Teoría de invariantes geométricos

En matemáticas , la teoría de invariantes geométricos (o TIG ) es un método para construir cocientes mediante acciones de grupo en geometría algebraica , utilizado para construir espacios de módulos . Fue desarrollado por David Mumford en 1965, utilizando ideas del artículo ( Hilbert 1893 ) sobre teoría de invariantes clásica .

La teoría de invariantes geométricos estudia la acción de un grupo G sobre una variedad algebraica (o esquema ) X y proporciona técnicas para formar el "cociente" de X por G como un esquema con propiedades razonables. Una motivación fue construir espacios de módulos en geometría algebraica como cocientes de esquemas que parametrizan objetos marcados. En las décadas de 1970 y 1980, la teoría desarrolló interacciones con la geometría simpléctica y la topología equivariante , y se utilizó para construir espacios de módulos de objetos en geometría diferencial , como instantones y monopolos .

La teoría de invariantes se ocupa de la acción de un grupo G sobre una variedad algebraica (o un esquema ) X. La teoría clásica de invariantes aborda la situación en la que X = V es un espacio vectorial y G es un grupo finito o uno de los grupos de Lie clásicos que actúa linealmente sobre V. Esta acción induce una acción lineal de G sobre el espacio de funciones polinómicas R ( V ) en V mediante la fórmula

${\displaystyle g\cdot f(v)=f(g^{-1}v),\quad g\in G,v\in V.}$

Los invariantes polinomiales de la acción de G sobre V son aquellas funciones polinomiales f sobre V que se fijan bajo el "cambio de variables" debido a la acción del grupo, de modo que g · f = f para todo G en G. Forman un álgebra conmutativa A = R ( V ) ^G , y esta álgebra se interpreta como el álgebra de funciones sobre el " cociente de la teoría de invariantes " V // G porque cualquiera de estas funciones da el mismo valor para todos los puntos que son equivalentes (es decir, f ( v ) = f ( gv ) para todo g ). En el lenguaje de la geometría algebraica moderna ,

${\displaystyle V/\!\!/G=\operatorname {Spec} A=\operatorname {Spec} R(V)^{G}.}$

De esta descripción surgen varias dificultades. La primera, abordada con éxito por Hilbert en el caso de un grupo lineal general , consiste en demostrar que el álgebra A es finitamente generada. Esto es necesario si se desea que el cociente sea una variedad algebraica afín . Si un hecho similar se cumple para grupos arbitrarios G fue el tema del decimocuarto problema de Hilbert , y Nagata demostró que la respuesta era negativa en general. Por otro lado, en el curso del desarrollo de la teoría de la representación en la primera mitad del siglo XX, se identificó una gran clase de grupos para los cuales la respuesta es positiva; estos se denominan grupos reductivos e incluyen todos los grupos finitos y todos los grupos clásicos .

La generación finita del álgebra A es solo el primer paso hacia la descripción completa de A , y el progreso en la resolución de esta cuestión más delicada fue bastante modesto. Los invariantes se habían descrito clásicamente solo en un rango restringido de situaciones, y la complejidad de esta descripción más allá de los primeros casos ofrecía pocas esperanzas de una comprensión completa de las álgebras de invariantes en general. Además, puede ocurrir que cualquier invariante polinomial f tome el mismo valor en un par dado de puntos u y v en V , pero ^estos puntos estén en órbitas diferentes de la acción G. Un ejemplo sencillo lo proporciona el grupo multiplicativo C ^* de números complejos no nulos que actúa sobre un espacio vectorial complejo n -dimensional Cn mediante multiplicación escalar . En este caso, cada invariante polinomial es una constante, pero hay muchas órbitas diferentes de la acción. El vector cero forma una órbita por sí mismo, y los múltiplos no nulos de cualquier vector no nulo forman una órbita, de modo que las órbitas no nulas están parametrizadas por los puntos del espacio proyectivo complejo CP ^{n –1} . Si esto sucede (diferentes órbitas con los mismos valores de función), se dice que "los invariantes no separan las órbitas", y el álgebra A refleja el espacio cociente topológico X / G de forma bastante imperfecta. De hecho, este último espacio, con la topología cociente , frecuentemente no está separado (no es Hausdorff ). (Este es el caso en nuestro ejemplo: la órbita nula no es abierta porque cualquier entorno del vector nulo contiene puntos en todas las demás órbitas, por lo que en la topología cociente cualquier entorno de la órbita nula contiene todas las demás órbitas). En 1893, Hilbert formuló y demostró un criterio para determinar aquellas órbitas que no están separadas de la órbita cero por polinomios invariantes. Resulta bastante sorprendente que, a diferencia de sus trabajos anteriores en teoría de invariantes, que propiciaron el rápido desarrollo del álgebra abstracta , este resultado de Hilbert permaneciera poco conocido y poco utilizado durante los siguientes 70 años. Gran parte del desarrollo de la teoría de invariantes en la primera mitad del siglo XX se centró en cálculos explícitos con invariantes y, en cualquier caso, siguió la lógica del álgebra más que la de la geometría.

