Síntesis de redes

La función idealizada prescrita rara vez podrá describirse con exactitud mediante polinomios. Por lo tanto, no es posible sintetizar una red que la reproduzca con precisión. ^{[ 3 ]} Un ejemplo sencillo y común es el filtro de pared de ladrillo . Esta es la respuesta ideal de un filtro de paso bajo , pero su respuesta continua por partes es imposible de representar con polinomios debido a las discontinuidades. Para superar esta dificultad, se encuentra una función racional que se aproxima estrechamente a la función prescrita utilizando la teoría de la aproximación . ^{[ 4 ]} En general, cuanto más precisa se requiera la aproximación, mayor será el grado del polinomio y más elementos se necesitarán en la red. ^{[ 5 ]}

Existen muchos polinomios y funciones que se utilizan en la síntesis de redes para este propósito. La elección depende de qué parámetros de la función prescrita el diseñador desea optimizar. ^{[ 6 ]} Uno de los primeros utilizados fueron los polinomios de Butterworth, que dan como resultado una respuesta lo más plana posible en la banda de paso. ^{[ 7 ]} Una opción común es la aproximación de Chebyshev, en la que el diseñador especifica cuánto puede desviarse la respuesta de la banda de paso del ideal a cambio de mejoras en otros parámetros. ^{[ 8 ]} Existen otras aproximaciones disponibles para optimizar el retardo de tiempo, la adaptación de impedancia , la atenuación y muchos otros requisitos. ^{[ 9 ]}

Dada una función racional, suele ser necesario determinar si dicha función puede realizarse como una red pasiva discreta. Todas estas redes se describen mediante una función racional, pero no todas las funciones racionales pueden realizarse como una red pasiva discreta. ^{[ 10 ]} Históricamente, la síntesis de redes se ocupaba exclusivamente de este tipo de redes. Los componentes activos modernos han hecho que esta limitación sea menos relevante en muchas aplicaciones, ^{[ 11 ]} pero en las frecuencias de radio más altas las redes pasivas siguen siendo la tecnología preferida. ^{[ 12 ]} Existe una propiedad simple de las funciones racionales que predice si la función puede realizarse como una red pasiva. Una vez que se determina que una función es realizable, existen varios algoritmos disponibles que sintetizan una red a partir de ella. ^{[ 13 ]}

Una realización de red a partir de una función racional no es única. La misma función puede realizar muchas redes equivalentes. Se sabe que las transformaciones afines de la matriz de impedancia formada en el análisis de malla de una red son todas matrices de impedancia de redes equivalentes (más información en Filtro analógico §  Realizabilidad y equivalencia ). ^{[ 14 ]} Se conocen otras transformaciones de impedancia , pero si existen más clases de equivalencia por descubrir es una cuestión abierta. ^{[ 15 ]}

Un área importante de investigación en síntesis de redes ha sido encontrar la realización que utiliza el número mínimo de elementos. Esta cuestión no se ha resuelto completamente para el caso general, ^{[ 16 ]} pero existen soluciones para muchas redes con aplicaciones prácticas. ^{[ 17 ]}

La síntesis de Foster, en su forma original, solo se puede aplicar a redes LC. Un PRF representa una red LC de dos tipos de elementos si las frecuencias críticas de${\displaystyle Z(s)}$todos existen en el${\displaystyle i\omega }$eje del plano complejo de${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$(el plano s ) y alternará entre polos y ceros. Debe haber una única frecuencia crítica en el origen y en el infinito, todo lo demás debe estar en pares conjugados . ${\displaystyle Z(s)}$debe ser la razón de un polinomio par y uno impar, y sus grados deben diferir exactamente en uno. Estos requisitos son consecuencia del teorema de reactancia de Foster . ^{[ 55 ]}

Foster I forma

La primera forma de Foster (forma Foster I) sintetiza${\displaystyle Z(s)}$como un conjunto de circuitos LC paralelos en serie. Por ejemplo,

${\displaystyle Z(s)={\frac {9s^{5}+30s^{3}+24s}{18s^{4}+36s^{2}+8}}}$

se puede expandir en fracciones parciales como,

${\displaystyle Z(s)={s \over 2}+{\frac {(25+11{\sqrt {5}})s}{5(9+3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}+{\frac {(25-11{\sqrt {5}})s}{5(9-3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}\approx {s \over 2}+{\frac {2.48s}{3.93s^{2}+1}}+{\frac {0.020s}{0.573s^{2}+1}}}$

El primer término representa un inductor en serie, una consecuencia de${\displaystyle Z(s)}$teniendo un polo en el infinito. Si hubiera tenido un polo en el origen, eso representaría un condensador en serie. Los dos términos restantes representan cada uno pares conjugados de polos en el${\displaystyle i\omega }$eje. Cada uno de estos términos puede sintetizarse como un circuito LC paralelo mediante comparación con la expresión de impedancia para dicho circuito, ^{[ 56 ]}

${\displaystyle Z_{LC}(s)={\frac {Ls}{LCs^{2}+1}}}$

El circuito resultante se muestra en la figura.

