El teorema maestro de Ramanujan

Esta es la fórmula de desarrollo en serie , integral e integración para una integral cuyo desarrollo en serie del integrando contiene exponentes enteros consecutivos. ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n}\\&\int _{0}^{\infty }y^{c-1}f(y)\,dy\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n+c-1}dy\\&=\Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\end{aligned}}}$$ El parámetro${\displaystyle n^{\ast }}$es una solución a esta ecuación lineal. $${\displaystyle n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-c}$$

Aplicando la sustitución${\textstyle y=x^{a}}$genera la expansión en serie de la función, la integral y la fórmula de integración para una integral cuya expansión en serie del integrando puede no contener exponentes enteros consecutivos. ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an}\\&\int _{0}^{\infty }x^{c-1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an+c-1}dx\\&=a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\\\end{aligned}}}$$ El parámetro${\textstyle n^{\ast }}$es una solución a esta ecuación lineal. $${\displaystyle a\ n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-a^{-1}c}$$

Esta es la fórmula de desarrollo en serie, integral e integración para una integral doble cuyo desarrollo en serie del integrando contiene exponentes enteros consecutivos. ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y_{1},y_{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}}\ y_{2}^{n_{2}}\\&\int _{0}^{\infty }y_{1}^{c_{1}-1}y_{2}^{c_{2}-1}\ f(y_{1},y_{2})\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}+c_{1}-1}\ y_{2}^{n_{2}+c_{2}-1}\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\\\end{aligned}}}$$ Los parámetros${\textstyle n_{1}^{\ast }}$y${\textstyle n_{2}^{\ast }}$son soluciones a estas ecuaciones lineales. $${\displaystyle n_{1}^{\ast }+c_{1}=0,\ n_{2}^{\ast }+c_{2}=0,\ n_{1}^{\ast }=-c_{1},\ n_{2}^{\ast }=-c_{2}}$$

Esta sección describe la fórmula de integración para una integral doble cuyo desarrollo en serie del integrando puede no contener exponentes enteros consecutivos. Las matrices contienen los parámetros necesarios para expresar los exponentes en un desarrollo en serie del integrando y el determinante de la matriz invertible.${\textstyle A}$es${\textstyle \det |A|}$. ^{[ 12 ]}$${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}}$$ Aplicando la sustitución$${\displaystyle y_{1}=x_{1}^{a_{11}}x_{2}^{a_{21}},\quad y_{2}=x_{1}^{a_{12}}x_{2}^{a_{22}}}$$genera la expansión en serie de la función, la integral y la fórmula de integración para una integral doble cuya expansión en serie del integrando puede no contener exponentes enteros consecutivos. ^{[ 11 ]} La integral y la fórmula de integración son ^{[ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ x_{1}^{n_{1}a_{11}+n_{2}a_{12}+c_{1}-1}\ x_{2}^{n_{1}a_{21}+n_{2}a_{22}+c_{2}-1}\ dx_{1}\ dx_{2}\\&=\det |A|^{-1}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\end{aligned}}}$$ La matriz de parámetros${\textstyle N^{\ast }}$es una solución a esta ecuación lineal. ^{[ 15 ]}$${\displaystyle AN^{\ast }+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}C}$$.

En algunos casos, puede haber más sumas que variables. Por ejemplo, si el integrando es un producto de 3 funciones de una única variable común, y cada función se convierte en una suma de desarrollo en serie, el integrando ahora es un producto de 3 sumas, cada una correspondiente a un desarrollo en serie distinto.

• El número de paréntesis es el número de ecuaciones lineales asociadas a una integral. Este término refleja la práctica común de poner entre paréntesis cada ecuación lineal. ^{[ 16 ]}
• El índice de complejidad es el número de sumas de integrandos menos el número de paréntesis (ecuaciones lineales). Cada desarrollo en serie del integrando contribuye con una suma. ^{[ 16 ]}
• Los índices de sumatoria (variables) son los índices que indexan los términos en un desarrollo en serie. En el ejemplo, hay 3 índices de sumatoria.${\textstyle n_{1},n_{2}}$y${\textstyle n_{3}}$porque el integrando es producto de 3 expansiones en serie. ^{[ 17 ]}
• Los índices de suma libres (variables) son aquellos que quedan después de completar todas las integraciones. La integración reduce el número de sumas en el integrando al reemplazar las expansiones en serie (sumas) con una fórmula de integración. Por lo tanto, hay menos índices de suma después de la integración. El número de índices de suma libres elegidos es igual al índice de complejidad. ^{[ 17 ]}

