grupo p

Uno de los primeros resultados estándar que utilizan la ecuación de clase es que el centro de un p- grupo finito no trivial no puede ser el subgrupo trivial. ^{[ 1 ]}

Esto constituye la base de muchos métodos inductivos en p -grupos.

Por ejemplo, el normalizador N de un subgrupo propio H de un p -grupo finito G contiene propiamente a H , porque para cualquier contraejemplo con H = N , el centro Z está contenido en N , y por lo tanto también en H , pero entonces hay un ejemplo más pequeño H / Z cuyo normalizador en G / Z es N / Z = H / Z , creando un descenso infinito. Como corolario, todo p -grupo finito es nilpotente .

En otra dirección, todo subgrupo normal N de un p -grupo finito interseca el centro de forma no trivial, como se puede demostrar considerando los elementos de N que permanecen fijos cuando G actúa sobre N por conjugación. Dado que todo subgrupo central es normal, se deduce que todo subgrupo normal mínimo de un p -grupo finito es central y tiene orden p . En efecto, el soclo de un p -grupo finito es el subgrupo del centro formado por los elementos centrales de orden p .

Si G es un p -grupo, entonces también lo es G / Z , y por lo tanto también tiene un centro no trivial. La preimagen en G del centro de G / Z se llama segundo centro y estos grupos inician la serie central superior . Generalizando los comentarios anteriores sobre el soclo, un p -grupo finito con orden p ⁿ contiene subgrupos normales de orden p ⁱ con 0 ≤ i ≤ n , y cualquier subgrupo normal de orden p ⁱ está contenido en el i -ésimo centro Z _i . Si un subgrupo normal no está contenido en Z _i , entonces su intersección con Z _{i +1} tiene tamaño al menos p ^{i +1} .

Los grupos de automorfismos de los p -grupos están bien estudiados. Así como todo p -grupo finito tiene un centro no trivial de modo que el grupo de automorfismos interno es un cociente propio del grupo, todo p -grupo finito tiene un grupo de automorfismos externo no trivial . Todo automorfismo de G induce un automorfismo en G /Φ( G ), donde Φ( G ) es el subgrupo de Frattini de G . El cociente G/Φ( G ) es un grupo abeliano elemental y su grupo de automorfismos es un grupo lineal general , por lo que se comprende muy bien. La aplicación del grupo de automorfismos de G a este grupo lineal general ha sido estudiada por Burnside , quien demostró que el núcleo de esta aplicación es un p -grupo.

Los productos de corona iterados de grupos cíclicos de orden p son ejemplos muy importantes de p -grupos. Denotemos el grupo cíclico de orden p como W (1), y el producto de corona de W ( n ) con W (1) como W ( n  +  1). Entonces W ( n ) es el p- subgrupo de Sylow del grupo simétrico Sym( p ⁿ ). Los p -subgrupos maximales del grupo lineal general GL( n , Q ) son productos directos de varios W ( n ). Tiene orden p ^k donde k  =  ( p ⁿ  −  1)/( p  −  1). Tiene clase de nilpotencia p ^{n −1} , y su serie central inferior, serie central superior, serie central de exponente inferior p y serie central de exponente superior p son iguales. Está generado por sus elementos de orden p , pero su exponente es p ⁿ . El segundo grupo de este tipo, W (2), también es un p -grupo de clase máxima, puesto que tiene orden p ^{p +1} y clase de nilpotencia p , pero no es un p -grupo regular . Dado que los grupos de orden p ^p son siempre grupos regulares, también es un ejemplo mínimo de este tipo.

Cuando p  =  2 y n  =  2, W ( n ) es el grupo diedral de orden 8, por lo que en cierto sentido W ( n ) proporciona un análogo para el grupo diedral para todos los primos p cuando n  =  2. Sin embargo, para n más alto la analogía se vuelve forzada. Hay una familia diferente de ejemplos que imita más de cerca los grupos diedrales de orden 2 ⁿ , pero eso requiere un poco más de preparación. Sea ζ una raíz p -ésima primitiva de la unidad en los números complejos, sea Z [ζ] el anillo de enteros ciclotómicos generado por ella, y sea P el ideal primo generado por 1−ζ. Sea G un grupo cíclico de orden p generado por un elemento z . Forme el producto semidirecto E ( p ) de Z [ζ] y G donde z actúa como multiplicación por ζ. Las potencias P ⁿ son subgrupos normales de E ( p ), y los grupos de ejemplo son E ( p , n )  = E ( p )/ P ⁿ . E ( p , n ) tiene orden p ^{n +1} y clase de nilpotencia n , por lo que es un p -grupo de clase máxima. Cuando p = 2, E (2, n ) es el grupo diedral de orden 2 ⁿ . Cuando p es impar, tanto W (2) como E ( p , p ) son grupos irregulares de clase máxima y orden p ^{p +1} , pero no son isomorfos.   

