Circuito RC

Un circuito RC ( o filtro RC o red RC ) es un circuito eléctrico compuesto por resistencias y condensadores . Puede ser alimentado por una fuente de voltaje o corriente , lo que produce respuestas diferentes. Un circuito RC de primer orden, compuesto por una resistencia y un condensador, es el tipo más simple de circuito RC.

Los circuitos RC se pueden usar para filtrar una señal bloqueando ciertas frecuencias y dejando pasar otras. Los dos filtros RC más comunes son los filtros de paso alto y los filtros de paso bajo ; los filtros de paso de banda y los filtros de rechazo de banda generalmente requieren filtros RLC , aunque se pueden construir filtros sencillos con filtros RC.

Respuesta natural

El circuito RC más simple consiste en una resistencia R $y$ un condensador cargado $C$ conectados entre sí en un solo bucle, sin una fuente de voltaje externa. El condensador descargará su energía almacenada a través de la resistencia. Si $V (t)$ se considera el voltaje de la placa superior del condensador con respecto a su placa inferior en la figura, entonces la relación corriente-voltaje del condensador indica que la corriente $I (t)$ que sale de la placa superior del condensador será igual $a C$ multiplicada por la derivada temporal negativa de $V (t)$ . La ley de corrientes de Kirchhoff establece que esta corriente es la misma que entra por la parte superior de la resistencia, que según la ley de Ohm es igual a $V (t)/ R$ . Esto da como resultado una ecuación diferencial lineal. $\overbrace {C{\frac {-\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}} ^{\text{corriente del condensador}}=\overbrace {\frac {V(t)}{R}} ^{\text{corriente del resistor}},$ que se puede reorganizar según la forma estándar para la desintegración exponencial : ${\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{RC}}V(t).$ Esto significa que la tasa instantánea de disminución de voltaje en cualquier momento es proporcional al voltaje en ese momento. Al resolver para $V (t)$ se obtiene una curva de decaimiento exponencial que se aproxima asintóticamente a 0: $V(t)=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}},$ donde $V 0$ es el voltaje del condensador en el tiempo $t = 0$ y $e$ es el número de Euler .

The time required for the voltage to fall to $V 0 / e$ is called the RC time constant and is given by^[1] $\tau =RC.$ When using the International System of Units, $R$ is in ohms, and $C$ is in farads, so $τ$ will be in seconds. At any time $N \cdotτ$ , the capacitor's charge or voltage will be $1/ e N$ of its starting value. So if the capacitor's charge or voltage is said to start at 100%, then 36.8% remains at $1\cdotτ$ , 13.5% remains at $2\cdotτ$ , 5% remains at $3\cdotτ$ , 1.8% remains at $4\cdotτ$ , and less than 0.7% remains at $5\cdotτ$ and later.

The half-life ( $t 1/2$ ) is the time that it takes for its charge or voltage to be reduced in half:^[2] ${\frac {1}{2}}=e^{-{\tfrac {t_{1/2}}{\tau }}}\quad \Rightarrow \quad t_{1/2}=\ln(2)\,\tau \approx {\text{0.693}}\,\tau .$ For example, 50% of charge or voltage remains at time $1\cdot t 1/2$ , then 25% remains at time $2\cdot t 1/2$ , then 12.5% remains at time $3\cdot t 1/2$ , and $1/2 N$ will remain at time $N \cdot t 1/2$ .

RC discharge calculator

0.000001

1000000

1

.368

36.8

1

0.368

11

1

0.159

1

For instance, 1 of resistance with 1 of capacitance produces a time constant of approximately 1seconds. This $τ$ corresponds to a cutoff frequency of approximately 159millihertz or 1radians per second. If the capacitor has an initial voltage $V 0$ of 1, then after 1 $τ$ (approximately 1seconds or 1.443 half-lives), the capacitor's voltage will discharge to approximately 368millivolts:

V C

(1τ) ≈ 36.8% of

V 0

Complex impedance

El comportamiento del circuito RC se presta bien al análisis en el dominio de Laplace , del cual el resto de este artículo requiere una comprensión básica. El dominio de Laplace es una representación en el dominio de la frecuencia que utiliza frecuencias complejas $s$ , que (en general) son números complejos : $s=\sigma +j\omega ,$ dónde

j

representa la unidad imaginaria :

j 2 = -1

,

σ

es la constante de decaimiento exponencial (igual a

-1/(RC)

en este caso),

ω

es la frecuencia angular sinusoidal .

