Sistema dinámico

En matemáticas , física , ingeniería y teoría de sistemas , un sistema dinámico es la descripción de cómo un sistema evoluciona en el tiempo. El estudio de los sistemas dinámicos es el foco de la teoría de sistemas dinámicos . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Tiene aplicaciones en una amplia variedad de campos como matemáticas, física, biología , ^{[ 3 ]} química , ingeniería , ^{[ 4 ]} economía , ^{[ 5 ]} historia y medicina . Los sistemas dinámicos son una parte fundamental de la teoría del caos , la dinámica de mapas logísticos , la teoría de bifurcaciones , los procesos de autoensamblaje y autoorganización , y el concepto de borde del caos .

Por ejemplo, un astrónomo puede registrar experimentalmente las posiciones de los planetas en el cielo, lo que puede considerarse una descripción suficientemente completa de un sistema dinámico. En el caso de los planetas, también existe suficiente conocimiento para codificar esta información como un conjunto de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales , o como una función que va del estado actual a un estado futuro en un espacio de estados predefinido con un parámetro de tiempo t , o como una órbita en el espacio de fases . ^{[ 6 ] : observación cap. 2.1}

El concepto de sistema dinámico tiene su origen en la mecánica newtoniana y, más precisamente, en la mecánica celeste . Allí, como en otras ciencias naturales y disciplinas de ingeniería, existe la necesidad de predecir la evolución del sistema, pero también de plantear otras cuestiones como la estabilidad, el comportamiento cualitativo o a largo plazo, la dependencia de parámetros y la existencia de comportamiento periódico, estocástico o caótico. ^{[ 6 ] : Parte 1} La relación entre un estado y otro es explícita, como una función del parámetro t que predice la posición y la velocidad de una partícula, o implícita, como una ecuación diferencial , una ecuación en diferencias u otra escala de tiempo . A veces puede que no sea posible definir dicha descripción, puede que ni siquiera exista una ecuación diferencial que prediga el precio de las acciones , o puede que sea imposible construir una, pero aun así hablar de precios de acciones puede considerarse un sistema dinámico basado en datos experimentales que cambian con el tiempo. ^{[ 7 ]}

Las propiedades importantes son la existencia y unicidad de soluciones, la integrabilidad (es decir, la existencia de cantidades conservadas), la posibilidad de resolver el sistema y poder calcular el estado en cualquier instante. Otras propiedades son si el sistema es discreto , continuo , diferenciable , suave , determinista , ergódico , estocástico o caótico . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Si el sistema se puede resolver, entonces, dado un punto inicial, es posible determinar todas sus posiciones futuras, una colección de puntos conocida como trayectoria u órbita .

Antes de la llegada de las computadoras , encontrar una órbita requería técnicas matemáticas sofisticadas y solo podía lograrse para una pequeña clase de sistemas dinámicos. ^{[ 10 ]} Los métodos numéricos implementados en máquinas de computación electrónicas han simplificado la tarea de determinar las órbitas de un sistema dinámico. ^{[ 11 ]}

Para sistemas dinámicos simples, conocer la trayectoria suele ser suficiente, pero la mayoría de los sistemas dinámicos son demasiado complejos para ser comprendidos en términos de trayectorias individuales. Las dificultades surgen porque:

• Los sistemas estudiados pueden conocerse solo de forma aproximada; los parámetros del sistema pueden no conocerse con precisión o pueden faltar términos en las ecuaciones. Las aproximaciones utilizadas ponen en duda la validez o relevancia de las soluciones numéricas. Para abordar estas cuestiones, se han introducido varias nociones de estabilidad en el estudio de sistemas dinámicos, como la estabilidad de Lyapunov o la estabilidad estructural . La estabilidad del sistema dinámico implica que existe una clase de modelos o condiciones iniciales para las cuales las trayectorias serían equivalentes. La operación para comparar órbitas y establecer su equivalencia cambia según las diferentes nociones de estabilidad. ^{[ 6 ] : Apéndice 1.1}
• El tipo de trayectoria puede ser más importante que una trayectoria en particular. Algunas trayectorias pueden ser periódicas, mientras que otras pueden transitar por muchos estados diferentes del sistema. Las aplicaciones a menudo requieren enumerar estas clases o mantener el sistema dentro de una sola clase. La clasificación de todas las trayectorias posibles ha llevado al estudio cualitativo de los sistemas dinámicos, es decir, propiedades que no cambian ante cambios de coordenadas. Los sistemas dinámicos lineales y los sistemas que tienen dos números que describen un estado son ejemplos de sistemas dinámicos donde se comprenden las posibles clases de órbitas. ^{[ 12 ]}
• El comportamiento de las trayectorias en función de un parámetro puede ser lo que se necesita para una aplicación. Al variar un parámetro, los sistemas dinámicos pueden presentar puntos de bifurcación donde cambia su comportamiento cualitativo. Por ejemplo, puede pasar de tener solo movimientos periódicos a un comportamiento aparentemente errático, como en la transición a la turbulencia de un fluido . ^{[ 13 ]}
• Las trayectorias del sistema pueden parecer erráticas, como si fueran aleatorias. En estos casos, puede ser necesario calcular promedios utilizando una trayectoria muy larga o muchas trayectorias diferentes. Los promedios están bien definidos para sistemas ergódicos y se ha desarrollado una comprensión más detallada para sistemas hiperbólicos . La comprensión de los aspectos probabilísticos de los sistemas dinámicos ha ayudado a establecer los fundamentos de la mecánica estadística y del caos . ^{[ 14 ]}

Algunos ejemplos sencillos incluyen los modelos matemáticos que describen el movimiento de un péndulo de reloj , el flujo de agua en una tubería , el movimiento aleatorio de partículas en el aire y la cantidad de peces que hay cada primavera en un lago .

