés físico, los coeficientes${\displaystyle c_{\alpha }}$Son prácticamente constantes y no fluctúan en absoluto. En este caso, el conjunto diagonal es exactamente igual que el conjunto microcanónico, y no hay misterio alguno sobre por qué sus predicciones son idénticas. Sin embargo, esta explicación se descarta por razones muy similares a las de la primera.
3. Se ha demostrado que los sistemas cuánticos integrables se termalizan bajo la condición de una dependencia temporal regular y simple de los parámetros, lo que sugiere que la expansión cosmológica del Universo y la integrabilidad de las ecuaciones de movimiento más fundamentales son, en última instancia, responsables de la termalización. ^{[ 8 ]}

La condición que la ETH impone a los elementos diagonales de un observable es responsable de la igualdad de las predicciones de los conjuntos diagonal y microcanónico. ^{[ 6 ]} Sin embargo, la igualdad de estos promedios a largo plazo no garantiza que las fluctuaciones en el tiempo alrededor de este promedio sean pequeñas. Es decir, la igualdad de los promedios a largo plazo no asegura que el valor esperado de${\displaystyle {\hat {A}}}$Se estabilizará en este valor promedio a largo plazo y luego permanecerá allí la mayor parte del tiempo.

Para deducir las condiciones necesarias para que el valor esperado del observable muestre pequeñas fluctuaciones temporales alrededor de su promedio temporal, estudiamos la amplitud cuadrática media de las fluctuaciones temporales, definida como ^{[ 6 ].}

${\displaystyle {\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}dt,}$

dónde${\displaystyle A_{t}}$es una notación abreviada para el valor esperado de${\displaystyle {\hat {A}}}$en el instante t. Esta expresión se puede calcular explícitamente, y se encuentra que ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}=\sum _{\alpha \neq \beta }|c_{\alpha }|^{2}|c_{\beta }|^{2}|A_{\alpha \beta }|^{2}.}$

Las fluctuaciones temporales alrededor del promedio a largo plazo serán pequeñas siempre que los elementos fuera de la diagonal satisfagan las condiciones impuestas por la ETH, a saber, que se vuelvan exponencialmente pequeños en el tamaño del sistema. ^{[ 6 ] [ 5 ]} Nótese que esta condición permite la posibilidad de tiempos de resurgimiento aislados , en los que las fases se alinean coherentemente para producir grandes fluctuaciones lejos del promedio a largo plazo. ^{[ 4 ]} Se garantiza que la cantidad de tiempo que el sistema pasa lejos del promedio a largo plazo será pequeña siempre que la amplitud cuadrática media anterior sea suficientemente pequeña. ^{[ 6 ] [ 4 ]} Sin embargo, si un sistema presenta una simetría dinámica , oscilará periódicamente alrededor del promedio a largo plazo. ^{[ 9 ]}

El valor esperado de un observable mecánico cuántico representa el valor promedio que se mediría después de realizar mediciones repetidas en un conjunto de estados cuánticos preparados de forma idéntica . Por lo tanto, si bien hemos estado examinando este valor esperado como el principal objeto de interés, no está claro hasta qué punto representa cantidades físicamente relevantes. Como resultado de las fluctuaciones cuánticas , el valor esperado de un observable no es típicamente lo que se medirá durante un experimento en un sistema aislado . Sin embargo, se ha demostrado que para un observable que satisface la ETH, las fluctuaciones cuánticas en su valor esperado serán típicamente del mismo orden de magnitud que las fluctuaciones térmicas que se predecirían en un conjunto microcanónico tradicional. ^{[ 6 ] [ 5 ]} Esto da más credibilidad a la idea de que la ETH es el mecanismo subyacente responsable de la termalización de sistemas cuánticos aislados.

Actualmente, no se conoce ninguna derivación analítica de la hipótesis de termalización de autoestados para sistemas interactuantes generales. ^{[ 5 ]} Sin embargo, se ha verificado su veracidad para una amplia variedad de sistemas interactuantes utilizando técnicas numéricas de diagonalización exacta , dentro de la incertidumbre de estos métodos. ^{[ 4 ] [ 5 ]} También se ha demostrado su veracidad en ciertos casos especiales en el límite semiclasico , donde la validez de la ETH se basa en la validez del teorema de Shnirelman, que establece que en un sistema clásicamente caótico, el valor esperado de un operador${\displaystyle {\hat {A}}}$en un autoestado de energía es igual a su promedio clásico microcanónico en la energía apropiada. ^{[ 10 ]} Si se puede demostrar que esto es cierto de manera más general en sistemas cuánticos interactuantes sigue siendo una cuestión abierta. También se sabe que falla explícitamente en ciertos sistemas integrables , en los que la presencia de un gran número de constantes de movimiento impide la termalización . ^{[ 4 ]}