Formulario Foster II

Síntesis de la forma Foster II${\displaystyle Z(s)}$como un conjunto de circuitos LC en serie en paralelo. Se utiliza el mismo método de expansión en fracciones parciales que para la forma Foster I, pero aplicado a la admitancia ,${\displaystyle Y(s)}$, en lugar de${\displaystyle Z(s)}$. Utilizando el mismo ejemplo PRF que antes,

${\displaystyle Y(s)={1 \over Z(s)}={\frac {18s^{4}+36s^{2}+8}{9s^{5}+30s^{3}+24s}}}$

Expandido en fracciones parciales,

${\displaystyle Y(s)\simeq {1 \over 3s}+{\frac {2.498s}{0.6346s^{2}+1}}+{\frac {1.415s}{0.4719s^{2}+1}}}$

El primer término representa un inductor en derivación, una consecuencia de${\displaystyle Y(s)}$tener un polo en el origen (o, equivalentemente,${\displaystyle Z(s)}$tiene un cero en el origen). Si hubiera tenido un polo en el infinito, eso representaría un condensador en derivación. Los dos términos restantes representan pares conjugados de polos en el${\displaystyle i\omega }$eje. Cada uno de estos términos puede sintetizarse como un circuito LC en serie por comparación con la expresión de admitancia para dicho circuito, ^{[ 57 ]}

${\displaystyle Y_{LC}(s)={\frac {Cs}{LCs^{2}+1}}}$

El circuito resultante se muestra en la figura.

En la síntesis de Foster anterior, la expansión de la función sigue el mismo procedimiento tanto en la forma Foster I como en la forma Foster II. Resulta conveniente, especialmente en trabajos teóricos, tratarlas conjuntamente como una admitancia en lugar de por separado como una impedancia o una admitancia. Solo es necesario declarar si la función representa una impedancia o una admitancia cuando se requiere implementar un circuito real. La admitancia también puede utilizarse de la misma manera con las formas Cauer I y Cauer II y otros procedimientos. ^{[ 60 ]}

La síntesis de Cauer es una síntesis alternativa a la síntesis de Foster, y las condiciones que debe cumplir un PRF son exactamente las mismas que en la síntesis de Foster. Al igual que la síntesis de Foster, existen dos formas de síntesis de Cauer, y ambas pueden extenderse a redes RC y RL.

Cauer I forma

La forma Cauer I se expande${\displaystyle Z(s)}$en una fracción continua . Usando el mismo ejemplo que se usó para la forma Foster I,

${\displaystyle Z(s)=0,5s+{\cfrac {1}{1,5s+{\cfrac {1}{2s+{\cfrac {1}{1,5s+{\cfrac {1}{0,5s}}}}}}}}}$

o, en notación más compacta,

${\displaystyle Z(s)=[0,5s;1,5s,2s,1,5s,0,5s].}$

Los términos de esta expansión se pueden implementar directamente como los valores de los componentes de una red en escalera, como se muestra en la figura. ^{[ 61 ]} La PRF dada puede tener un denominador con un grado mayor que el numerador. En tales casos, se expande el inverso multiplicativo de la función. Es decir, si la función representa${\displaystyle Z(s)}$, entonces${\displaystyle Y(s)}$se expande en su lugar y viceversa. ^{[ 62 ]}

Forma Cauer II

La forma de Cauer II se expande${\displaystyle Z(s)}$de la misma manera que la forma de Cauer I, excepto que el término de grado más bajo se extrae primero en la expansión de fracción continua en lugar del término de grado más alto como se hace en la forma de Cauer I. ^{[ 63 ]} El ejemplo utilizado para la forma de Cauer I y las formas de Foster cuando se expanden como una forma de Cauer II da como resultado que algunos elementos tengan valores negativos. ^{[ 64 ]} Por lo tanto, esta PRF particular no se puede realizar en componentes pasivos como una forma de Cauer II sin la inclusión de transformadores o inductancias mutuas . ^{[ 65 ]}