• 
  Problema de los tres cuerpos : Trayectorias aproximadas de tres cuerpos idénticos situados en los vértices de un triángulo escaleno y con velocidad inicial cero.
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  Mapa del gato de Arnold : imagen que muestra cómo el mapeo lineal estira el cuadrado unitario y cómo se reorganizan sus piezas al realizar la operación módulo . Las líneas con flechas muestran la dirección de los autoespacios que se contraen y se expanden.
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  Mapa del panadero : Ejemplo de una medida que es invariante bajo la acción del mapa del panadero (sin rotación): una medida invariante . Al aplicar el mapa del panadero a esta imagen, siempre se obtiene exactamente la misma imagen.
• 
  Billar : Una partícula moviéndose dentro del estadio Bunimovich, un billar caótico muy conocido.
• 
  Billar exterior : definido en relación con un pentágono
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  Dinámica de la pelota que rebota : El movimiento no es del todo parabólico debido a la resistencia del aire .
• 
  Diagrama de bifurcación para un mapa circular . Las regiones negras corresponden a las lenguas de Arnold .
• 
  La aplicación recursiva de un polinomio cuadrático complejo como mapa del plano complejo da lugar a un sistema dinámico. En este caso, existe un plano dinámico con un conjunto de Julia y una órbita crítica.
• 
  Movimiento del péndulo doble compuesto (a partir de la integración numérica de las ecuaciones de movimiento)
• 
  Gráfico de transformación diádica xy donde x  = x ₀ ∈ [0, 1] es racional e y = x _n para todo n      
• 
  El atractor de Lorenz surge en el estudio del oscilador de Lorenz , un sistema dinámico.
• 
  Un ejemplo de calle de vórtices de Kármán , un fenómeno emergente de la dinámica de fluidos .
• 
  El Rotor Pateado , un famoso sistema caótico
• 
  Resonancia orbital en los anillos de Saturno .
• 
  La rotación caótica de Hiperión . El Sistema Solar en su conjunto está lleno de ejemplos de sistemas dinámicos de la mecánica celeste.

Otros ejemplos clásicos incluyen:

Cualquier mapa matemático puede tratarse como la definición de un sistema dinámico, por ejemplo:

Muchos consideran al matemático francés Henri Poincaré como el fundador de los sistemas dinámicos. ^{[ 15 ]} Poincaré publicó dos monografías ahora clásicas: «Nuevos métodos de mecánica celeste» (1892-1899) y «Lecciones de mecánica celeste» (1905-1910). En ellas, aplicó con éxito los resultados de su investigación al problema del movimiento de tres cuerpos y estudió en detalle el comportamiento de las soluciones (frecuencia, estabilidad, asintótica, etc.). Estos trabajos incluyeron el teorema de recurrencia de Poincaré , que establece que ciertos sistemas, después de un tiempo suficientemente largo pero finito, volverán a un estado muy cercano al estado inicial. ^{[ 6 ] : Apéndice 1.1.1}

Aleksandr Lyapunov desarrolló muchos métodos de aproximación importantes. Sus métodos, desarrollados en 1899, permiten definir la estabilidad de conjuntos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Creó la teoría moderna de la estabilidad de un sistema dinámico. ^{[ 6 ] : Apéndice 1.1}

En 1913, George David Birkhoff demostró el " Último Teorema Geométrico " de Poincaré , un caso especial del problema de los tres cuerpos , un resultado que lo hizo mundialmente famoso. En 1927, publicó su obra Sistemas Dinámicos . ^{[ 16 ]}

El resultado más duradero de Birkhoff ha sido su descubrimiento en 1931 de lo que hoy se conoce como el teorema ergódico . Combinando ideas de la física sobre la hipótesis ergódica con la teoría de la medida , este teorema resolvió, al menos en principio, un problema fundamental de la mecánica estadística . El teorema ergódico también ha tenido repercusiones en la dinámica. ^{[ 6 ] : Apéndice 1.2}

Stephen Smale también realizó avances significativos. Su primera contribución fue la herradura de Smale , que impulsó importantes investigaciones en sistemas dinámicos. Además, delineó un programa de investigación que posteriormente llevaron a cabo muchos otros.

Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky desarrolló el teorema de Sharkovsky sobre los periodos de los sistemas dinámicos discretos en 1964. Una de las implicaciones del teorema es que si un sistema dinámico discreto en la recta real tiene un punto periódico de periodo  3, entonces debe tener puntos periódicos de todos los demás periodos. ^{[ 6 ] : Apéndice 1.4}

A finales del siglo XX, la perspectiva de los sistemas dinámicos aplicada a las ecuaciones diferenciales parciales comenzó a ganar popularidad. El ingeniero mecánico palestino Ali H. Nayfeh aplicó la dinámica no lineal en sistemas mecánicos y de ingeniería . ^{[ 17 ]} Su trabajo pionero en dinámica no lineal aplicada ha sido influyente en la construcción y el mantenimiento de máquinas y estructuras comunes en la vida cotidiana, como barcos , grúas , puentes , edificios , rascacielos , motores a reacción , motores de cohetes , aeronaves y naves espaciales . ^{[ 18 ]}

La definición más general unifica varios conceptos en matemáticas, como ecuaciones diferenciales ordinarias y teoría ergódica ; en física , como espacio de fases , estado cuántico y estado termodinámico ; en ingeniería, como teoría de sistemas , teoría de control e incluso teoría de la información .