La teoría geométrica de invariantes fue fundada y desarrollada por Mumford en una monografía, publicada por primera vez en 1965, que aplicaba ideas de la teoría de invariantes del siglo XIX, incluyendo algunos resultados de Hilbert , a cuestiones modernas de geometría algebraica. (El libro se amplió considerablemente en dos ediciones posteriores, con apéndices adicionales de Fogarty y Mumford, y un capítulo sobre cocientes simplécticos de Kirwan). El libro utiliza tanto la teoría de esquemas como técnicas computacionales disponibles en los ejemplos. El marco abstracto utilizado es el de una acción de grupo sobre un esquema X. La idea simple de un espacio de órbitas

${\displaystyle G\setminus X}$

Es decir, el espacio cociente de X por la acción del grupo, encuentra dificultades en la geometría algebraica, por razones que se explican en términos abstractos. De hecho, no hay ninguna razón general por la que las relaciones de equivalencia deban interactuar bien con las funciones regulares (funciones polinómicas), bastante rígidas, que son el núcleo de la geometría algebraica. Las funciones en el espacio de órbitas G \ X que deben considerarse son aquellas en X que son invariantes bajo la acción de G. El enfoque directo puede hacerse, por medio del cuerpo de funciones de una variedad (es decir, funciones racionales ): tomar las funciones racionales G -invariantes en ella, como el cuerpo de funciones de la variedad cociente . Desafortunadamente, este —el punto de vista de la geometría birracional— solo puede dar una primera aproximación a la respuesta. Como lo expresó Mumford en el prefacio del libro:

El problema es que, dentro del conjunto de todos los modelos de la clase birracional resultante, hay un modelo cuyos puntos geométricos clasifican el conjunto de órbitas en alguna acción, o el conjunto de objetos algebraicos en algún problema de módulos.

En el capítulo 5, aísla aún más el problema técnico específico abordado, en un problema de módulos de tipo bastante clásico : clasificar el gran "conjunto" de todas las variedades algebraicas sujetas únicamente a ser no singulares (y una condición requerida sobre la polarización ). Se supone que los módulos describen el espacio de parámetros. Por ejemplo, para curvas algebraicas se sabe desde la época de Riemann que debe haber componentes conexas de dimensiones

${\displaystyle 0,1,3,6,9,\dots }$

Según el género g = 0, 1, 2, 3, 4, … , los módulos son funciones de cada componente. En el problema de los módulos gruesos, Mumford considera que las obstrucciones son:

• topología no separada en el espacio de módulos (es decir, no hay suficientes parámetros en buen estado)
• infinitos componentes irreducibles (lo cual no es evitable, pero puede cumplirse la finitud local )
• Fallo de los componentes para ser representables como esquemas, aunque sean representables topológicamente.

Es el tercer punto el que motivó toda la teoría. Como dice Mumford, si se resuelven las dos primeras dificultades

[La tercera pregunta] se vuelve esencialmente equivalente a la pregunta de si existe un espacio de órbitas de algún subconjunto localmente cerrado de los esquemas de Hilbert o Chow por el grupo proyectivo .

Para abordar este problema, introdujo una noción (de hecho, tres) de estabilidad . Esto le permitió explorar un área previamente compleja : se había escrito mucho al respecto, en particular por Francesco Severi , pero los métodos de la literatura presentaban limitaciones. El punto de vista birracional puede permitirse el lujo de ser negligente con los subconjuntos de codimensión 1. Tener un espacio de módulos como esquema es, por un lado, una cuestión de caracterizar esquemas como functores representables (como lo vería la escuela de Grothendieck ); pero geométricamente se asemeja más a una cuestión de compactificación , como revelaron los criterios de estabilidad. La restricción a variedades no singulares no conduce a un espacio compacto en ningún sentido como espacio de módulos: las variedades pueden degenerar en singularidades. Por otro lado, los puntos que corresponderían a variedades altamente singulares son definitivamente demasiado "problemáticos" para incluirlos en la respuesta. El punto medio correcto, de puntos lo suficientemente estables como para ser admitidos, fue aislado por el trabajo de Mumford. El concepto no era del todo nuevo, ya que ciertos aspectos del mismo se encontraban en las ideas finales de David Hilbert sobre la teoría de invariantes, antes de que se dedicara a otros campos.

El prefacio del libro también enunciaba la conjetura de Mumford , que más tarde fue demostrada por William Haboush .