Al evaluar ecuaciones de circuitos en el dominio de Laplace, los elementos de circuito dependientes del tiempo de capacitancia e inductancia pueden tratarse como resistencias con impedancia de valor complejo en lugar de resistencia real . Mientras que la impedancia compleja $Z R$ de una resistencia es simplemente un valor real igual a su resistencia $R$ , la impedancia compleja de un condensador $C$ es en cambio $Z_{C}={\frac {1}{Cs}}.$

Circuito en serie

Actual

La ley de corrientes de Kirchhoff significa que la corriente en un circuito en serie es necesariamente la misma a través de ambos elementos. La ley de Ohm dice que esta corriente es igual a la tensión de entrada. $V_{\mathrm {en} }$ dividido por la suma de la impedancia compleja del condensador y la resistencia:

{\begin{aligned}I(s)&={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}\\&={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}

Voltaje

Al considerar el circuito como un divisor de voltaje , el voltaje a través del condensador es:

{\begin{aligned}V_{C}(s)&={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\end{aligned}}

y el voltaje a través de la resistencia es:

{\begin{aligned}V_{R}(s)&={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}

Funciones de transferencia

La función de transferencia desde el voltaje de entrada al voltaje a través del condensador es

H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.

De manera similar, la función de transferencia desde la entrada hasta el voltaje a través de la resistencia es

H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.

Polos y ceros

Ambas funciones de transferencia tienen un único polo ubicado en

s=-{\frac {1}{RC}}\,.

Además, la función de transferencia para el voltaje a través de la resistencia tiene un cero ubicado en el origen .

Consideraciones en el dominio de la frecuencia

El estado estacionario sinusoidal es un caso especial de frecuencia compleja que considera que la entrada consiste únicamente en sinusoides puras. Por lo tanto, el componente de decaimiento exponencial representado por $\sigma$ puede ignorarse en la ecuación de frecuencia compleja $s{=}\sigma {+}j\omega$ cuando solo interesa el estado estacionario. La simple sustitución de $s\Rightarrow j\omega$ Al incorporar las funciones de transferencia anteriores, se obtendrá la ganancia sinusoidal y la respuesta de fase del circuito.

Ganar

La magnitud de las ganancias en los dos componentes es

G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}

y

G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,

Cuando la frecuencia se vuelve muy grande ( $ω \to \infty$ ), el condensador actúa como un cortocircuito, por lo que:

G_{C}\to 0\quad {\mbox{y}}\quad G_{R}\to 1\,.

Cuando la frecuencia se vuelve muy pequeña ( $ω \to 0$ ), el condensador actúa como un circuito abierto, por lo que:

G_{C}\to 1\quad {\mbox{y}}\quad G_{R}\to 0\,.

Funciona como filtro de paso alto o de paso bajo.

El comportamiento en estas frecuencias extremas demuestra que si la salida se toma a través del condensador, las altas frecuencias se atenúan y las bajas se transmiten, por lo que dicha configuración de circuito es un filtro de paso bajo . Sin embargo, si la salida se toma a través de la resistencia, entonces las altas frecuencias se transmiten y las bajas se atenúan, por lo que dicha configuración es un filtro de paso alto .

Frecuencia de corte

El rango de frecuencias que deja pasar el filtro se llama su ancho de banda . La frecuencia a la que el filtro atenúa la señal a la mitad de su potencia sin filtrar se denomina su frecuencia de corte . Esto requiere que la ganancia del circuito se reduzca a

G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

.

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{o}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}

que es la frecuencia que el filtro atenuará a la mitad de su potencia original.