El tiempo como una variedad multidimensional

El tiempo también puede generalizarse como un conjunto genérico de parámetros continuos; por ejemplo, los parámetros de control de un robot pueden ser una variedad . No es necesario que el tiempo tenga una dirección, que sea suave o incluso que tenga algún significado similar a la intuición del tiempo ; de hecho, puede generalizarse a objetos algebraicos aún más generales. ^{[ nota 1 ]}

Una clase general de sistemas se define sobre múltiples variables independientes y, por lo tanto, se denominan sistemas multidimensionales . Dichos sistemas son útiles para el modelado y, por ejemplo, en el procesamiento de imágenes .

El tiempo se suele considerar un parámetro externo, como en la mecánica clásica y cuántica , y se denomina representación en el dominio del tiempo, que va de la mano con la formulación de la mecánica hamiltoniana . Sin embargo, esto no siempre es así: la relatividad general, por ejemplo , es independiente del marco de referencia ^{[ 26 ]} , y la gravedad también influye en el tiempo. En electrodinámica cuántica , es más común el uso de la formulación de la mecánica lagrangiana ^{[ 27 ]} , donde el tiempo y el espacio se consideran en igualdad de condiciones. En ambos casos, la literatura sigue hablando de sistemas dinámicos.

No determinista

La regla de evolución del sistema dinámico es una función que describe qué estados futuros se derivan del estado actual. A menudo, la función es determinista , es decir, para un intervalo de tiempo dado, solo un estado futuro se deriva del estado actual. ^{[ 30 ] [ 31 ]} Sin embargo, algunos sistemas no son deterministas , pueden permitir múltiples estados futuros (es decir, los mapas se generalizan en funciones multivaluadas y no están definidos de forma única en todas partes) y el sistema puede estar sujeto a una bifurcación .

Sistemas caóticos y cuánticos

Por último, pero no menos importante, existen sistemas caóticos (es decir, típicamente deterministas pero no predecibles) como por ejemplo:

• dinámica compleja
• dinámica hiperbólica
• caos multiplicativo ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}
• caos no determinista ^{[ 37 ] [ 38 ]}

Y sistemas cuánticos (es decir, deterministas hasta que se miden), o sistemas caóticos cuánticos . ^{[ 6 ]}

Supongamos que X es un conjunto no vacío cuyos elementos se denominan estados. Supongamos una transformación general: $${\displaystyle T:X\to X}$$

Es posible interpretar X como un espacio de estados y T como la evolución entre estados. ^{[ 39 ]} Agregar diferentes estructuras en T y en X permite modelar diferentes propiedades del sistema dinámico.

Es posible modelar la evolución temporal:${\displaystyle {\hat {T}}}$puede ser un semigrupo con un parámetro${\displaystyle t}$ llamado tiempo que también pertenecerá a un semigrupo como${\displaystyle N(t>0)}$en el caso de tiempo discreto,${\displaystyle R^{+}(t>0)}$en el caso de tiempo continuo.

Una estructura de semigrupo introduce asociatividad $${\displaystyle {\hat {T_{1}}}({\hat {T_{2}}}{\hat {T_{3}}})=({\hat {T_{1}}}{\hat {T_{2}}}){\hat {T_{3}}}}$$ lo que implica una ley de composición entre diferentes evoluciones temporales: ^{[ 40 ]}$${\displaystyle {\hat {T}}(t_{1}+t_{2})={\hat {T}}(t_{1}){\hat {T}}(t_{2})}$$ Esto también es, en última instancia, un homomorfismo .

Es posible definir un origen del tiempo.${\displaystyle t=0}$añadir una identidad al semigrupo $${\displaystyle {\hat {T}}(0)=\mathbf {1} }$$ y finalmente también es posible modelar la evolución temporal reversible: T puede ser un grupo como${\displaystyle \mathbf {Z} }$o${\displaystyle R}$y siendo un grupo, de hecho tiene una definición de transformaciones inversas: ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \exists$$ !{\hat {T}}^{-1}:{\hat {T}}^{-1}={\hat {T}}(-t),{\hat {T}}(-t){\hat {T}}(t)=\mathbf {1} }

Lo más común es que existan varias clases de definiciones para un sistema dinámico: una primera está motivada por ecuaciones diferenciales ordinarias y tiene un carácter geométrico, además de una estructura de diferenciabilidad ; una segunda está motivada por la teoría ergódica y tiene un carácter de teoría de la medida, además de una estructura topológica ; y una última está motivada por la teoría de categorías y tiene un carácter más abstracto .

En la definición geométrica, un sistema dinámico es la tupla${\displaystyle \langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle }$.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es el dominio del tiempo; hay muchas opciones, generalmente los números reales o los enteros, posiblemente restringidos a ser no negativos.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$es una variedad y, por lo general, pero no siempre, f es una regla de evolución t  → f ^t (con  ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}$) tal que f  ^t es un difeomorfismo de la variedad en sí misma. ^{[ 42 ]}

Normalmente, el colector presenta alguna estructura adicional:

1. Al ser localmente un espacio de Banach , esto permite utilizar técnicas estándar de análisis funcional .
2. Una estructura simpléctica , que es el caso típico para un espacio de fases.
3. Un espacio euclidiano como el espacio de configuración debido a restricciones holonómicas
4. Una estructura discreta como un grafo .
5. Un conjunto de difeomorfismos como transformaciones de coordenadas
6. Un tensor métrico como en una variedad de Riemann.

