Grupo nilpotente

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un grupo nilpotente G es un grupo cuya serie central superior termina en G. De forma equivalente, tiene una serie central de longitud finita o su serie central inferior termina en {1}.

Intuitivamente, un grupo nilpotente es un grupo "casi abeliano ". Esta idea se basa en el hecho de que los grupos nilpotentes son resolubles y, para grupos nilpotentes finitos , dos elementos con órdenes primos relativos deben conmutar . También es cierto que los grupos nilpotentes finitos son superresolubles . Se atribuye este concepto al matemático ruso Sergei Chernikov , quien trabajó en la década de 1930. ^[¹^]

Los grupos nilpotentes surgen en la teoría de Galois , así como en la clasificación de grupos. También aparecen de forma destacada en la clasificación de grupos de Lie .

Se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie (utilizando el corchete de Lie ), incluyendo series centrales inferiores , nilpotentes y superiores .

Definición

La definición utiliza la idea de una serie central para un grupo. Las siguientes son definiciones equivalentes para un grupo nilpotente $G$ :

$G$ tiene una serie central de longitud finita. Es decir, una serie de subgrupos normales.
$\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$
dónde $G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})$ o equivalentemente $[G,G_{i+1}]\leq G_{i}$ .
$G$ tiene una serie central inferior que termina en el subgrupo trivial después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales.
$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$
dónde $G_{i+1}=[G_{i},G]$ .
$G$ tiene una serie central superior que termina en todo el grupo después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales.
$\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$
dónde $Z_{1}=Z(G)$ y $Z_{i+1}$ es el subgrupo tal que $Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})$ .

Para un grupo nilpotente, el $n$ más pequeño tal que $G$ tiene una serie central de longitud $n$ se llama la clase de nilpotencia de $G$ ; y se dice que $G es$ nilpotente de clase $n$ . (Por definición, la longitud es $n$ si hay $n+1$ diferentes subgrupos en la serie, incluyendo el subgrupo trivial y el grupo completo.)

De forma equivalente, la clase de nilpotencia de $G$ es igual a la longitud de la serie central inferior o de la serie central superior. Si un grupo tiene una clase de nilpotencia de a lo sumo $n$ , entonces a veces se le llama grupo nil $-n$ .

De cualquiera de las formas anteriores de la definición de nilpotencia se deduce inmediatamente que el grupo trivial es el único grupo de clase de nilpotencia $0$ , y los grupos de clase de nilpotencia $1$ son precisamente los grupos abelianos no triviales. ^[²^]^[³^]

Ejemplos

Una porción del grafo de Cayley del grupo discreto de Heisenberg , un grupo nilpotente bien conocido.

Como se indicó anteriormente, todo grupo abeliano es nilpotente. ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}
Como ejemplo pequeño no abeliano, consideremos el grupo de cuaterniones Q _{8 , que es el}p- grupo no abeliano más pequeño . Tiene centro {1, −1} de orden 2, y su serie central superior es {1}, {1, −1}, Q ₈ ; por lo tanto, es nilpotente de clase 2.
El producto directo de dos grupos nilpotentes es nilpotente. ^{[ 5 ]}
Todos los p -grupos finitos son de hecho nilpotentes ( prueba ). Para n > 1, la clase de nilpotencia máxima de un grupo de orden p ⁿ es n - 1 (por ejemplo, un grupo de orden p ² es abeliano). Los 2-grupos de clase máxima son los grupos de cuaterniones generalizados , los grupos diedrales y los grupos semidiedrales .
Además, todo grupo nilpotente finito es el producto directo de p -grupos. ^{[ 5 ]}
El grupo multiplicativo de matrices unitarangulares superiores n × n sobre cualquier cuerpo F es un grupo nilpotente de clase de nilpotencia n − 1. En particular, tomando n = 3 se obtiene el grupo de Heisenberg H , un ejemplo de un grupo nilpotente infinito no abeliano ^{[ 6 ]} . ^{[ 7 ]} Tiene clase de nilpotencia 2 con serie central 1, Z ( H ), H .
El grupo multiplicativo de matrices triangulares superiores invertibles n × n sobre un cuerpo F no es en general nilpotente, pero es resoluble .
Cualquier grupo no abeliano G tal que G / Z ( G ) sea abeliano tiene clase de nilpotencia 2, con serie central {1}, Z ( G ), G .

Se han caracterizado los números naturales k para los cuales cualquier grupo de orden k es nilpotente (secuencia A056867 en la OEIS ) .

Explicación del término

Los grupos nilpotentes se llaman así porque la "acción adjunta" de cualquier elemento es nilpotente , lo que significa que para un grupo nilpotente $G$ grado de nilpotencia $n$ y un elemento $g$ , la función $\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G$ definido por $\operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$ (dónde $[g,x]=g^{-1}x^{-1}gx$ es el conmutador de $g$ y $x$ ) es nilpotente en el sentido de que el $n$ La iteración de la función es trivial: $\left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e$ a pesar de $x$ en $G$ .

