Mapa cuasiregular

En el campo matemático del análisis , las aplicaciones cuasirregulares son una clase de aplicaciones continuas entre espacios euclidianos R ⁿ de la misma dimensión o, más generalmente, entre variedades riemannianas de la misma dimensión, que comparten algunas de las propiedades básicas con las funciones holomorfas de una variable compleja.

La teoría de las funciones holomorfas (= analíticas ) de una variable compleja es una de las partes más bellas y útiles de todas las matemáticas.

Una desventaja de esta teoría es que solo trata con transformaciones entre espacios bidimensionales ( superficies de Riemann ). La teoría de funciones de varias variables complejas tiene un carácter diferente, principalmente porque las funciones analíticas de varias variables no son conformes . Se pueden definir transformaciones conformes entre espacios euclidianos de dimensión arbitraria, pero cuando la dimensión es mayor que 2, esta clase de transformaciones es muy pequeña: consiste únicamente en transformaciones de Möbius . Este es un teorema de Joseph Liouville ; relajar las hipótesis de suavidad no ayuda, como demostró Yurii Reshetnyak . ^{[ 1 ]}

Esto sugiere la búsqueda de una generalización de la propiedad de conformabilidad que daría lugar a una clase rica e interesante de mapas en dimensiones superiores.

Una aplicación diferenciable f de una región D en R ⁿ a R ⁿ se denomina K -cuasiregular si se cumple la siguiente desigualdad en todos los puntos de D :

${\displaystyle \|Df(x)\|^{n}\leq K|J_{f}(x)|}$.

Aquí K  ≥  1 es una constante, J _f es el determinante jacobiano , Df es la derivada, es decir, el mapeo lineal definido por la matriz jacobiana , y ||·|| es la norma usual (euclidiana) de la matriz.

El desarrollo de la teoría de tales mapas demostró que no es razonable restringirse a mapas diferenciables en el sentido clásico, y que la clase "correcta" de mapas consiste en mapas continuos en el espacio de Sobolev W ^{1, n} _loc cuyas derivadas parciales en el sentido de distribuciones tienen una potencia n -ésima localmente sumable , y tales que la desigualdad anterior se satisface casi en todas partes . Esta es una definición formal de un mapa K -cuasirregular. Un mapa se llama cuasirregular si es K -cuasirregular con algún K. Los mapas constantes están excluidos de la clase de mapas cuasirregulares.

El teorema fundamental sobre mapas cuasirregulares fue demostrado por Reshetnyak: ^{[ 2 ]}

Los mapas cuasirregulares son abiertos y discretos .

Esto significa que las imágenes de conjuntos abiertos son abiertas y que las preimágenes de puntos consisten en puntos aislados. En dimensión 2, estas dos propiedades dan una caracterización topológica de la clase de funciones analíticas no constantes: toda aplicación continua, abierta y discreta de un dominio plano al plano puede precomponerse con un homeomorfismo , de modo que el resultado es una función analítica. Este es un teorema de Simion Stoilov .

El teorema de Reshetnyak implica que todos los resultados topológicos puros sobre funciones analíticas (como el Principio del Módulo Máximo , el teorema de Rouché, etc.) se extienden a aplicaciones cuasirregulares.

Las aplicaciones cuasirregulares inyectivas se denominan cuasiconformes . Un ejemplo sencillo de aplicación cuasirregular no inyectiva se da en coordenadas cilíndricas en el espacio tridimensional mediante la fórmula

${\displaystyle (r,\theta,z)\mapsto (r,2\theta,z).}$

Este mapa es 2-cuasirregular. Es suave en todas partes excepto en el eje z . Un hecho notable es que todos los mapas cuasirregulares suaves son homeomorfismos locales. Aún más notable es que todo homeomorfismo local cuasirregular R ⁿ  → R ⁿ , donde n ≥ 3, es un homeomorfismo (este es un teorema de Vladimir Zorich ^{[ 2 ]} ).   

Esto explica por qué en la definición de mapas cuasirregulares no es razonable restringirse a mapas suaves: todos los mapas suaves cuasirregulares de R ⁿ en sí mismo son cuasiconformes.

Muchos teoremas sobre propiedades geométricas de funciones holomorfas de una variable compleja se han extendido a aplicaciones cuasirregulares. Estas extensiones suelen ser muy complejas.

Quizás el resultado más famoso de este tipo sea la extensión del teorema de Picard que se debe a Seppo Rickman: ^{[ 3 ]}

Una aplicación K-cuasiregular R ⁿ → R ⁿ puede omitir como máximo un conjunto finito .  

Cuando n  =  2, este conjunto omitido puede contener como máximo un punto (esta es una extensión simple del teorema de Picard). Pero cuando n  >  2, el conjunto omitido puede contener más de un punto, y su cardinalidad puede estimarse a partir de lo anterior en términos de n y K. De hecho, cualquier conjunto finito puede omitirse, como demostraron David Drasin y Pekka Pankka. ^{[ 4 ]} 

Si f es una función analítica, entonces log | f | es subarmónica y armónica lejos de sus ceros . El hecho correspondiente para las aplicaciones cuasirregulares es que log | f | satisface una cierta ecuación diferencial parcial no lineal de tipo elíptico . Este descubrimiento de Reshetnyak impulsó el desarrollo de la teoría del potencial no lineal , que trata este tipo de ecuaciones como la teoría del potencial habitual trata las funciones armónicas y subarmónicas.  

• Yurii Reshetnyak
• Vladimir Zorich