Sistema dinámico real

Un sistema dinámico real , un sistema dinámico en tiempo real , un sistema dinámico en tiempo continuo o un flujo es una tupla ( T , M , Φ) donde T es un intervalo abierto en los números reales R , M es una variedad típicamente, pero no necesariamente, localmente homeomorfa a un espacio de Banach , y Φ es una función continua . ^{[ 43 ]}

El hecho de ser localmente homeomorfo a un espacio de Banach permite utilizar teoremas de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales, ^{[ 44 ]} y operadores lineales, ^{[ 45 ]} y esto lo hace análogo a la definición clásica basada en un sistema de ecuaciones diferenciales.

Diferenciabilidad

Si Φ es continuamente diferenciable, el sistema se denomina sistema dinámico diferenciable . Por lo tanto, la función f es una aplicación "suave" del dominio del tiempo.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$en el espacio de difeomorfismos de la variedad en sí misma. En otras palabras, f ( t ) es un difeomorfismo , para cada instante t en el dominio${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ La variedad M es entonces típicamente localmente difeomorfa a un espacio de Banach . ^{[ 46 ]}

Dimensionalidad

Si la variedad M es localmente difeomorfa a R ⁿ , el sistema dinámico es de dimensión finita ; de lo contrario, el sistema dinámico es de dimensión infinita . ^{[ 47 ]}

Flujos

Cuando T se toma como los números reales, el sistema dinámico se llama global o flujo ; y si T se restringe a los números reales no negativos, entonces el sistema dinámico es un semiflujo .

Definición clásica

La definición geométrica moderna presupone un mapa que proporciona una descripción explícita del sistema dinámico, lo cual está motivado por la teoría ergódica , las ecuaciones diferenciales parciales y las técnicas matemáticas que van más allá de las ecuaciones diferenciales. A menudo no se dispone de una descripción explícita; la definición geométrica clásica es implícita, tiene sus raíces en la mecánica clásica y se basa en un conjunto estándar de ecuaciones diferenciales ordinarias y un conjunto finito de grados de libertad .

 La totalidad de los estados de movimiento se puede establecer en correspondencia biunívoca con los puntos, P, de una variedad cerrada n-dimensional, M, de tal manera que para coordenadas adecuadas${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$Las ecuaciones diferenciales del movimiento se pueden escribir de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=u_{i}(x_{1},...,x_{n},t);(i=1,...,n)}$$ Puede haber diferentes condiciones de regularidad para las funciones${\displaystyle u_{i}}$como ser diferenciable o analítico . ^{[ 48 ]}

Esta definición implica la existencia y unicidad de soluciones para dichas ecuaciones.

Sistema dinámico lagrangiano

También es posible formular la definición geométrica en términos de un principio variacional :

 Sea M una variedad diferenciable , TM su fibrado tangente y${\displaystyle L:TM\to \mathbb {R} }$una función diferenciable . Un mapa${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {R} \to M} se denomina movimiento en el sistema lagrangiano, con variedad de configuración M y lagrangiano L, si${\displaystyle \gamma }$es un extremo del funcional:

$${\displaystyle \Phi (\gamma )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(\gamma ,{\dot {\gamma }})dt}$$ dónde${\displaystyle {\dot {\gamma }}\in TM_{\gamma (t)}}$se denomina vector de velocidad. ^{[ 50 ]}

Sistema dinámico hamiltoniano

De forma dual al lagrangiano, es posible utilizar una formulación hamiltoniana que incluya una estructura de variedad simpléctica o de Poisson en el espacio de fases . ^{[ 51 ]}

Sistemas no integrables

Para ser exhaustivos, también existen sistemas que normalmente no son integrables, como los sistemas disipativos , los sistemas no holonómicos y los sistemas que tienen una estructura de variedad de contacto, por ejemplo, sistemas que tienen una condición de contorno de no deslizamiento (es decir, alguna restricción sobre la velocidad en el contorno).

Un sistema dinámico puede definirse formalmente como la terna ( T ,${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$, Φ), donde Φ es una transformación que preserva la medida de un espacio de medida.${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$, Φ también es la acción de un semigrupo T como caso general. Aquí el espacio de medida${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$se define mediante la terna ( X , Σ, μ ), donde X es un conjunto , Σ es un álgebra sigma en X y μ es una medida finita en el espacio medible ( X , Σ ). A menudo${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$es un espacio de probabilidad , es decir, un espacio de medida donde la medida total del espacio completo es 1, en otras palabras con una medida de probabilidad finita y normalizada . ^{[ 54 ] [ 55 ]}

Se dice que una aplicación Φ: X → X es Σ-medible si y solo si, para cada σ en Σ, se tiene${\displaystyle \Phi ^{-1}\sigma \in \Sigma }$Se dice que una aplicación Φ preserva la medida si y solo si, para cada σ en Σ, se tiene${\displaystyle \mu (\Phi ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$. Combinando lo anterior, se dice que una aplicación Φ es una transformación que preserva la medida de X , si es una aplicación de X a sí misma, es Σ-medible y preserva la medida.