También es importante señalar que la ETH realiza afirmaciones sobre observables específicos caso por caso; no afirma que todos los observables de un sistema obedezcan la ETH. De hecho, esto ciertamente no puede ser cierto. Dada una base de autoestados de energía, siempre se puede construir explícitamente un operador que viole la ETH, simplemente escribiendo el operador como una matriz en esta base cuyos elementos no cumplan explícitamente las condiciones impuestas por la ETH. A la inversa, siempre es trivialmente posible encontrar operadores que sí satisfagan la ETH, escribiendo una matriz cuyos elementos se eligen específicamente para obedecer la ETH. En vista de esto, se podría pensar que la utilidad de la ETH es trivial. Sin embargo, es importante tener en cuenta que estos operadores así construidos pueden no tener ninguna relevancia física. Si bien se pueden construir estas matrices, no está claro que correspondan a observables que puedan medirse de forma realista en un experimento, ni que guarden alguna semejanza con cantidades físicamente interesantes. Un operador hermitiano arbitrario en el espacio de Hilbert del sistema no tiene por qué corresponder a algo que sea una observable físicamente medible. ^{[ 11 ]}

Típicamente, se postula que la ETH se cumple para "operadores de pocos cuerpos", ^{[ 4 ]} observables que involucran solo un pequeño número de partículas. Ejemplos de esto serían la ocupación de un momento dado en un gas de partículas, ^{[ 4 ] [ 5 ]} o la ocupación de un sitio particular en un sistema reticular de partículas. ^{[ 5 ]} Nótese que si bien la ETH se aplica típicamente a operadores de pocos cuerpos "simples" como estos, ^{[ 4 ]} estos observables no tienen por qué ser locales en el espacio ^{[ 5 ]} - el operador de número de momento en el ejemplo anterior no representa una cantidad local . ^{[ 5 ]}

También ha habido un interés considerable en el caso en que los sistemas cuánticos aislados y no integrables no logran termalizarse, a pesar de las predicciones de la mecánica estadística convencional. Los sistemas desordenados que exhiben localización de muchos cuerpos son candidatos para este tipo de comportamiento, con la posibilidad de autoestados de energía excitados cuyas propiedades termodinámicas se asemejan más a las de los estados fundamentales. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Sigue siendo una cuestión abierta si un sistema completamente aislado y no integrable sin desorden estático puede alguna vez no lograr termalizarse. Una posibilidad intrigante es la realización de "líquidos cuánticos desenredados". ^{[ 14 ]} También es una cuestión abierta si todos los autoestados deben obedecer la ETH en un sistema termalizante.

La hipótesis de termalización de los autoestados está estrechamente relacionada con la naturaleza cuántica del caos (véase caos cuántico ). Además, dado que un sistema caótico clásico también es ergódico, casi todas sus trayectorias exploran finalmente de forma uniforme todo el espacio de fases accesible, lo que implicaría que los autoestados del sistema caótico cuántico llenan el espacio de fases cuántico de manera uniforme (salvo fluctuaciones aleatorias) en el límite semiclasico.${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$. En particular, existe un teorema de ergodicidad cuántica que muestra que el valor esperado de un operador converge al promedio clásico microcanónico correspondiente cuando${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$. Sin embargo, el teorema de ergodicidad cuántica deja abierta la posibilidad de estados no ergódicos como las cicatrices cuánticas . Además de la cicatrización convencional, ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} hay otros dos tipos de cicatrización cuántica, que ilustran aún más la ruptura de la ergodicidad débil en sistemas caóticos cuánticos: inducida por perturbaciones ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} y cicatrices cuánticas de muchos cuerpos. ^{[ 24 ]} Dado que las primeras surgen de un efecto combinado de estados no perturbados casi degenerados especiales y la naturaleza localizada de la perturbación (quemaduras potenciales), ^{[ 19 ] [ 23 ]} la cicatrización puede ralentizar el proceso de termalización en puntos y pozos cuánticos desordenados, lo que se ilustra aún más por el hecho de que estas cicatrices cuánticas pueden usarse para propagar paquetes de ondas cuánticas en una nanoestructura desordenada con alta fidelidad. ^{[ 20 ]} Por otro lado, se ha especulado que esta última forma de cicatrización ^{[ 24 ] [ 25 ]} es la culpable de la termalización inesperadamente lenta de átomos fríos observada experimentalmente. ^{[ 26 ]}

• "Panorama general de la hipótesis de termalización de autoestados" por Mark Srednicki, UCSB, Programa KITP: Dinámica cuántica en sistemas térmicamente aislados lejos del equilibrio
• "La hipótesis de termalización de autoestados" por Mark Srednicki, UCSB, KITP Taller de respuesta rápida: Agujeros negros: ¿complementariedad, confusión o fuego?
• "Líquidos cuánticos desenredados" por Matthew PA Fisher, UCSB, Conferencia KITP: Del grupo de renormalización a la gravedad cuántica. Celebrando la ciencia de Joe Polchinski.