atractor de Rössler

{\displaystyle a=0.2} — Atractor de Rössler como un estereograma con $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=14$

{\displaystyle a=0.1} — Plegado de un segmento de línea bajo la dinámica de Rössler en el plano (r, log(z)), mostrando un comportamiento caótico de estiramiento y plegado. $a=0.1$ , $b=0.1$ , $c=18$

El atractor de Rössler ( / ˈ r ɒ s l ər / ) es el atractor del sistema de Rössler , un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales estudiado originalmente por Otto Rössler en la década de 1970. ^[¹^]^[²^] Estas ecuaciones diferenciales definen un sistema dinámico de tiempo continuo que exhibe una dinámica caótica asociada con las propiedades fractales del atractor. ^[³^] Rössler lo interpretó como una formalización de una máquina de estirar caramelo . ^[⁴^]

Algunas propiedades del sistema de Rössler pueden deducirse mediante métodos lineales como los autovectores , pero las características principales del sistema requieren métodos no lineales como los mapas de Poincaré y los diagramas de bifurcación . El artículo original de Rössler afirma que el atractor de Rössler estaba destinado a comportarse de manera similar al atractor de Lorenz , pero también a ser más fácil de analizar cualitativamente. ^{[ 1 ]} Una órbita dentro del atractor sigue una espiral hacia afuera cerca del $x,y$ plano alrededor de un punto fijo inestable. Una vez que la gráfica se extiende en espiral lo suficiente, un segundo punto fijo influye en la gráfica, provocando un ascenso y una torsión en la misma. $z$ -dimensión. En el dominio del tiempo, se hace evidente que, si bien cada variable oscila dentro de un rango fijo de valores, las oscilaciones son caóticas. Este atractor tiene algunas similitudes con el atractor de Lorenz, pero es más simple y tiene solo una variedad . Otto Rössler diseñó el atractor de Rössler en 1976, ^{[ 1 ]} pero las ecuaciones originalmente teóricas resultaron ser útiles posteriormente para modelar el equilibrio en reacciones químicas.

Definición

Las ecuaciones que definen el sistema de Rössler son: ^{[ 3 ]}

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-yz\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(xc)\end{cases}}$

Rössler estudió el atractor caótico con $a=0.2$ , $b=0.2$ , y $c=5.7$ , aunque propiedades de $a=0.1$ , $b=0.1$ , y $c=14$ se han utilizado con mayor frecuencia desde entonces. Se investigó otra línea del espacio de parámetros utilizando el análisis topológico. Corresponde a $b=2$ , $c=4$ , y $a$ fue elegido como parámetro de bifurcación. ^{[ 5 ]} Letellier y Messager investigaron cómo Rössler descubrió este conjunto de ecuaciones. ^{[ 6 ]}

Análisis de estabilidad

$x,y$ plano de atractor de Rössler con $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=5.7$

{\displaystyle x,y} — $x,y$ plano de atractor de Rössler con $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=5.7$

Parte de la elegancia del atractor de Rössler se debe a que dos de sus ecuaciones son lineales; estableciendo $z=0$ , permite examinar el comportamiento en el $x,y$ avión

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{cases}}$

La estabilidad en el $x,y$ El plano se puede encontrar calculando los valores propios del jacobiano. ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ , que son $(a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2$ . De esto podemos ver que cuando $0<a<2$ , los autovalores son complejos y ambos tienen un componente real positivo, lo que hace que el origen sea inestable con una espiral hacia afuera en el $x,y$ El avión. Ahora considere el $z$ comportamiento del plano dentro del contexto de este rango para $a$ . Así que siempre y cuando $x$ es más pequeño que $c$ , el $c$ El plazo mantendrá la órbita cerca de la $x,y$ plano. A medida que la órbita se acerca $x$ más que $c$ , el $z$ Los valores comienzan a subir. A medida que $z$ sin embargo, las subidas, el $-z$ en la ecuación para $dx/dt$ detiene el crecimiento en $x$ .

Puntos fijos

Para encontrar los puntos fijos, las tres ecuaciones de Rössler se igualan a cero y ( $x$ , $y$ , $z$ Las coordenadas de cada punto fijo se determinaron resolviendo las ecuaciones resultantes. Esto produce las ecuaciones generales de cada una de las coordenadas de los puntos fijos: ^{[ 7 ]}

${\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{cases}}$

Lo cual, a su vez, puede utilizarse para mostrar los puntos fijos reales para un conjunto dado de valores de parámetros:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

Como se muestra en los gráficos generales del atractor de Rössler anteriores, uno de estos puntos fijos reside en el centro del bucle del atractor y el otro se encuentra relativamente lejos del mismo.