El triplete ( T ,${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$, Φ), con ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=}$( X , Σ, μ ) para tal Φ, se define entonces como un sistema dinámico que preserva la medida . ^{[ 56 ] [ 57 ]}

De manera informal y heurística desde la perspectiva de un teorema ergódico, los promedios temporales son iguales a los promedios espaciales / promedios de conjunto . En última instancia [ 65 ], los promedios temporales son constantes de movimiento , corresponden a simetrías debido al teorema de Noether , y en última instancia, las simetrías corresponden a promedios espaciales [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ].

Heurísticamente, la disipación tiene un efecto opuesto al caos; tiende a amortiguar y limitar el movimiento en general, pero también amortigua la turbulencia y el caos . Expandirse a una región finita del espacio de fases significa ser sensible a las condiciones iniciales . Los regímenes ergódicos tienden a crecer y cubrir completamente una región finita del espacio de fases , es decir, a tener órbitas periódicas densas , y los regímenes caóticos también son topológicamente transitivos [ 72 ].

Estas técnicas suelen ser de naturaleza topológica y complementarias a la dinámica ergódica , a la simetría y a la integral de movimientos mediante el teorema de Noether . Por ejemplo, uno de los objetivos de la dinámica topológica es clasificar las clases de conjugación topológica , agrupaciones de tipos de movimientos con respecto a una clase de equivalencia de homeomorfismo ; uno de los objetivos de la teoría ergódica es la descomposición ergódica ; uno de los objetivos de la simetría es clasificar todas las clases de conjugación de grupos del grupo de automorfismos ; y un sistema integrable es aquel en el que se pueden derivar y se conocen todas las integrales de movimientos .

Como ejemplo, en un sistema dinámico topológico, la órbita límite de un atractor está contenida dentro de la propia variedad. Esta afirmación no es trivial por varias razones: las órbitas límite pueden no alcanzarse nunca; las órbitas límite pueden tener medida de Lebesgue cero; asignar una probabilidad a una órbita límite no sería trivial; un atractor también puede tener múltiples órbitas límite y la distinción entre diferentes compactificaciones puede ser relevante.

El concepto de evolución en el tiempo es fundamental para la teoría de sistemas dinámicos, como se vio en las secciones anteriores: la razón básica de esto es que la motivación inicial de la teoría fue el estudio del comportamiento temporal de los sistemas mecánicos clásicos . Pero un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias debe resolverse antes de que se convierta en un sistema dinámico. Por ejemplo, consideremos un problema de valor inicial como el siguiente: $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t=0}={\boldsymbol {x}}_{0}}$$ dónde

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}}$representa la velocidad del punto material x
• M es una variedad de dimensión finita.
• v : T × M → TM es un campo vectorial en R ⁿ o C ⁿ y representa el cambio de velocidad inducido por las fuerzas conocidas que actúan sobre el punto material dado en el espacio de fases M . El cambio no es un vector en el espacio de fases M , sino que está en el espacio tangente TM . 

No es necesario incluir derivadas de orden superior en la ecuación, ni el parámetro t en v ( t , x ), ya que estos pueden eliminarse considerando sistemas de dimensiones superiores.

Dependiendo de las propiedades de este campo vectorial, el sistema mecánico se denomina

• autónomo , cuando v ( t , x ) = v ( x )
• homogéneo cuando v ( t , 0 ) = 0 para todo t

La solución se puede encontrar utilizando técnicas estándar de ecuaciones diferenciales ordinarias y se denota como la función de evolución ya introducida anteriormente. $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})}$$

El sistema dinámico es entonces ( T , M , Φ).

Una manipulación formal del sistema de ecuaciones diferenciales mostrado anteriormente proporciona una forma más general de ecuaciones que debe satisfacer un sistema dinámico. $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})=0\qquad \Leftrightarrow \qquad {\mathfrak {G}}\left(t,\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})\right)=0}$$ dónde${\displaystyle {\mathfrak {G}}:{{(T\times M)}^{M}}\to \mathbf {C} }$es un funcional del conjunto de funciones de evolución al campo de los números complejos.

Esta ecuación resulta útil al modelar sistemas mecánicos con restricciones complejas.

Muchos de los conceptos de los sistemas dinámicos pueden extenderse a variedades de dimensión infinita —aquellas que son espacios de Banach locales— en cuyo caso las ecuaciones diferenciales son ecuaciones diferenciales parciales .

Un sistema dinámico discreto se da cuando el tiempo, el espacio o ambos son discretos. Típicamente, tanto para el espacio como para el tiempo, existe un conjunto finito o numerable de puntos, funciones y operadores acotados que pueden manipularse en una computadora, dadas ciertas suposiciones generales sobre los límites .

Matemáticas y física aplicadas

En el contexto de las matemáticas aplicadas, como la física , la biología o la ingeniería , el punto de partida suele ser una ecuación de diferencias finitas ^{[ 91 ],} como la más simple posible que se muestra aquí: $${\displaystyle y_{t+1}=ax_{t}+b}$$

De forma más general, esto se puede generalizar en un mapa discreto genérico de una variedad n-dimensional a sí misma: $${\displaystyle y_{t+1}^{i}=f_{t}^{i}(x_{1},..,x_{n}),i=1,...,n}$$

En el contexto de los flujos hamiltonianos , ^{[ 92 ]} el movimiento en sí mismo puede considerarse una transformación canónica (es decir, en última instancia, un mapa ) y, por lo tanto, un conjunto discreto de estas en un intervalo de tiempo discreto.${\displaystyle \Delta t}$es nuevamente una forma de caracterización del sistema dinámico discreto completo.

