trayectoria hiperbólica

El semieje mayor (${\displaystyle a\,\!}$La distancia entre el periapsis y el punto de intersección de las dos asíntotas no es inmediatamente visible en una trayectoria hiperbólica, pero puede construirse como la distancia desde el periapsis hasta el punto donde se cruzan. Por convención, suele ser negativa para mantener la coherencia de diversas ecuaciones con las órbitas elípticas.

El semieje mayor está directamente vinculado a la energía orbital específica (${\displaystyle \epsilon \,}$) o energía característica${\displaystyle C_{3}}$de la órbita, y a la velocidad que alcanza el cuerpo a medida que la distancia tiende al infinito, la velocidad hiperbólica de exceso (${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$).

${\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}$ o${\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}$

dónde:${\displaystyle \mu =Gm\,\!}$es el parámetro gravitacional estándar y${\displaystyle C_{3}}$es una energía característica, comúnmente utilizada en la planificación de misiones interplanetarias

Cabe destacar que la energía total es positiva en el caso de una trayectoria hiperbólica (mientras que es negativa para una órbita elíptica).

Con una trayectoria hiperbólica, la excentricidad orbital es mayor que 1. La excentricidad está directamente relacionada con el ángulo entre las asíntotas. Con una excentricidad ligeramente superior a 1, la hipérbola tiene forma de "v" pronunciada.${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$Las asíntotas son perpendiculares. Con ${\displaystyle e>2}$Las asíntotas están separadas por más de 120°, y la distancia del periapsis es mayor que el semieje mayor. A medida que la excentricidad aumenta, el movimiento se aproxima a una línea recta.

El ángulo entre la dirección del periapsis y una asíntota desde el cuerpo central es la verdadera anomalía cuando la distancia tiende al infinito (${\displaystyle \theta _{\infty }\,}$), entonces${\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$es el ángulo externo entre las direcciones de aproximación y de salida (entre asíntotas). Entonces

${\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$o${\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

El parámetro de impacto es la distancia a la que un cuerpo, si continuara su trayectoria sin perturbaciones, no alcanzaría al cuerpo central en su punto de máxima aproximación . En el caso de cuerpos sometidos a fuerzas gravitatorias que siguen trayectorias hiperbólicas, este parámetro es igual al semieje menor de la hipérbola.

En el caso de una nave espacial o un cometa que se aproxima a un planeta, se conocerán con precisión el parámetro de impacto y la velocidad de exceso. Si se conoce el cuerpo central, se puede calcular su trayectoria, incluyendo la distancia a la que estará el cuerpo en el periapsis. Si esta distancia es menor que el radio del planeta, cabe esperar un impacto. La distancia de máxima aproximación, o distancia al periapsis, viene dada por:

${\displaystyle r_{p}=-a(e-1)={\frac {\mu }{v_{\infty }^{2}}}\left({\sqrt {1+\left(b{\frac {v_{\infty }^{2}}{\mu }}\right)^{2}}}-1\right)}$

Así, si un cometa que se aproxima a la Tierra (radio efectivo ~6400  km) con una velocidad de 12,5  km/s (la velocidad mínima aproximada de aproximación de un cuerpo proveniente del Sistema Solar exterior ) quiere evitar una colisión con la Tierra, el parámetro de impacto deberá ser de al menos 8600  km, o un 34 % mayor que el radio de la Tierra. Un cuerpo que se aproxima a Júpiter (radio de 70 000  km) desde el Sistema Solar exterior con una velocidad de 5,5  km/s, necesitará que el parámetro de impacto sea de al menos 770 000  km, o 11 veces el radio de Júpiter, para evitar una colisión.

Si se desconoce la masa del cuerpo central, su parámetro gravitacional estándar, y por lo tanto su masa, puede determinarse mediante la deflexión del cuerpo más pequeño, junto con el parámetro de impacto y la velocidad de aproximación. Dado que normalmente todas estas variables pueden determinarse con precisión, el sobrevuelo de una nave espacial proporcionará una buena estimación de la masa del cuerpo.

${\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$dónde${\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }$es el ángulo que el cuerpo más pequeño se desvía de una línea recta en su trayectoria.

En una trayectoria hiperbólica la verdadera anomalía${\displaystyle \theta }$está vinculado a la distancia entre los cuerpos en órbita (${\displaystyle r\,}$) mediante la ecuación de la órbita :

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

La relación entre la anomalía verdadera θ y la anomalía excéntrica E (o alternativamente la anomalía hiperbólica H ) es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}}$  o  ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$  o ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}}$

La anomalía excéntrica E está relacionada con la anomalía media M mediante la ecuación de Kepler :

${\displaystyle M=e\sinh E-E}$

La anomalía media es proporcional al tiempo.

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}$donde μ es un parámetro gravitacional y a es el semieje mayor de la órbita.

El ángulo de trayectoria de vuelo (φ) es el ángulo entre la dirección de la velocidad y la perpendicular a la dirección radial, por lo que es cero en el periapsis y tiende a 90 grados en el infinito.

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Bajo supuestos estándar, la velocidad orbital (${\displaystyle v\,}$) de un cuerpo que viaja a lo largo de una trayectoria hiperbólica se puede calcular a partir de la ecuación vis-viva como:

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+{1 \over {a}}\right)}}}$^{[ 3 ]}

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,\!}$es el valor absoluto (distancia) del semieje mayor .

Bajo supuestos estándar, en cualquier posición de la órbita se cumple la siguiente relación para la velocidad orbital (${\displaystyle v\,}$), velocidad de escape local (${\displaystyle {v_{esc}}\,}$) y velocidad de exceso hiperbólica (${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$):

${\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}}$

Cabe destacar que esto significa que un incremento relativamente pequeño de la velocidad respecto a la necesaria para alcanzar la velocidad de escape resulta en una velocidad relativamente alta en el infinito. Por ejemplo, en un punto donde la velocidad de escape es de 11,2  km/s, la adición de 0,4  km/s produce un exceso de velocidad hiperbólica de 3,02  km/s.

${\displaystyle {\sqrt {11.6^{2}-11.2^{2}}}=3.02}$

Este es un ejemplo del efecto Oberth . Lo contrario también es cierto: un cuerpo no necesita ser frenado mucho en comparación con su exceso de velocidad hiperbólica (por ejemplo, por la resistencia atmosférica cerca del periapsis) para que su velocidad caiga por debajo de la velocidad de escape y, por lo tanto, para que el cuerpo sea capturado.