Valores propios y vectores propios

La estabilidad de cada uno de estos puntos fijos puede analizarse determinando sus respectivos valores y vectores propios. Comenzando con el jacobiano:

${\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}$

Los valores propios se pueden determinar resolviendo la siguiente ecuación cúbica:

$-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+xc)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,$

Para el punto fijo ubicado en el centro, los valores originales de los parámetros de Rössler, a=0,2, b=0,2 y c=5,7, producen los siguientes autovalores:

\lambda _ {1}=0.0971028+0.995786i\,

\lambda _ {2}=0.0971028-0.995786i\,

\lambda _ {3}=-5.68718\,

La magnitud de un valor propio negativo caracteriza el nivel de atracción a lo largo del vector propio correspondiente. De manera similar, la magnitud de un valor propio positivo caracteriza el nivel de repulsión a lo largo del vector propio correspondiente.

Los vectores propios correspondientes a estos valores propios son:

v_{1}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}}

v_{2}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}}

v_{3}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}

Examen de los autovectores del punto fijo central: La línea azul corresponde al atractor de Rössler estándar generado con $a=0.2$ , $b=0.2$ , y $c=5.7$ .

Atractor de Rössler con $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=5.7$

Estos autovectores tienen varias implicaciones interesantes. Primero, los dos pares de autovalor/autovector ( $v_{1}$ y $v_{2}$ ) son responsables del deslizamiento constante hacia afuera que ocurre en el disco principal del atractor. El último par de autovalor/autovector atrae a lo largo de un eje que pasa por el centro de la variedad y explica el movimiento en z que ocurre dentro del atractor. Este efecto se ilustra de forma aproximada en la figura siguiente.

La figura examina los autovectores del punto fijo central. La línea azul corresponde al atractor de Rössler estándar generado con $a=0.2$ , $b=0.2$ , y $c=5.7$ . El punto rojo en el centro de este atractor es $FP_{1}$ . La línea roja que interseca ese punto fijo es una ilustración del plano repulsivo generado por $v_{1}$ y $v_{2}$ La línea verde es una ilustración de la atracción $v_{3}$ La línea magenta se genera retrocediendo en el tiempo desde un punto en el vector propio atractor que está ligeramente por encima. $FP_{1}$ – ilustra el comportamiento de los puntos que quedan completamente dominados por ese vector. Nótese que la línea magenta casi toca el plano del atractor antes de ser atraída hacia arriba en el punto fijo; esto sugiere que la apariencia y el comportamiento general del atractor de Rössler es en gran medida producto de la interacción entre el atractor. $v_{3}$ y el repelente $v_{1}$ y $v_{2}$ plano. Específicamente, implica que una secuencia generada a partir de las ecuaciones de Rössler comenzará a formar un bucle alrededor $FP_{1}$ , comienzan a ser arrastrados hacia arriba en el $v_{3}$ vector, creando el brazo ascendente de una curva que se dobla ligeramente hacia adentro en dirección al vector antes de ser empujada hacia afuera nuevamente al ser atraída de vuelta hacia el plano repulsor.

Para el punto fijo atípico, los valores de los parámetros originales de Rössler son: $a=0.2$ , $b=0.2$ , y $c=5.7$ arrojar valores propios de:

\lambda _{1}=-0.0000046+5.4280259i

\lambda _{2}=-0.0000046-5.4280259i

\lambda _ {3}=0,1929830

Los vectores propios correspondientes a estos valores propios son:

v_{1}={\begin{pmatrix}0.0002422+0.1872055i\\0.0344403-0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}

v_{2}={\begin{pmatrix}0.0002422-0.1872055i\\0.0344403+0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}

v_{3}={\begin{pmatrix}0.0049651\\-0.7075770\\0.7066188\\\end{pmatrix}}

Aunque estos autovalores y autovectores existen en el atractor de Rössler, su influencia se limita a las iteraciones del sistema de Rössler cuyas condiciones iniciales se encuentran en la vecindad general de este punto fijo atípico. Excepto en aquellos casos en que las condiciones iniciales se encuentran en el plano atractor generado por $\lambda _{1}$ y $\lambda _{2}$ Esta influencia implica, en efecto, empujar el sistema resultante hacia el atractor general de Rössler. A medida que la secuencia resultante se aproxima al punto fijo central y al propio atractor, la influencia de este punto fijo distante (y sus autovectores) disminuirá.