La razón esencial por la que el ejemplo${\displaystyle Z(s)}$no se puede realizar como una forma de Cauer II es que esta forma tiene una topología de paso alto . El primer elemento extraído en la fracción continua es un condensador en serie. Esto hace imposible que el cero de${\displaystyle Z(s)}$en el origen para ser realizado. La forma Cauer I, por otro lado, tiene una topología de paso bajo y naturalmente tiene un cero en el origen. ^{[ 66 ]} Sin embargo, el${\displaystyle Y(s)}$de esta función se puede realizar como una forma de Cauer II ya que el primer elemento extraído es un inductor en derivación. Esto da un polo en el origen para${\displaystyle Y(s)}$, pero eso se traduce en el cero necesario en el origen para${\displaystyle Z(s)}$. La expansión fraccionaria continua es,

${\displaystyle Y(s)\simeq \left[{1 \over 3s};{1 \over 1.083s},{1 \over 0.2175s},{1 \over 1.735s}\right]}$

y la red resultante se muestra en la figura.

La síntesis de Brune puede sintetizar cualquier PRF arbitraria, por lo que en general dará como resultado una red de tres elementos (es decir, RLC). Los polos y ceros pueden estar en cualquier lugar de la mitad izquierda del plano complejo. ^{[ 67 ]} El método de Brune comienza con algunos pasos preliminares para eliminar las frecuencias críticas en el eje imaginario, como en el método de Foster. Estos pasos preliminares a veces se denominan preámbulo de Foster . ^{[ 68 ]} Luego hay un ciclo de pasos para producir una cascada de secciones de Brune. ^{[ 69 ]}

Eliminación de la resistencia mínima

Una función de reactancia mínima tendrá una parte real mínima,${\displaystyle R_{\text{min}}}$, a cierta frecuencia${\displaystyle \omega _{0}}$Esta resistencia se puede extraer de la función, dejando un resto de otra PRF llamada función real positiva mínima , o simplemente función mínima . ^{[ 73 ]} Por ejemplo, la función de reactancia mínima

${\displaystyle Z(s)={\frac {3s^{2}+3s+6}{2s^{2}+s+2}}}$

tiene${\displaystyle \omega _{\text{min}}={\sqrt {2}}}$y${\displaystyle R_{\text{min}}=1}$. La función mínima,${\displaystyle Z_{1}(s)}$, es por lo tanto,

${\displaystyle Z_{1}(s)=Z(s)-R_{\text{min}}={\frac {s^{2}+2s+4}{2s^{2}+s+2}}}$

Eliminación de una inductancia o capacitancia negativa.

Desde${\ Displaystyle Z_ {1} (i \ omega _ {0})}$no tiene una parte real, podemos escribir,

${\displaystyle Z_{1}(i\omega _ {0})=iX\ .}$

Para la función de ejemplo,

${\displaystyle Z_{1}(i\omega _ {0})=-i{\sqrt {2}}=iX\ .}$

En este caso,${\displaystyle X}$es negativo, y lo interpretamos como la reactancia de un inductor de valor negativo,${\displaystyle L_{1}}$. De este modo,

${\displaystyle iX=i\omega _ {0}L_ {1}}$y

${\displaystyle L_{1}=-1}$

después de sustituir los valores de${\displaystyle \omega _{0}}$y${\displaystyle iX}$Esta inductancia se extrae entonces de${\displaystyle Z_{1}(s)}$, dejando otro PRF,${\displaystyle Z_{2}(s)}$,

${\displaystyle Z_{2}(s)=Z_{1}(s)-sL_{1}={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}\ .}$^{[ 74 ]}

La razón para extraer un valor negativo es porque${\displaystyle -sL_{1}}$es un PRF, lo cual no sería si${\displaystyle L_{1}}$fueron positivos. Esto garantiza que${\displaystyle Z_{2}(s)}$también será PRF (porque la suma de dos PRF también es PRF). ^{[ 75 ]} Para los casos en que${\displaystyle X}$es un valor positivo, se utiliza la función de admitancia y se extrae una capacitancia negativa. ^{[ 76 ]} La forma en que se implementan estos valores negativos se explica en una sección posterior.

Eliminación de un par conjugado de ceros

Tanto la parte real como la imaginaria de${\displaystyle Z(i\omega _ {0})}$se han eliminado en pasos anteriores. Esto deja un par de ceros en${\displaystyle Z_{2}(s)}$en${\displaystyle \pm i\omega _ {0}}$como se muestra al factorizar la función de ejemplo; ^{[ 77 ]}

${\displaystyle Z_{2}(s)={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}={\frac {(s^{2}+2)(2s+2)}{2s^{2}+s+2}}\ .}$

Dado que dicho par de ceros representa un circuito resonante en derivación, lo extraemos como un par de polos de la función de admitancia,

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}(s)&={1 \over Z_{2}(s)}={\frac {2s^{2}+s+2}{(s^{2}+2)(2s+2)}}\\&={1 \over {2s+2}}+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\&=Y_{3}(s)+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\\end{aligned}}}$

El término más a la derecha es el circuito resonante extraído con${\displaystyle L_{2}=2}$y${\displaystyle C_{2}=1/4}$. ^{[ 78 ]} La red sintetizada hasta ahora se muestra en la figura.