También hay casos de órbitas densas, ^{[ 93 ]} donde en esencia el espacio de fase del estado no es compacto , y operadores no acotados , como en mecánica cuántica , donde los mapas de evolución no son compactos .

Un ejemplo de esto es la predicción meteorológica de la Tierra, donde los puntos de datos están separados espacialmente. El sistema se puede representar en una red y se pueden usar fórmulas para calcular y predecir ciertas variables, como en el caso de la discretización de las ecuaciones de Navier-Stokes .

Cascadas

Los sistemas dinámicos discretos también se denominan cascadas cuando predomina el concepto de transferencia de información de un paso al siguiente. Ejemplos típicos son las avalanchas ^{[ 94 ] [ 95 ]} y las cascadas de duplicación de período ^{[ 96 ]} . Cuando T se define como los números enteros, se trata de una cascada o una aplicación . Si T se restringe a los enteros no negativos, el sistema se denomina semicascada ^{[ 97 ]} .

Los sistemas dinámicos lineales son fundamentales en cualquier programa de ingeniería y teoría de sistemas . Históricamente, hasta la década de 1970, los sistemas lineales reflejaban la mayor parte de la teoría de sistemas en su conjunto (es decir, antes de la disponibilidad generalizada de las computadoras). Incluyen las características básicas de cualquier sistema dinámico, como la atenuación, la saturación y la oscilación , y, al menos localmente, también pueden aproximar cualquier sistema no lineal.

Los sistemas dinámicos lineales pueden resolverse en términos de funciones simples como exponenciales y funciones trigonométricas simples (es decir, exponenciales complejas), y el comportamiento de todas las órbitas puede clasificarse.

En un sistema lineal, el espacio de fases es el espacio euclidiano N -dimensional, por lo que cualquier punto en el espacio de fases puede representarse mediante un vector con N números. Los sistemas dinámicos lineales N-dimensionales tampoco son caóticos .

El análisis de sistemas lineales también se simplifica y es posible porque satisfacen un principio de superposición : si u ( t ) y w ( t ) satisfacen una ecuación diferencial lineal que describe un sistema, entonces también lo hará una combinación lineal.${\displaystyle \alpha u(t)+\beta w(t)}$Mediante la superposición es posible generar nuevas soluciones a partir de las ya conocidas, por lo que basta con clasificar las soluciones fundamentales para conocerlas todas.

Flujos

Para un flujo , el campo vectorial v( x ) es una función afín de la posición en el espacio de fases, es decir, $${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$$ donde A es una matriz, b un vector de números y x el vector de posición. La solución a este sistema se puede encontrar utilizando el principio de superposición (linealidad). El caso b  ≠  0 con A  =  0 es simplemente una línea recta en la dirección de b :  $${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$$

Cuando b es cero y A  ≠  0 el origen es un punto de equilibrio (o singular) del flujo, es decir, si x ₀  =  0, entonces la órbita permanece allí. Para otras condiciones iniciales, la ecuación de movimiento viene dada por la exponencial de una matriz : para un punto inicial x ₀ , $${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$$

Cuando b = 0, los autovalores de A determinan la estructura del espacio de fases. A partir de los autovalores y los autovectores de A, es posible determinar si un punto inicial convergerá o divergirá hacia el punto de equilibrio en el origen.

La distancia entre dos condiciones iniciales diferentes en el caso A  ≠  0 cambiará exponencialmente en la mayoría de los casos, ya sea convergiendo exponencialmente rápido hacia un punto o divergiendo exponencialmente rápido. Los sistemas lineales muestran una dependencia sensible de las condiciones iniciales en el caso de divergencia. Para los sistemas no lineales, esta es una de las condiciones (necesarias pero no suficientes) para el comportamiento caótico .

Cuando el mapa de evolución Φ ^t (o el campo vectorial del que se deriva) depende de un parámetro μ, la estructura del espacio de fases también dependerá de este parámetro. Pequeños cambios pueden no producir cambios cualitativos en el espacio de fases hasta que se alcanza un valor especial μ _0. En este punto, el espacio de fases cambia cualitativamente y se dice que el sistema dinámico ha experimentado una bifurcación.

La teoría de bifurcaciones considera una estructura en el espacio de fases (típicamente un punto fijo , una órbita periódica o un toro invariante ) y estudia su comportamiento en función del parámetro μ . En el punto de bifurcación, la estructura puede cambiar su estabilidad, dividirse en nuevas estructuras o fusionarse con otras. Mediante aproximaciones de series de Taylor de los mapas y la comprensión de las diferencias que pueden eliminarse con un cambio de coordenadas, es posible catalogar las bifurcaciones de los sistemas dinámicos. 

Las bifurcaciones de un punto fijo hiperbólico x₀ de una familia de sistemas _{Fμ se} pueden caracterizar por los autovalores de la primera derivada del sistema _DFμ ( x₀ ) calculados en el punto de bifurcación. Para una aplicación, la bifurcación ocurrirá cuando existan autovalores de DFμ en el círculo unitario. Para un flujo _, ocurrirá cuando existan autovalores en el eje imaginario. Para más información, consulte el artículo principal sobre _la teoría de bifurcaciones .

Algunas bifurcaciones pueden dar lugar a estructuras muy complejas en el espacio de fases. Por ejemplo, el escenario de Ruelle-Takens describe cómo una órbita periódica se bifurca en un toroide y este, a su vez, en un atractor extraño . En otro ejemplo, la duplicación de periodo de Feigenbaum describe cómo una órbita periódica estable experimenta una serie de bifurcaciones de duplicación de periodo .