Si un grupo reductivo G actúa linealmente sobre un espacio vectorial V , entonces un punto no nulo de V se llama

• inestable si 0 está en el cierre de su órbita,
• semiestable si 0 no está en el cierre de su órbita,
• estable si su órbita es cerrada y su estabilizador es finito.

Existen formas equivalentes de enunciarlas (este criterio se conoce como el criterio de Hilbert-Mumford ):

• Un punto x distinto de cero es inestable si y solo si existe un subgrupo de G de un parámetro cuyos pesos con respecto a x son todos positivos.
• Un punto x distinto de cero es inestable si y solo si todo polinomio invariante tiene el mismo valor en 0 y x .
• Un punto x distinto de cero es semiestable si y solo si no existe ningún subgrupo de G de un parámetro cuyos pesos con respecto a x sean todos positivos.
• Un punto x distinto de cero es semiestable si y solo si algún polinomio invariante tiene valores diferentes en 0 y x .
• Un punto x distinto de cero es estable si y solo si cada subgrupo de G de un parámetro tiene pesos positivos (y negativos) con respecto a x .
• Un punto x distinto de cero es estable si y solo si para cada y que no está en la órbita de x existe algún polinomio invariante que tiene valores diferentes en y y x , y el anillo de polinomios invariantes tiene grado de trascendencia dim( V ) – dim( G ) .

Un punto del espacio proyectivo correspondiente de V se denomina inestable, semiestable o estable si es la imagen de un punto en V con la misma propiedad. "Inestable" es lo opuesto a "semiestable" (no "estable"). Los puntos inestables forman un conjunto cerrado de Zariski en el espacio proyectivo, mientras que los puntos semiestables y estables forman conjuntos abiertos de Zariski (posiblemente vacíos). Estas definiciones provienen de ( Mumford 1977 ) y no son equivalentes a las de la primera edición del libro de Mumford.

Muchos espacios de módulos pueden construirse como cocientes del espacio de puntos estables de algún subconjunto del espacio proyectivo mediante alguna acción de grupo. Estos espacios a menudo pueden compactificarse añadiendo ciertas clases de equivalencia de puntos semiestables. Diferentes órbitas estables corresponden a diferentes puntos en el cociente, pero dos órbitas semiestables diferentes pueden corresponder al mismo punto en el cociente si sus clausuras se intersecan.

Ejemplo: ( Deligne y Mumford 1969 ) Una curva estable es una curva conexa reducida de género ≥2 tal que sus únicas singularidades son puntos dobles ordinarios y cada componente racional no singular se encuentra con las otras componentes en al menos 3 puntos. El espacio de módulos de curvas estables de género G es el cociente de un subconjunto del esquema de Hilbert de curvas en P ^{5 g –6} con polinomio de Hilbert (6 n – 1)( g – 1) por el grupo PGL _{5 g –5} .

Ejemplo: Un fibrado vectorial W sobre una curva algebraica (o sobre una superficie de Riemann ) es un fibrado vectorial estable si y solo si

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\deg(V)}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\deg(W)}{{\hbox{rank}}(W)}}}$

para todos los subfibrados propios no nulos V de W y es semiestable si se cumple esta condición con < reemplazado por ≤.

• Cociente GIT
• teoría de la complejidad geométrica
• Cociente geométrico
• Cociente categórico
• La cuantización conmuta con la reducción.
• Estabilidad K
• Estabilidad K de las variedades de Fano
• condición de estabilidad de Bridgeland
• Estabilidad (geometría algebraica)

• Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreducibilidad del espacio de curvas de género dado" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109 , doi : 10.1007/BF02684599 , MR 0262240 , S2CID 16482150  
• Hilbert, D. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme", Matemáticas. Annalen , 42 (3): 313, doi : 10.1007/BF01444162
• Kirwan, Frances, Cohomología de cocientes en geometría simpléctica y algebraica . Notas Matemáticas, 31. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984. i+211 pp. MR 0766741 ISBN  0-691-08370-3
• Kraft, Hanspeter, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie . (Alemán) (Métodos geométricos en teoría invariante) Aspectos de las Matemáticas, D1. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1984. x+308 págs. SEÑOR 0768181 ISBN  3-528-08525-8
• Mumford, David (1977), "Estabilidad de variedades proyectivas" , L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 23 (1): 39–110 , ISSN 0013-8584 , MR 0450272 , archivado del original el 7 de julio de 2011.  
• Mumford, David ; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Teoría invariante geométrica , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)], vol.  34 (3.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3, MR 1304906 ; MR 0214602 (1.ª ed. 1965); MR 0719371 (2.ª ed.)  
• V.L. Popov , E.B. Vinberg , Teoría de invariantes , en Geometría algebraica . IV. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, 55 (traducido de la edición rusa de 1989) Springer-Verlag, Berlín, 1994. vi+284 pp. ISBN  3-540-54682-0