Eliminación de un poste en el infinito

${\displaystyle Z_{3}(s)}$Debe tener un polo en el infinito, ya que allí se creó uno mediante la extracción de una inductancia negativa. Este polo ahora puede extraerse como una inductancia positiva. ^{[ 79 ]}

${\displaystyle Z_{3}(s)={1 \over Y_{3}(s)}=2s+2=Z_{4}(s)+2s.}$

De este modo${\displaystyle L_{3}=2}$como se muestra en la figura.

Sustitución de la inductancia negativa por un transformador

La inductancia negativa no se puede implementar directamente con componentes pasivos. Sin embargo, la configuración en "te" de los inductores se puede convertir en inductores acoplados mutuamente que absorben la inductancia negativa. ^{[ 80 ]} Con un coeficiente de acoplamiento de la unidad (acoplamiento fuerte), la inductancia mutua,${\displaystyle M}$, en el caso del ejemplo es 2.0.

La síntesis de Bott-Duffin comienza, al igual que la síntesis de Brune, eliminando todos los polos y ceros en el${\displaystyle i\omega }$eje. Luego se invoca el teorema de Richards , que establece que,

${\displaystyle R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)}}}$

si${\displaystyle Z(s)}$entonces es un PRF${\displaystyle R(s)}$es una PRF para todos los valores reales y positivos de${\displaystyle k}$. ^{[ 83 ]}

Haciendo${\displaystyle Z(s)}$el sujeto de la expresión resulta en, ^{[ 84 ]}

${\displaystyle Z(s)=\left({\frac {R(s)}{Z(k)}}+{\frac {k}{sZ(k)}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{Z(k)R(s)}}+{\frac {s}{kZ(k)}}\right)^{-1}}$

En las figuras se muestra un ejemplo de un ciclo de síntesis de Bott-Duffin. Los cuatro términos de esta expresión son, respectivamente, un PRF (${\displaystyle Z_{2}(s)}$en el diagrama), una inductancia,${\displaystyle L}$, en paralelo con ello, otro PRF (${\displaystyle Z_{1}(s)}$en el diagrama), y una capacitancia,${\displaystyle C}$, en paralelo con ella. Un par de frecuencias críticas en el${\displaystyle i\omega }$Luego se extrae el eje de cada una de las dos nuevas PRF (detalles no proporcionados aquí), cada una realizada como un circuito resonante. Las dos PRF residuales (${\displaystyle Y_{3}(s)}$y${\displaystyle Z_{4}(s)}$en el diagrama) son cada uno dos grados más bajos que${\displaystyle Z(s)}$[ ^{85 ] El} mismo procedimiento se aplica repetidamente a las nuevas PRF generadas hasta que solo queda un elemento. ^{[ 86 ]} Dado que el número de PRF generadas se duplica con cada ciclo, el número de elementos sintetizados crecerá exponencialmente. Aunque el método Bott-Duffin evita el uso de transformadores y puede aplicarse a cualquier expresión susceptible de realizarse como una red pasiva, su uso práctico es limitado debido a la gran cantidad de componentes necesarios. ^{[ 87 ]}

La síntesis de Bayard es un método de síntesis en el espacio de estados basado en el procedimiento de factorización de Gauss . Este método devuelve una síntesis que utiliza el número mínimo de resistencias y no contiene giradores . Sin embargo, el método no es canónico y, en general, devolverá un número no mínimo de elementos de reactancia. ^{[ 88 ]}

La síntesis de Darlington parte de una perspectiva diferente a las técnicas analizadas hasta ahora, las cuales parten de una función racional predefinida y la implementan como una impedancia de un puerto . La síntesis de Darlington comienza con una función racional predefinida que es la función de transferencia deseada de una red de dos puertos . Darlington demostró que cualquier PRF puede implementarse como una red de dos puertos utilizando únicamente elementos L y C con una sola resistencia que termina el puerto de salida. ^{[ 89 ]} El método de Darlington y los métodos relacionados se denominan método de pérdida de inserción . ^{[ 90 ]} El método puede extenderse a redes multipuerto, donde cada puerto termina con una sola resistencia. ^{[ 91 ]}

El método Darlington, en general, requiere transformadores o inductores acoplados. Sin embargo, la mayoría de los tipos de filtros comunes se pueden construir mediante el método Darlington sin estas características indeseables. ^{[ 92 ]}

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