Fase

Los ángulos de fase son

\phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)

y

\phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.

Cuando $ω \to 0$ :

\phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.

Cuando $ω \to \infty$ :

\phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.

Si bien el desfase de la señal de salida con respecto a la de entrada depende de la frecuencia, esto suele ser menos relevante que las variaciones de ganancia. En CC (0 Hz ), la tensión del condensador está en fase con la tensión de la señal de entrada, mientras que la tensión de la resistencia la adelanta 90°. A medida que aumenta la frecuencia, la tensión del condensador se desfasa 90° con respecto a la señal de entrada y la tensión de la resistencia se alinea con ella.

Representación fasorial

Las expresiones de ganancia y fase se pueden combinar en estas expresiones fasoriales que representan la salida:

{\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}

Respuesta impulsional

La respuesta impulsional para cada voltaje es la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia correspondiente. Representa la respuesta del circuito a un voltaje de entrada que consiste en una función impulsional o delta de Dirac .

La respuesta impulsional para la tensión del condensador es

h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,

donde $u (t)$ es la función escalón de Heaviside y $τ = RC$ es la constante de tiempo .

De manera similar, la respuesta impulsional para el voltaje de la resistencia es

h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,

donde $δ (t)$ es la función delta de Dirac .

Consideraciones en el dominio del tiempo

Esta sección se basa en el conocimiento de la transformada de Laplace .

La forma más sencilla de derivar el comportamiento en el dominio del tiempo es utilizar las transformadas de Laplace de las expresiones para $V C$ y $V R$ dadas anteriormente. Suponiendo una entrada escalón (es decir, $V in = 0$ antes de $t = 0$ y luego $V in = V 1$ después):

{\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}

Las expansiones en fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace dan como resultado:

{\begin{aligned}V_{C}(t)&=V_{1}\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=V_{1}\cdot \left(e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\,.\end{aligned}}

Estas ecuaciones sirven para calcular la tensión en el condensador y la resistencia, respectivamente, mientras el condensador se $carga$ ; para la descarga, las ecuaciones son inversas. Estas ecuaciones se pueden reescribir en términos de carga y corriente utilizando las relaciones $C = Q / V$ y $V$ $=$ $IR$ (véase $la$ ley de Ohm ).

De este modo, la tensión en el condensador tiende a $V₁ con el$ paso del tiempo, mientras que la tensión en la resistencia tiende a 0, como se muestra en las figuras. Esto concuerda con la idea intuitiva de que el condensador se irá cargando con la tensión de alimentación a medida que transcurre el tiempo y, finalmente, estará completamente cargado.

El producto $RC$ es el tiempo que tardan $V C$ y $V R$ en alcanzar un valor cercano $a$ $1$ $/$ $e$ $de$ su valor final. En otras palabras, $RC$ es el tiempo que tarda la tensión en el condensador en subir a $V$ $1$ $\cdot(1 -$ $1$ $/$ $e$ $)$ $o$ la tensión en la resistencia en bajar a $V$ $1$ $\cdot($ $1$ $/$ $e$ $)$ $.$ Esta constante de tiempo RC $se$ representa con la letra tau ( $τ$ $)$ .

The rate of change is a fractional $1 - ⁠ 1 / e ⁠$ per $τ$ . Thus, in going from $t = Nτ$ to $t = (N + 1) τ$ , the voltage will have moved about 63.2% of the way from its level at $t = Nτ$ toward its final value. So the capacitor will be charged to about 63.2% after $τ$ , and is often considered fully charged (>99.3%) after about $5 τ$ . When the voltage source is replaced with a short circuit, with the capacitor fully charged, the voltage across the capacitor drops exponentially with $t$ from $V$ towards 0. The capacitor will be discharged to about 36.8% after $τ$ , and is often considered fully discharged (<0.7%) after about $5 τ$ . Note that the current, $I$ , in the circuit behaves as the voltage across the resistor does, via Ohm's law.