Esta no es una característica definitoria de los grupos nilpotentes: grupos para los cuales $\operatorname {ad} _{g}$ es nilpotente de grado $n$ (en el sentido anterior) se llaman $n$ - Los grupos de Engel , ^{[ 8 ]} y no necesariamente son nilpotentes en general. Se demuestra que son nilpotentes si tienen orden finito , y se conjetura que son nilpotentes siempre que sean finitamente generados .

Un grupo abeliano es precisamente aquel para el cual la acción adjunta no solo es nilpotente sino trivial (un grupo 1-Engel).

Propiedades

Dado que cada grupo de factores sucesivo $Z i +1 / Z i$ en la serie central superior es abeliano, y la serie es finita, todo grupo nilpotente es un grupo resoluble con una estructura relativamente simple.

Todo subgrupo de un grupo nilpotente de clase $n$ es nilpotente de clase a lo sumo $n$ ; ^{[ 9 ]} además, si $f$ es un homomorfismo de un grupo nilpotente de clase $n$ , entonces la imagen de $f$ es nilpotente ^{[ 9 ]} de clase a lo sumo $n$ .

Teorema —

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para grupos finitos, ^{[ 10 ]} revelando algunas propiedades útiles de la nilpotencia:

$G$ es un grupo nilpotente.
Si $H$ es un subgrupo propio de $G$ , entonces $H$ es un subgrupo normal propio de $N G (H)$ (el normalizador de $H$ en $G$ ). Esto se denomina propiedad de normalización y puede expresarse simplemente como "los normalizadores crecen".
Cada subgrupo de Sylow de $G$ es normal.
$G$ es el producto directo de sus subgrupos de Sylow.
Si $d$ divide el orden de $G$ , entonces $G$ tiene un subgrupo normal de orden $d$ .

Prueba

(a)→(b): Por inducción sobre $| G |$ . Si $G$ es abeliano, entonces para cualquier $H$ , $N G (H) = G.$ Si no, si $Z (G)$ no está contenido en $H$ , entonces $h Z H Z -1 h -1 = h' H' h -1 = H$ , por lo que $H \cdot Z (G)$ normaliza $H.$ Si $Z (G)$ está contenido en $H$ , entonces $H / Z (G)$ está contenido en $G / Z (G)$ . Nótese que $G / Z (G)$ es un grupo nilpotente. Por lo tanto, existe un subgrupo de $G / Z (G)$ que normaliza $H / Z (G)$ y $H / Z (G)$ es un subgrupo propio de él. Por consiguiente, retrocedemos este subgrupo al subgrupo en $G$ y normaliza $H.$ (Esta demostración es el mismo argumento que para $los p$ -grupos ; el único hecho que necesitábamos era que si $G$ es nilpotente, entonces también lo es $G$ $/$ $Z$ $($ $G$ $)$ ; por lo tanto, se omiten los detalles).
(b)→(c): Sean $p 1, p 2,..., p s$ los primos distintos que dividen su orden y sea $P i$ en $Syl p i (G)$ , $1 \leq i \leq s$ . Sea $P = P i$ para algún $i$ y sea $N = N G (P)$ . Como $P$ es un subgrupo normal de Sylow de $N$ , $P$ es característico en $N$ . Como $P char N$ y $N$ es un subgrupo normal de $N G (N)$ , obtenemos que $P$ es un subgrupo normal de $N G (N)$ . Esto significa que $N G (N)$ es un subgrupo de $N$ y por lo tanto $N G (N) = N$ . Por (b) debemos tener por lo tanto $N = G$ , lo que da (c).
(c)→(d): Sean $p 1, p 2,..., p s$ los primos distintos que dividen su orden y sea $P i$ en $Syl p i (G)$ , $1 \leq i \leq s$ . Para cualquier $t$ , $1 \leq t \leq s$ mostramos inductivamente que $P 1 P 2 \cdot\cdot\cdot P t$ es isomorfo a $P 1 \times P 2 \times\cdot\cdot\cdot\times P t$ .
Nótese primero que cada $P i$ es normal en $G,$ por lo que $P 1 P 2 \cdot\cdot\cdot P t$ es un subgrupo de $G.$ Sea $H$ el producto $P 1 P 2 \cdot\cdot\cdot P t -1$ y sea $K = P t$ , por inducción $H$ es isomorfo a $P 1 \times P 2 \times\cdot\cdot\cdot\times P t -1$ . En particular, $| H | = | P 1 | \cdot | P 2 | \cdot \cdot\cdot\cdot \cdot | P t -1 |$ . Dado que $| K | = | P t |$ , los órdenes de $H$ y $K$ son primos relativos. El teorema de Lagrange implica que la intersección de $H$ y $K$ es igual a 1. Por definición, $P 1 P 2 \cdot\cdot\cdot P t = HK$ , por lo tanto, $HK$ es isomorfo a $H \times K$ que es igual a $P 1 \times P 2 \times\cdot\cdot\cdot\times P t$ . Esto completa la inducción. Ahora tomemos $t = s$ para obtener (d).
(d)→(e): Nótese que un p-grupo de orden $p k$ tiene un subgrupo normal de orden $p m$ para todo $1\leq m \leq k$ . Dado que $G$ es un producto directo de sus subgrupos de Sylow, y la normalidad se conserva en el producto directo de grupos, $G$ tiene un subgrupo normal de orden $d$ para cada divisor $d$ de $| G |$ .
(e)→(a): Para cualquier número primo $p$ que divida $a | G |$ , el subgrupo $p$ de Sylow es normal. Por lo tanto, podemos aplicar (d) (ya que demostramos (c)→(d)). Dado que todo p-grupo finito es nilpotente, inferimos que G (un producto de p-grupos) es nilpotente.