Los subgrupos de Sylow de grupos lineales generales son otra familia fundamental de ejemplos. Sea V un espacio vectorial de dimensión n con base { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } y definamos V _i como el espacio vectorial generado por { e _i , e _{i +1} , ..., e _n } para 1 ≤ i ≤ n , y definamos V _i = 0 cuando i > n . Para cada 1 ≤ m ≤ n , el conjunto de transformaciones lineales invertibles de V que llevan cada V _i a V _{i + m} forman un subgrupo de Aut( V ) denotado U _m . Si V es un espacio vectorial sobre Z / p Z , entonces U ₁ es un p- subgrupo de Sylow de Aut( V ) = GL( n , p ), y los términos de su serie central inferior son simplemente los U _m . En términos de matrices, U _m son aquellas matrices triangulares superiores con 1s en la diagonal y 0s en las primeras m −1 superdiagonales. El grupo U ₁ tiene orden p ^{n ·( n −1)/2} , clase de nilpotencia n , y exponente p ^k donde k es el entero más pequeño al menos tan grande como el logaritmo en base p de n .

El grupo trivial es el único grupo de orden uno, y el grupo cíclico C _p es el único grupo de orden p . Hay exactamente dos grupos de orden p ² , ambos abelianos, a saber, C _{p ²} y C _p  ×  C _p . Por ejemplo, el grupo cíclico C ₄ y el grupo de Klein de orden cuatro V ₄ , que es C ₂  ×  C _2, son ambos 2-grupos de orden 4.

Hay tres grupos abelianos de orden p ³ , a saber, C _{p ³} , C _{p ²}  ×  C _p , y C _p  ×  C _p  ×  C _p . También hay dos grupos no abelianos.

Para p  ≠  2, uno es un producto semidirecto de C _p  ×  C _p con C _p , y el otro es un producto semidirecto de C _{p ²} con C _p . El primero puede describirse en otros términos como el grupo UT(3, p ) de matrices unitarangulares sobre un cuerpo finito con p elementos, también llamado grupo de Heisenberg módulo p .

Para p  =  2, ambos productos semidirectos mencionados anteriormente son isomorfos al grupo diedral Dih ₄ de orden 8. El otro grupo no abeliano de orden 8 es el grupo de cuaterniones Q ₈ .

La fórmula asintótica de Higman-Sims establece que el número de clases de isomorfismo de grupos de orden p ⁿ crece como${\displaystyle p^{{\frac {2}{27}}n^{3}+O(n^{8/3})}}$y estas están dominadas por las clases que son nilpotentes de dos pasos. ^{[ 8 ]} Debido a este rápido crecimiento, existe una conjetura popular que afirma que casi todos los grupos finitos son 2-grupos: se cree que la fracción de clases de isomorfismo de 2-grupos entre las clases de isomorfismo de grupos de orden como máximo n tiende a 1 cuando n tiende a infinito. Por ejemplo, de los 49 910 529 484 grupos diferentes de orden como máximo 2000, 49 487 367 289 , o poco más del 99%, son 2-grupos de orden 1024. ^{[ 9 ]}

Todo grupo finito cuyo orden es divisible por p contiene un subgrupo que es un p -grupo no trivial , a saber, un grupo cíclico de orden p generado por un elemento de orden p obtenido del teorema de Cauchy . De hecho, contiene un p -grupo de orden máximo posible: si${\displaystyle |G|=n=p^{k}m}$donde p no divide a m, entonces G tiene un subgrupo P de orden${\displaystyle p^{k},}$Se denomina subgrupo p de Sylow . Este subgrupo no tiene por qué ser único, pero cualquier subgrupo de este orden es conjugado, y cualquier subgrupo p de G está contenido en un subgrupo p de Sylow . Esta y otras propiedades se demuestran en los teoremas de Sylow .

Gran parte de la estructura de un grupo finito se lleva a cabo en la estructura de sus llamados subgrupos locales , los normalizadores de los p - subgrupos no identidad . ^{[ 10 ]}

Los grandes subgrupos abelianos elementales de un grupo finito ejercen control sobre el grupo que se utilizó en la demostración del teorema de Feit-Thompson . Ciertas extensiones centrales de los grupos abelianos elementales, llamadas grupos extraespeciales, ayudan a describir la estructura de los grupos como actuando sobre espacios vectoriales simplécticos .

Richard Brauer clasificó todos los grupos cuyos subgrupos de Sylow 2 son el producto directo de dos grupos cíclicos de orden 4, y John Walter , Daniel Gorenstein , Helmut Bender , Michio Suzuki , George Glauberman y otros clasificaron aquellos grupos simples cuyos subgrupos de Sylow 2 eran abelianos, diedrales, semidiédricos o cuaterniones.