En muchos sistemas dinámicos, es posible elegir las coordenadas del sistema de modo que el volumen (en realidad un volumen ν-dimensional) en el espacio de fases sea invariante. Esto ocurre en sistemas mecánicos derivados de las leyes de Newton siempre que las coordenadas sean la posición y el momento y el volumen se mida en unidades de (posición)  ×  (momento). El flujo transforma puntos de un subconjunto A en los puntos Φ ^t ( A ) y la invariancia del espacio de fases significa que  $${\displaystyle \mathrm {vol} (A)=\mathrm {vol} (\Phi ^{t}(A)).}$$ En el formalismo hamiltoniano , dada una coordenada, es posible derivar el momento (generalizado) apropiado de manera que el volumen asociado se conserve durante el flujo. Se dice que el volumen se calcula mediante la medida de Liouville .

En un sistema hamiltoniano, no todas las configuraciones posibles de posición y momento se pueden alcanzar a partir de una condición inicial. Debido a la conservación de la energía, solo son accesibles los estados con la misma energía que la condición inicial. Estos estados con la misma energía forman una capa de energía Ω, una subvariedad del espacio de fases. El volumen de la capa de energía, calculado mediante la medida de Liouville, se conserva durante la evolución.

Para sistemas donde el volumen se conserva mediante el flujo, Poincaré descubrió el teorema de recurrencia : Supongamos que el espacio de fases tiene un volumen de Liouville finito y sea F una aplicación que conserva el volumen del espacio de fases y A un subconjunto de dicho espacio. Entonces, casi todos los puntos de A regresan a A infinitas veces. Zermelo utilizó el teorema de recurrencia de Poincaré para refutar la derivación de Boltzmann del aumento de entropía en un sistema dinámico de átomos en colisión.

Una de las cuestiones planteadas por el trabajo de Boltzmann fue la posible igualdad entre los promedios temporales y los promedios espaciales, lo que él denominó la hipótesis ergódica . Esta hipótesis establece que la duración del tiempo que una trayectoria típica permanece en una región A es vol( A )/vol(Ω).

La hipótesis ergódica no resultó ser la propiedad esencial necesaria para el desarrollo de la mecánica estadística y se introdujeron una serie de otras propiedades similares a la ergódica para capturar los aspectos relevantes de los sistemas físicos. Koopman abordó el estudio de los sistemas ergódicos mediante el uso del análisis funcional . Una observable a es una función que asocia a cada punto del espacio de fases un número (por ejemplo, la presión instantánea o la altura media). El valor de una observable se puede calcular en otro momento utilizando la función de evolución φ  ^t . Esto introduce un operador U ^t , el operador de transferencia ,  $${\displaystyle (U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).}$$

Al estudiar las propiedades espectrales del operador lineal U, es posible clasificar las propiedades ergódicas de  Φ ^t . Al utilizar el enfoque de Koopman de considerar la acción del flujo sobre una función observable, el problema no lineal de dimensión finita que involucra a Φ ^t se transforma en un problema lineal de dimensión infinita que involucra a U .   

La medida de Liouville, restringida a la superficie de energía Ω, es la base de los promedios calculados en la mecánica estadística de equilibrio . Un promedio en el tiempo a lo largo de una trayectoria es equivalente a un promedio en el espacio calculado con el factor de Boltzmann exp(−β H ) . Esta idea fue generalizada por Sinai, Bowen y Ruelle (SRB) a una clase más amplia de sistemas dinámicos que incluye sistemas disipativos. Las medidas SRB reemplazan al factor de Boltzmann y se definen en los atractores de sistemas caóticos.

Los sistemas dinámicos algebraicos pueden considerarse un caso algebraico especial de la definición geométrica clásica. Esto se basa en una función de evolución temporal algebraica como acción de grupo o, implícitamente, como un sistema de ecuaciones algebraicas en lugar de ecuaciones diferenciales ordinarias . Desde una perspectiva de la teoría de la medida , la variedad es un espacio de medida , una variedad , un grupo algebraico y un grupo topológico ; el enfoque se centra entonces en las simetrías y el comportamiento de la teoría ergódica . Estos sistemas se estudian frecuentemente con métodos del álgebra abstracta , la geometría algebraica y la teoría de Galois .

En el contexto de la teoría cuántica de campos algebraica, el espacio de medidas puede ser un álgebra C* , es decir, los observables no son solo álgebras de funciones ^{[ 99 ]} sino un álgebra de operadores , y esto se trata junto con un grupo de calibre global (es decir, un grupo de restricciones que deja el observable invariante). ^{[ 100 ]}

En el contexto del aprendizaje automático, la propia red neuronal (por ejemplo , red neuronal recursiva , modelos de difusión ) puede tratarse como un conjunto de ecuaciones algebraicas (a menudo se trata de aproximaciones finitas como el descenso de gradiente , existe un concepto de paso de tiempo , dinámicas de evolución a través de la red y, finalmente, existe un conjunto separado de restricciones algebraicas como la imposición de comportamientos no deseados. ^{[ 101 ] [ 102 ]}

En el contexto de la geometría y la teoría de números , normalmente se estudian las iteraciones de una aplicación racional sobre campos numéricos específicos ; esta área se llama dinámica algebraica, ^{[ 103 ]} estudia cosas como los puntos racionales de curvas algebraicas y está profundamente conectada con la dinámica aritmética.