La afirmación (d) puede extenderse a grupos infinitos: si $G$ es un grupo nilpotente, entonces todo subgrupo de Sylow $G p$ de $G$ es normal, y el producto directo de estos subgrupos de Sylow es el subgrupo de todos los elementos de orden finito en $G$ (véase subgrupo de torsión ).

Muchas propiedades de los grupos nilpotentes son compartidas por los grupos hipercentrales .

Notas

↑ Dixon, MR; Kirichenko, VV; Kurdachenko, LA; Otal, J.; Semko, NN; Shemetkov, LA; Subbotin, I. Ya. (2012). "SN Chernikov y el desarrollo de la teoría de grupos infinitos". Álgebra y Matemáticas Discretas . 13 (2): 169– 208.
1 2 Suprunenko (1976). Grupos matriciales . pág. 205.
↑ Tabachnikova y Smith (2000). Temas de teoría de grupos (Springer Undergraduate Mathematics Series) . pág. 169.
↑ Hungerford (1974). Álgebra . pág. 100.
1 2 Zassenhaus (1999). La teoría de los grupos . pág. 143.
↑ Haeseler (2002). Secuencias automáticas (Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas, 36) . pag. 15.
↑ Palmer (2001). Álgebras de Banach y la teoría general de *-álgebras . pág. 1283.
↑ Para el término, compárese con el teorema de Engel , también sobre la nilpotencia.
1 2 Bechtell (1971), pág. 51, Teorema 5.1.3
↑ Isaacs (2008), Teorema 1.26

Referencias

Bechtell, Homer (1971). La teoría de grupos . Addison-Wesley .
Von Haeseler, Friedrich (2002). Secuencias Automáticas . Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas. vol. 36. Berlín: Walter de Gruyter . ISBN 3-11-015629-6.
Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
Isaacs, I. Martin (2008). Teoría de grupos finitos . Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-4344-4.
Palmer, Theodore W. (1994). Álgebras de Banach y la teoría general de las *-álgebras . Cambridge University Press . ISBN 0-521-36638-0.
Stammbach, Urs (1973). Homología en la teoría de grupos . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 359. Springer-Verlag.revisar
Suprunenko, DA (1976). Grupos matriciales . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-1341-2.
Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Temas de teoría de grupos . Serie de matemáticas para estudiantes de pregrado de Springer. Springer. ISBN 1-85233-235-2.
Zassenhaus, Hans (1999). La teoría de los grupos . Nueva York: Dover Publications . ISBN 0-486-40922-8.

[Dixon-1] Dixon, MR; Kirichenko, VV; Kurdachenko, LA; Otal, J.; Semko, NN; Shemetkov, LA; Subbotin, I. Ya. (2012). "SN Chernikov y el desarrollo de la teoría de grupos infinitos". Álgebra y Matemáticas Discretas . 13 (2): 169– 208.

[Suprunenko-76-2] 1 2 Suprunenko (1976). Grupos matriciales . pág. 205.

[3] Tabachnikova y Smith (2000). Temas de teoría de grupos (Springer Undergraduate Mathematics Series) . pág. 169.

[4] Hungerford (1974). Álgebra . pág. 100.

[Zassenhaus-5] 1 2 Zassenhaus (1999). La teoría de los grupos . pág. 143.

[6] Haeseler (2002). Secuencias automáticas (Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas, 36) . pag. 15.

[7] Palmer (2001). Álgebras de Banach y la teoría general de *-álgebras . pág. 1283.

[8] Para el término, compárese con el teorema de Engel , también sobre la nilpotencia.

[theo7.1.3-9] 1 2 Bechtell (1971), pág. 51, Teorema 5.1.3

[10] Isaacs (2008), Teorema 1.26

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