These results may also be derived by solving the differential equations describing the circuit:

{\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}

The first equation is solved by using an integrating factor and the second follows easily; the solutions are exactly the same as those obtained via Laplace transforms.

Integrator

Consider the output across the capacitor at high frequency, i.e.

\omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.

This means that the capacitor has insufficient time to charge up and so its voltage is very small. Thus the input voltage approximately equals the voltage across the resistor. To see this, consider the expression for $I$ given above:

I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,

but note that the frequency condition described means that

\omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,

so

I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}

which is just Ohm's law.

Now,

V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,

so

V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,.

Therefore, the voltage across the capacitor acts approximately like an integrator of the input voltage for high frequencies.

Differentiator

Consider the output across the resistor at low frequency i.e.,

\omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.

This means that the capacitor has time to charge up until its voltage is almost equal to the source's voltage. Considering the expression for $I$ again, when

R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,

so

{\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}

Now,

{\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,.\end{aligned}}

Therefore, the voltage across the resistor acts approximately like a differentiator of the input voltage for low frequencies.

La integración y la diferenciación también se pueden lograr colocando resistencias y condensadores según corresponda en la entrada y el bucle de retroalimentación de los amplificadores operacionales (ver integrador de amplificador operacional y diferenciador de amplificador operacional ).

Circuito paralelo

El circuito RC en paralelo suele ser menos interesante que el circuito en serie. Esto se debe principalmente a que la tensión de salida $V out$ es igual a la tensión de entrada $V in$ ; por lo tanto, este circuito actúa como un filtro para una entrada de corriente en lugar de una entrada de tensión.

Con impedancias complejas:

{\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}

Esto demuestra que la corriente del condensador está desfasada 90° con respecto a la corriente de la resistencia (y de la fuente). Alternativamente, se pueden utilizar las siguientes ecuaciones diferenciales:

{\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}

Cuando se alimenta mediante una fuente de corriente, la función de transferencia de un circuito RC en paralelo es:

{\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.

Síntesis

En ocasiones, es necesario sintetizar un circuito RC a partir de una función racional dada en s . Para que la síntesis sea posible en elementos pasivos, la función debe ser una función real positiva . Para sintetizar como un circuito RC, todas las frecuencias críticas ( polos y ceros ) deben estar en el eje real negativo y alternar entre polos y ceros con igual número de cada uno. Además, la frecuencia crítica más cercana al origen debe ser un polo, suponiendo que la función racional representa una impedancia en lugar de una admitancia.

La síntesis se puede lograr mediante una modificación de la síntesis de Foster o la síntesis de Cauer, utilizadas para sintetizar circuitos LC . En el caso de la síntesis de Cauer, se obtiene una red en escalera de resistencias y capacitores. ^{[ 3 ]}

Véase también

constante de tiempo RC
Circuito RL
circuito LC
Circuito RLC
Red eléctrica
Lista de temas de electrónica
Ruido de Johnson-Nyquist § Ruido térmico en condensadores : proporciona la derivación del ruido kTC causado por una resistencia con un condensador, que es:

V_{\text{rms}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.

Respuesta escalonada

Referencias

↑ Horowitz y Hill, pág. 1.13.
↑ Hanks, Ann; Luttermoser, Donald. "Experimento ELEC-5 del Laboratorio de Física General II (PHYS-2021): Circuitos RC" (PDF) .
↑ Bakshi y Bakshi, págs. 3-30–3-37

Bibliografía

Bakshi, UA; Bakshi, AV, Análisis de circuitos - II , Publicaciones técnicas, 2009 ISBN 9788184315974.
Horowitz, Paul; Hill, Winfield, El arte de la electrónica (3.ª edición), Cambridge University Press, 2015 ISBN 0521809266.

[1] Horowitz y Hill, pág. 1.13.

[2] Hanks, Ann; Luttermoser, Donald. "Experimento ELEC-5 del Laboratorio de Física General II (PHYS-2021): Circuitos RC" (PDF) .

[3] Bakshi y Bakshi, págs. 3-30–3-37

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