Cociente geométrico

En geometría algebraica , un cociente geométrico de una variedad algebraica X con la acción de un grupo algebraico G es un morfismo de variedades.${\displaystyle \pi :X\to Y}$de tal manera que ^{[ 1 ]}

(i) El mapa${\displaystyle \pi }$es sobreyectiva, y sus fibras son exactamente las órbitas G en X.

(ii) La topología de Y es la topología cociente : un subconjunto${\displaystyle U\subset Y}$está abierto si y solo si${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$está abierto.

(iii) Para cualquier subconjunto abierto${\displaystyle U\subset Y}$,${\displaystyle \pi ^{\#}:k[U]\to k[\pi ^{-1}(U)]^{G}}$es un isomorfismo. (Aquí, k es el cuerpo base.)

La noción aparece en la teoría de invariantes geométricos . (i), (ii) dicen que Y es un espacio de órbitas de X en topología . (iii) también puede formularse como un isomorfismo de haces.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}\simeq \pi _{*}({\mathcal {O}}_{X}^{G})}$. En particular, si X es irreducible, entonces también lo es Y y${\displaystyle k(Y)=k(X)^{G}}$: las funciones racionales en Y pueden considerarse como funciones racionales invariantes en X (es decir, invariantes racionales de X ).

Por ejemplo, si H es un subgrupo cerrado de G , entonces${\displaystyle G/H}$es un cociente geométrico. Un cociente GIT puede ser o no un cociente geométrico; pero ambos son cocientes categóricos, lo cual es único; en otras palabras, no se pueden tener ambos tipos de cocientes (sin que sean iguales).

Un cociente geométrico es un cociente categórico . Esto se demuestra en la teoría de invariantes geométricos de Mumford.

Un cociente geométrico es precisamente un buen cociente cuyas fibras son órbitas del grupo.

• El mapa canónico${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\setminus 0\to \mathbb {P} ^{n}}$es un cociente geométrico.
• Si L es un fibrado de líneas linealizado sobre una G -variedad algebraica X , entonces, escribiendo${\displaystyle X_{(0)}^{s}}$para el conjunto de puntos estables con respecto a L , el cociente

${\displaystyle X_{(0)}^{s}\to X_{(0)}^{s}/G}$ 

es un cociente geométrico.