Los índices de suma libre${\textstyle {\bar {n}}_{1},\ldots ,{\bar {n}}_{f}}$son elementos de un conjunto${\textstyle F}$. La matriz de índices de suma libre es${\textstyle {\bar {N}}}$y los coeficientes de los índices de suma libre son una matriz${\textstyle {\bar {A}}}$. $${\displaystyle {\bar {A}}={\begin{vmatrix}{\bar {a}}_{11}&\ldots &{\bar {a}}_{1f}\\\vdots &&\vdots \\{\bar {a}}_{b1}&\ldots &{\bar {a}}_{bf}\end{vmatrix}},\ {\bar {N}}={\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{1}\\\vdots \\{\bar {n}}_{f}\end{vmatrix}}}$$ Los índices restantes están establecidos${\textstyle B}$que contienen índices${\textstyle n_{1},\ldots ,n_{b}}$Matrices ${\textstyle A,C}$y${\textstyle N^{\ast }}$Contienen elementos de matriz que se multiplican o suman con los índices que no son de suma. Los índices de suma libres seleccionados deben salir de la matriz.${\textstyle A}$no singular. $${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1b}\\\vdots &&\vdots \\a_{b1}&\ldots &a_{bb}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{b}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\\vdots \\n_{b}^{\ast }\end{vmatrix}}}$$. Esta es la fórmula de desarrollo en serie, integral e integral de la función. ^{[ 18 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x_{1},\ldots ,x_{b})\\&=\sum _{n\in B}^{\infty }\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{n_{b}}}{n_{b}!}}{\frac {(-1)^{\bar {n_{f}}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\varphi (n_{1},\ldots ,n_{b},{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f})\prod _{x_{k}\in B}x_{k}^{n_{1}a_{k1}+\dots +{\bar {n}}_{1}{\bar {a}}_{k1}+\dots +c_{k}-1}\\&\int _{0}^{\infty }\ldots \int _{0}^{\infty }x^{c_{1}-1}\dots x^{c_{b}-1}f(x_{1},\ldots ,x_{b})\ dx_{1}\ldots dx_{b}\\&=\det |A|^{-1}\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{f}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast },{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f}).\end{aligned}}}$$ Los parámetros${\textstyle n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast }}$son funciones lineales de los parámetros${\textstyle {\bar {n}}_{1}^{\ast },\ldots ,{\bar {n}}_{f}^{\ast }}$. ^{[ 19 ]}$${\displaystyle A\ N^{\ast }+{\bar {A}}\ {\bar {N}}+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}({\bar {A}}\ {\bar {N}}+C)}$$.

El método de corchetes integrará esta integral. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3/2}\ e^{-x^{3}/2}\ dx}$$

1. Expresa el integrando como una serie de potencias.$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ {\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ x^{(3\cdot n+5/2)-1}\ dx}$$
2. Transforma la serie de potencias en una serie de corchetes. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ \phi (n)\cdot \left\langle 3\ n+{\frac {5}{2}}\right\rangle }$$
3. Obtenga el índice de complejidad, los parámetros de la fórmula y la función de coeficientes de la serie.

El índice de complejidad es cero.

${\textstyle 3\ n^{\ast }+5/2=0}$

${\textstyle n^{\ast }=-5/6,\ a=3}$

${\textstyle \varphi (n)=2^{-n}}$.

4. Utilice la tabla 2 para calcular la integral.

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3/2}\cdot e^{-x^{3}/2}\ dx}$$$${\displaystyle =a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\ \varphi (n^{\ast })}$$$${\displaystyle ={\frac {\Gamma \left({\frac {5}{6}}\right)\ 2^{5/6}}{3}}}$$

El método de corchetes integrará esta integral. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx}$$ 1. Exprese el integrando como una serie de potencias. Utilice la fórmula de la suma elevada a una potencia. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}}\ {\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}1^{n_{1}}x^{5n_{2}+3n_{3}}\langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle \ dx}$$ 2. Transforma la serie de potencias en una serie de corchetes. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{n},n_{3}}{\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}\langle 5\ n_{2}+3\ n_{3}+1\rangle \langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle }$$ 3. Obtenga el índice de complejidad, los parámetros de la fórmula y la función de coeficientes de la serie.

El índice de complejidad es 1, ya que consta de 3 sumas y 2 paréntesis.

Seleccionar${\textstyle n_{3}}$como índice libre,${\textstyle {\bar {n}}_{3}}$. Las ecuaciones lineales, soluciones, determinante y coeficiente de la serie son

$${\displaystyle 5n_{2}^{\ast }+3{\bar {n}}_{3}+1=0,\ n_{1}^{\ast }+n_{2}^{\ast }+{\bar {n}}_{3}+1/2=0}$$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1\\0&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1\\3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1/2\\1\end{vmatrix}}=0}$$$${\displaystyle AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0}$$$${\displaystyle \det |A|=5}$$$${\displaystyle n_{1}^{\ast }=-{\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {3}{10}},\ n_{2}^{\ast }=-{\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {1}{5}}.}$$$${\displaystyle \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})={\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$$ 4. Utilice la tabla 2 para calcular la integral. $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}\det |A|^{-1}\Gamma (-n_{1}^{\ast })\Gamma (-n_{2}^{\ast })\varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}{\frac {\Gamma ({\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {3}{10}})\Gamma ({\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {1}{5}})}{5{\sqrt {\pi }}}}\end{aligned}}}$$