Un ejemplo de ello es el mapa de Poncelet , donde un punto se mueve en pasos sucesivos entre dos cónicas dadas , y las ecuaciones son algebraicas (es decir, tangentes e intersecciones). Otro ejemplo puede ser un billar con un borde que es una curva algebraica , como un billar elíptico; en este caso, la dinámica se define mediante reflexiones. ^{[ 104 ]}

Cabe destacar que las curvas algebraicas son diferenciables en casi todas partes (salvo en un número finito de puntos), por lo que pueden estudiarse mediante métodos analíticos. En estos dos ejemplos, la dinámica continua es lineal a trozos, los eventos importantes suelen ser discretos, aunque pueden constituir un conjunto infinito o incluso medible (como una trayectoria ergódica en el billar), y se dan cuando se aplica una ecuación algebraica (como una reflexión en un borde). Por consiguiente, estos sistemas también pueden estudiarse como sistemas dinámicos discretos.

La dinámica efectiva consiste en simplificar las ecuaciones de movimiento que describen un sistema a una escala determinada o un comportamiento específico, eliminando generalmente ciertos grados de libertad . En lugar de resolver el microestado , es decir, las interacciones exactas de todos los átomos, moléculas o nodos de la red neuronal, la dinámica efectiva modela una fuerza, energía o conjunto de parámetros y ecuaciones "efectivas" que describen el efecto global.

La dinámica efectiva suele surgir de la simplificación o especialización de fenómenos no lineales complejos. Una forma importante de lograrlo es mediante promedios de conjunto , lo que la vincula profundamente con la teoría ergódica y el grupo de renormalización . Un aspecto clave de la dinámica efectiva es el concepto de emergencia , como por ejemplo: la emergencia de comportamiento lineal a partir de ecuaciones no lineales, como en los solitones , o la emergencia lineal a partir de promedios de conjunto ; la emergencia de orden y grados de libertad en transiciones de fase , como en la teoría de Landau ; y la emergencia de patrones de números primos en la dinámica de percolación .

Ejemplos de estos enfoques son las teorías de campo efectivas, las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas de Reynolds (RANS), los sistemas cuánticos desordenados, ^{[ 105 ]} la termodinámica y las transiciones de fase.

En el período comprendido entre 2000 y 2020, la teoría de categorías se ha aplicado a la teoría de sistemas (por ejemplo, a sistemas abiertos y subsistemas) ^{[ 106 ]} y a sistemas dinámicos. ^{[ 107 ] [ 108 ] [ 109 ]} La motivación es estudiar propiedades comunes entre sistemas dinámicos, sistemas dinámicos topológicos (es decir, con espacio de estados compacto) y sistemas dinámicos que preservan la medida (por ejemplo, sistemas hamiltonianos). ^{[ 110 ]} También es posible establecer una analogía entre la teoría de la representación de grupos (como las representaciones irreducibles ) y la descomposición ergódica ^{[ 111 ]} , es decir, que toda medida invariante (es decir, conservativa ) es una mezcla de medidas ergódicas, de forma análoga al teorema del límite central . En última instancia, esto puede compararse con el teorema fundamental de la aritmética y con la descomposición de números primos. ^{[ 112 ]}

• Curso de dominio público sobre sistemas dinámicos de Harvard
• El servidor de preimpresiones Arxiv recibe diariamente manuscritos (no revisados ​​por pares) sobre sistemas dinámicos.
• Enciclopedia de sistemas dinámicos. Forma parte de Scholarpedia : revisada por pares y escrita por expertos invitados.
• Dinámica no lineal . Modelos de bifurcación y caos por Elmer G. Wiens
• Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (septiembre de 2003) proporciona definiciones, explicaciones y recursos relacionados con la ciencia no lineal.

Libros en línea o apuntes de clase

• Teoría geométrica de sistemas dinámicos . Apuntes de clase de Nils Berglund para un curso de nivel avanzado de pregrado en la ETH .
• Sistemas dinámicos . El libro de George D. Birkhoff de 1927 ya adopta un enfoque moderno de los sistemas dinámicos.
• Caos: clásico y cuántico . Una introducción a los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la órbita periódica.
• Aprendiendo sistemas dinámicos . Tutorial sobre el aprendizaje de sistemas dinámicos.
• Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Apuntes de clase de Gerald Teschl.

Grupos de investigación

• Grupo de Sistemas Dinámicos de Groningen , IWI, Universidad de Groningen.
• Chaos @ UMD . Se centra en las aplicaciones de los sistemas dinámicos.
• , SUNY Stony Brook. Listados de conferencias, investigadores y algunos problemas abiertos.
• Centro de Dinámica y Geometría , Penn State.
• Sistemas de Control y Dinámicos , Caltech.
• Laboratorio de Sistemas No Lineales , Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL).
• Centro de Sistemas Dinámicos , Universidad de Bremen
• Grupo de Análisis, Modelado y Predicción de Sistemas , Universidad de Oxford
• Grupo de Dinámica No Lineal , Instituto Superior Técnico, Universidad Técnica de Lisboa
• Sistemas Dinámicos Archivado el 2 de junio de 2017 en Wayback Machine , IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.
• Grupo de trabajo sobre dinámica no lineal. Archivado el 21/01/2015 en Wayback Machine , Instituto de Informática, Academia Checa de Ciencias.
• Grupo de Sistemas Dinámicos de la UPC Barcelona , ​​Universidad Politécnica de Cataluña.
• Centro de Control, Sistemas Dinámicos y Computación , Universidad de California, Santa Bárbara.