Mapa de Poincaré

El mapa de Poincaré se construye trazando el valor de la función cada vez que pasa por un plano determinado en una dirección específica. Un ejemplo sería trazar el $y,z$ valor cada vez que pasa por el $x=0$ avión donde $x$ está cambiando de negativo a positivo, algo que se hace comúnmente al estudiar el atractor de Lorenz. En el caso del atractor de Rössler, el $x=0$ El avión no es interesante, ya que el mapa siempre cruza el $x=0$ avión en $z=0$ debido a la naturaleza de las ecuaciones de Rössler. En el $x=0.1$ avión para $a=0.1$ , $b=0.1$ , $c=14$ , el mapa de Poincaré muestra el repunte en $z$ valores como $x$ aumenta, como es de esperar debido a la sección ascendente y de torsión del gráfico de Rössler. El número de puntos en este gráfico de Poincaré específico es infinito, pero cuando un diferente $c$ Se utiliza un valor, el número de puntos puede variar. Por ejemplo, con un $c$ valor de 4, solo hay un punto en el mapa de Poincaré, porque la función produce una órbita periódica de período uno, o si el $c$ Si el valor se establece en 12,8, habría seis puntos que corresponderían a una órbita de período seis.

Mapa de Lorenz

El mapa de Lorenz es la relación entre máximos sucesivos de una coordenada en una trayectoria. Consideremos una trayectoria en el atractor y sea $x_{max}(n)$ Sea el n-ésimo máximo de su coordenada x. Entonces $x_{max}(n)$ - $x_{max}(n+1)$ El diagrama de dispersión es casi una curva, lo que significa que saber $x_{max}(n)$ Se puede predecir casi con exactitud $x_{max}(n+1)$ . ^{[ 8 ]}

Mapeo de máximos locales

{\displaystyle Z_{n}} — $Z_{n}$ vs. $Z_{n+1}$

En el artículo original sobre el atractor de Lorenz, ^{[ 9 ]} Edward Lorenz analizó los máximos locales de $z$ frente a los máximos locales inmediatamente anteriores. Al visualizarse, el gráfico se asemejaba al mapa de la tienda de campaña , lo que implica que se puede utilizar un análisis similar entre el mapa y el atractor. Para el atractor de Rössler, cuando el $z_{n}$ El máximo local se grafica en función del siguiente máximo local. $z$ máximo, $z_{n+1}$ , el gráfico resultante (que se muestra aquí para $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=5.7$ ) es unimodal, similar a un mapa de Hénon sesgado . Sabiendo que el atractor de Rössler puede usarse para crear un mapa pseudo-1D, se procede a utilizar métodos de análisis similares. El diagrama de bifurcación es un método de análisis particularmente útil.

Variación de parámetros

El comportamiento del atractor de Rössler depende en gran medida de los valores de sus parámetros constantes. $a$ , $b$ , y $c$ En general, la variación de cada parámetro produce un efecto comparable, provocando que el sistema converja hacia una órbita periódica, un punto fijo o se disperse hacia el infinito; sin embargo, los rangos y comportamientos específicos inducidos varían sustancialmente para cada parámetro. Las órbitas periódicas, o "ciclos unitarios", del sistema de Rössler se definen por el número de vueltas alrededor del punto central que se producen antes de que la serie de vueltas comience a repetirse.

Los diagramas de bifurcación son una herramienta común para analizar el comportamiento de sistemas dinámicos , entre los que se encuentra el atractor de Rössler. Se crean resolviendo las ecuaciones del sistema, manteniendo constantes todas las variables excepto una y variando la última. A continuación, se grafican los puntos que alcanza un valor determinado de la variable modificada una vez neutralizados los factores transitorios. Las regiones caóticas se indican mediante zonas sombreadas en el gráfico.

Variar un

Aquí, $b$ está fijado en 0,2, $c$ está fijado en 5,7 y $a$ cambios. Examen numérico del comportamiento del atractor ante cambios $a$ sugiere que tiene una influencia desproporcionada sobre el comportamiento del atractor. Los resultados del análisis son:

$a\leq 0$ : Converge al punto fijo situado en el centro.
$a=0.1$ : Ciclo unitario del período 1
$a=0.2$ : Valor de parámetro estándar seleccionado por Rössler, caótico
$a=0.3$ : Atractor caótico, significativamente más parecido a una cinta de Möbius (que se pliega sobre sí misma).
$a=0.35$ : Similar a .3, pero cada vez más caótico
$a=0.38$ : Similar a .35, pero cada vez más caótico.

Variante b

{\displaystyle b} — Diagrama de bifurcación para el atractor de Rössler para diferentes $b$

Aquí, $a$ está fijado en 0,2, $c$ está fijado en 5,7 y $b$ cambios. Como se muestra en el diagrama adjunto, como $b$ a medida que se aproxima a 0, el atractor se aproxima al infinito (nótese el repunte para valores muy pequeños de $b$ ). En comparación con los otros parámetros, variando $b$ genera un rango mayor cuando se producirán órbitas de período 3 y período 6. En contraste con $a$ y $c$ , valores más altos de $b$ convergen al periodo 1, no a un estado caótico.

