subálgebra de Cartan

En matemáticas , una subálgebra de Cartan , a menudo abreviada como CSA , es una subálgebra nilpotente.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$de un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$eso es autonormalizador (si${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$a pesar de${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$, entonces${\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}$). Fueron introducidos por Élie Cartan en su tesis doctoral y controlan la teoría de representación de un álgebra de Lie semisimple.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un campo de características${\displaystyle 0}$.

En un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero (por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {C} }$), una subálgebra de Cartan es lo mismo que una subálgebra abeliana maximal que consta de elementos x tales que el endomorfismo adjunto${\displaystyle \operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$es semisimple (es decir, diagonalizable ). A veces, esta caracterización se toma simplemente como la definición de una subálgebra de Cartan. ^{[ 1 ] pág. 231}

En general, una subálgebra se denomina toral si consta de elementos semisimples. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, una subálgebra toral es automáticamente abeliana. Por lo tanto, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, una subálgebra de Cartan también puede definirse como una subálgebra toral maximal.

Las álgebras de Kac-Moody y las álgebras generalizadas de Kac-Moody también tienen subálgebras que desempeñan el mismo papel que las subálgebras de Cartan de las álgebras de Lie semisimples (sobre un cuerpo de característica cero).

Existen subálgebras de Cartan para álgebras de Lie de dimensión finita siempre que el cuerpo base sea infinito. Una forma de construir una subálgebra de Cartan es mediante un elemento regular . Sobre un cuerpo finito, la cuestión de su existencia sigue abierta.

Para un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, existe un enfoque más simple: por definición, una subálgebra toral es una subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$que consta de elementos semisimples (un elemento es semisimple si el endomorfismo adjunto inducido por él es diagonalizable ). Una subálgebra de Cartan de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es entonces lo mismo que una subálgebra toral maximal y la existencia de una subálgebra toral maximal es fácil de ver.

En un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, todas las subálgebras de Cartan son conjugadas bajo los automorfismos del álgebra y, en particular, todas son isomorfas . La dimensión común de una subálgebra de Cartan se denomina entonces rango del álgebra.

Para un álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita, la existencia de una subálgebra de Cartan es mucho más sencilla de establecer, suponiendo la existencia de una forma real compacta. ^{[ 2 ]} En ese caso,${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$puede tomarse como la complejización del álgebra de Lie de un toro maximal del grupo compacto.

Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie lineal (una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V ) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces cualquier subálgebra de Cartan de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es el centralizador de una subálgebra toral máxima de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple y el campo tiene característica cero, entonces una subálgebra toral maximal es autonormalizante y, por lo tanto, es igual a la subálgebra de Cartan asociada. Si además${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple, entonces la representación adjunta presenta${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$como un álgebra de Lie lineal, de modo que una subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es Cartan si y solo si es una subálgebra toral maximal.

• Cualquier álgebra de Lie nilpotente es su propia subálgebra de Cartan.
• El álgebra de todas las matrices diagonales es una subálgebra de Cartan de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$, el álgebra de Lie de${\displaystyle n\times n}$matrices sobre un cuerpo.
• Para el álgebra de Lie especial de traza cero${\displaystyle n\times n}$matrices${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$, tiene la subálgebra de Cartan:$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{d(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{ y }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$$dónde$${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$$Por ejemplo, en${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$La subálgebra de Cartan es la subálgebra de matrices:$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&-a\end{pmatrix}}:a\in \mathbb {C} \right\}}$$con el corchete de Lie dado por el conmutador de matrices.
• El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$de${\displaystyle 2}$por${\displaystyle 2}$matrices de traza${\displaystyle 0}$tiene dos subálgebras de Cartan no conjugadas.
• La dimensión de una subálgebra de Cartan no es, en general, la dimensión máxima de una subálgebra abeliana, incluso para álgebras de Lie simples complejas. Por ejemplo, el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )}$de${\displaystyle 2n}$por${\displaystyle 2n}$matrices de traza${\displaystyle 0}$tiene una subálgebra de Cartan de rango${\displaystyle 2n-1}$pero tiene una subálgebra abeliana máxima de dimensión${\displaystyle n^{2}}$que consta de todas las matrices de la forma${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}}$con${\displaystyle A}$cualquier${\displaystyle n}$por${\displaystyle n}$matriz. Se puede ver directamente que esta subálgebra abeliana no es una subálgebra de Cartan, puesto que está contenida en el álgebra nilpotente de matrices triangulares estrictamente superiores (o, puesto que está normalizada por matrices diagonales).

Para el álgebra de Lie semisimple de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0, una subálgebra de Cartan${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es abeliano ,
• Para la representación adjunta${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} , la imagen${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$consta de operadores semisimples (es decir, matrices diagonalizables).

(Como se mencionó anteriormente, una subálgebra de Cartan puede caracterizarse, de hecho, como una subálgebra que es máxima entre aquellas que poseen las dos propiedades anteriores).

Estas dos propiedades dicen que los operadores en${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$son simultáneamente diagonalizables y que existe una descomposición en suma directa de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$como:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

dónde

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

Dejar${\displaystyle \Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}}$. Entonces${\displaystyle \Phi }$es un sistema de raíces y, además,${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$; es decir, el centralizador de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$coincide con${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$La descomposición anterior se puede escribir entonces como:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)}$

Resulta que, para cada${\displaystyle \lambda \in \Phi }$,${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$tiene dimensión uno y por lo tanto:

${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$.

Consulte también Álgebra de Lie semisimple#Estructura para obtener más información.

Sobre cuerpos no algebraicamente cerrados, no todas las subálgebras de Cartan son conjugadas. Una clase importante son las subálgebras de Cartan de descomposición : si un álgebra de Lie admite una subálgebra de Cartan de descomposición${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$entonces se llama divisible, y el par${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$Se denomina álgebra de Lie escindida ; sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, toda álgebra de Lie semisimple es escindible. Dos álgebras de Cartan escindibles cualesquiera son conjugadas y cumplen una función similar a la de las álgebras de Cartan en las álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados, por lo que las álgebras de Lie semisimples escindidas (de hecho, las álgebras de Lie reductivas escindidas) comparten muchas propiedades con las álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados.

Sin embargo, sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado, no todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles.

Un subgrupo de Cartan de un grupo de Lie es un tipo especial de subgrupo. Específicamente, su álgebra de Lie (que captura la estructura algebraica del grupo) es en sí misma una subálgebra de Cartan. Cuando consideramos el componente identidad de un subgrupo, este comparte la misma álgebra de Lie. Sin embargo, no existe una definición universalmente aceptada sobre qué subgrupo con esta propiedad debe denominarse "subgrupo de Cartan", especialmente cuando se trata de grupos disconexos.

Para grupos de Lie compactos y conexos, un subgrupo de Cartan es esencialmente un subgrupo abeliano conexo maximal , a menudo denominado " toro maximal ". El álgebra de Lie asociada a este subgrupo es también una subálgebra de Cartan.

Ahora bien, al explorar los grupos de Lie compactos desconectados, la cosa se pone interesante. Existen varias definiciones para un subgrupo de Cartan. Un enfoque común, propuesto por David Vogan , lo define como el grupo de elementos que normalizan un toro maximal fijo, preservando la cámara de Weyl fundamental . Esta versión se conoce a veces como el «subgrupo de Cartan grande». Además, existe un «subgrupo de Cartan pequeño», definido como el centralizador de un toro maximal. Es importante señalar que estos subgrupos de Cartan no siempre son abelianos en general.