Variación c

Diagrama de bifurcación para el atractor de Rössler para diferentes $c$

{\displaystyle c} — Diagrama de bifurcación para el atractor de Rössler para diferentes $c$

Aquí, $a=b=0.1$ y $c$ cambios. El diagrama de bifurcación revela que los valores bajos de $c$ son periódicos, pero rápidamente se vuelven caóticos como $c$ aumenta. Este patrón se repite a medida que $c$ aumenta: hay secciones de periodicidad intercaladas con períodos de caos, y la tendencia es hacia órbitas de período más alto a medida que $c$ aumenta. Por ejemplo, el período de una órbita solo aparece para valores de $c$ alrededor de 4 y nunca se vuelve a encontrar en el diagrama de bifurcación. El mismo fenómeno se observa con el período tres; hasta $c=12$ Se pueden encontrar órbitas del tercer período, pero después no aparecen.

Una ilustración gráfica del atractor cambiante en un rango de $c$ Los valores ilustran el comportamiento general observado en todos estos análisis de parámetros: las transiciones frecuentes entre periodicidad y aperiodicidad.

Variación c

c = 4, período 1

c = 6, período 2

c = 8,5, período 4

c = 8,7, período 8

c = 9, caótico

c = 12, período 3

c = 12,6, período 6

c = 13, caótico

c = 18, caótico

c = 15,4, periodo 5

El conjunto de imágenes anterior ilustra las variaciones en el sistema de Rössler post-transitorio como $c$ varía en un rango de valores. Estas imágenes se generaron con $a=b=.1$ .

$c=4$ , órbita de periodo 1.
$c=6$ , órbita de periodo 2.
$c=8.5$ , órbita de periodo 4.
$c=8.7$ , órbita de periodo 8.
$c=9$ , atractor caótico disperso.
$c=12$ , órbita de periodo 3.
$c=12.6$ , órbita de periodo 6.
$c=13$ , atractor caótico disperso.
$c=15.4$ , órbita de periodo 5.
$c=18$ , atractor caótico lleno.

Órbitas periódicas

El atractor está densamente lleno de órbitas periódicas : soluciones para las cuales existe un valor distinto de cero de $T$ de tal manera que ${\vec {x}}(t+T)={\vec {x}}(t)$ Estas interesantes soluciones se pueden derivar numéricamente utilizando el método de Newton . Las órbitas periódicas son las raíces de la función. $\Phi _{t}-Id$ , dónde $\Phi _{t}$ es la evolución por el tiempo $t$ y $Id$ es la identidad. Como la mayor parte de la dinámica ocurre en el plano xy, las órbitas periódicas se pueden clasificar por su número de vueltas alrededor del equilibrio central después de la proyección.

Tabla de órbitas periódicas por número de vueltas k

k =1

k = 2

k = 3

El tiempo no está a escala. Se utilizaron los parámetros originales (a,b,c) = (0,2,0,2,5,7).

Según los experimentos numéricos, parece existir una órbita periódica única para todos los números de vueltas positivos. Esta falta de degeneración probablemente se deba a la falta de simetría del problema. El atractor puede dividirse en variedades invariantes más fáciles de comprender : órbitas periódicas unidimensionales y las variedades estables e inestables bidimensionales de órbitas periódicas. Estas variedades invariantes constituyen un esqueleto natural del atractor, al igual que los números racionales lo son para los números reales .

Para los propósitos de la teoría de sistemas dinámicos , uno podría estar interesado en los invariantes topológicos de estas variedades. Las órbitas periódicas son copias de $S^{1}$ incrustado en $\mathbb {R} ^{3}$ , por lo que sus propiedades topológicas pueden entenderse con la teoría de nudos . Las órbitas periódicas con números de vuelta 1 y 2 forman un enlace de Hopf , lo que demuestra que ningún difeomorfismo puede separar estas órbitas.

Enlaces a otros temas

Las bandas evidentes en el atractor de Rössler son similares a un conjunto de Cantor rotado alrededor de su punto medio. Además, la media torsión que se produce en el atractor de Rössler solo afecta a una parte del mismo. Rössler demostró que su atractor era, de hecho, la combinación de una «banda normal» y una cinta de Möbius . ^{[ 10 ]}

Referencias

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Enlaces externos

Animación Flash usando PovRay
Atractores de Lorenz y Rössler. Archivado el 11 de marzo de 2008 en el Archivo Web Portugués – Animación Java.
Atractores 3D: Programa para Mac para visualizar y explorar los atractores de Rössler y Lorenz en 3 dimensiones.
Atractor de Rössler en Scholarpedia
Atractor de Rössler : Experimento numérico interactivo en 3D - experiences.math.cnrs.fr- (javascript/webgl)

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