Polinomios de Hermite

A partir de las fórmulas de Rodrigues dadas anteriormente, podemos ver que H _n ( x ) y He _n ( x ) son funciones pares o impares , con la misma paridad que n : $${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad \operatorname {He} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x).}$$

H _n ( x ) y He _n ( x ) sonpolinomios de grado n para n = 0, 1, 2, 3,... . Estos polinomios son ortogonales con respecto a la función de peso ( medida ). $${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}\operatorname {He} )}$$o$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$$ es decir, tenemos $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$$

Además, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$$ y $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$$ dónde${\displaystyle \delta _{nm}}$ es el delta de Kronecker .

Por lo tanto, los polinomios probabilísticos son ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal estándar.

Los polinomios de Hermite (de probabilistas o de físicos) forman una base ortogonal del espacio de Hilbert de funciones que satisfacen $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$$ en la que el producto interno viene dado por la integral $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$$ incluyendo la función de peso gaussiana w ( x ) definida en la sección anterior.

Una base ortogonal para L ² ( R , w ( x ) dx ) es un sistema ortogonal completo . Para un sistema ortogonal, la completitud es equivalente al hecho de que la función 0 es la única función f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ) ortogonal a todas las funciones del sistema.

Dado que el espacio lineal generado por los polinomios de Hermite es el espacio de todos los polinomios, hay que demostrar (en el caso de los físicos) que si f satisface $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$ para todo n ≥ 0 , entonces f = 0 .

Una forma posible de hacerlo es apreciar que toda la función$${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$ se desvanece idénticamente. El hecho de que F ( it ) = 0 para todo t real significa que la transformada de Fourier de f ( x ) e ^{− x 2} es 0, por lo tanto f es 0 casi en todas partes . Variantes de la prueba de completitud anterior se aplican a otros pesos con decaimiento exponencial .

En el caso de Hermite, también es posible demostrar una identidad explícita que implica completitud (véase la sección sobre la relación de completitud más adelante).

Una formulación equivalente del hecho de que los polinomios de Hermite son una base ortogonal para L ² ( R , w ( x ) dx ) consiste en introducir funciones de Hermite (ver más abajo) y en decir que las funciones de Hermite son una base ortonormal para L ² ( R ) .

Los polinomios de Hermite del probabilista son soluciones de la ecuación diferencial de Sturm-Liouville.$${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$$ donde λ es una constante. Al imponer la condición de contorno de que u debe estar acotada polinómicamente en el infinito, la ecuación tiene soluciones solo si λ es un entero no negativo , y la solución viene dada de forma única por${\displaystyle u(x)=C_{1}\operatorname {He} _{\lambda }(x)}$, dónde${\displaystyle C_{1}}$denota una constante.

Reescribir la ecuación diferencial como un problema de valores propios.$${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$$ los polinomios de Hermite${\displaystyle \operatorname {He} _{\lambda }(x)}$pueden entenderse como autofunciones del operador diferencial${\displaystyle L[u]}$Este problema de valores propios se denomina ecuación de Hermite , aunque el término también se utiliza para la ecuación estrechamente relacionada. $${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$$ cuya solución viene dada de forma única en términos de los polinomios de Hermite del físico en la forma${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$, dónde${\displaystyle C_{1}}$denota una constante, después de imponer la condición de contorno de que u debe estar acotada polinómicamente en el infinito.

Las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden anteriores son, de hecho, combinaciones lineales de polinomios de Hermite y funciones hipergeométricas confluentes de primer tipo. Por ejemplo, para la ecuación de Hermite del físico $${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$$ La solución general toma la forma $${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$$ dónde${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$son constantes,${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$son los polinomios de Hermite de los físicos (de primera especie), y ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$son las funciones de Hermite de los físicos (de segundo tipo). Estas últimas funciones se representan de forma compacta como${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$dónde ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$son funciones hipergeométricas confluentes de primera especie . Los polinomios de Hermite convencionales también pueden expresarse en términos de funciones hipergeométricas confluentes, véase más abajo.

Con condiciones de contorno más generales , los polinomios de Hermite pueden generalizarse para obtener funciones analíticas más generales para λ de valor complejo . También es posible una fórmula explícita de los polinomios de Hermite en términos de integrales de contorno ( Courant y Hilbert, 1989 ) .

La secuencia de polinomios de Hermite del probabilista también satisface la relación de recurrencia.$${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-\operatorname {He} _{n}'(x).}$$ Los coeficientes individuales están relacionados por la siguiente fórmula de recursión: $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$ y a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 1 .

Para los polinomios del físico, suponiendo $${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$$ tenemos $${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$$ Los coeficientes individuales están relacionados por la siguiente fórmula de recursión: $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$ y a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 2 .

Los polinomios de Hermite constituyen una sucesión de Appell , es decir, son una sucesión de polinomios que satisface la identidad $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}'(x)&=n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Una recurrencia integral que se deduce y demuestra en ^{[ 6 ]} es la siguiente: $${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}\operatorname {He} _{n}(t)dt-He'_{n}(0),}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}$$

De forma equivalente, mediante la expansión de Taylor , $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\operatorname {He} _{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)\operatorname {He} _{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{n-k}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$$ Estas identidades umbrales son evidentes por sí mismas y están incluidas en la representación del operador diferencial que se detalla a continuación, $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

En consecuencia, para las derivadas m- ésimas se cumplen las siguientes relaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}\operatorname {He} _{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}\operatorname {He} _{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$$

De ello se deduce que los polinomios de Hermite también satisfacen la relación de recurrencia.$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n+1}(x)&=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Estas últimas relaciones, junto con los polinomios iniciales H ₀ ( x ) y H ₁ ( x ) , se pueden utilizar en la práctica para calcular los polinomios rápidamente.

Las desigualdades de Turán son $${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$$

Además, se cumple el siguiente teorema de multiplicación : $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\\operatorname {He} _{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}\operatorname {He} _{n-2i}(x).\end{aligned}}}$$

Los polinomios de Hermite del físico se pueden escribir explícitamente como $${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$$

Estas dos ecuaciones se pueden combinar en una sola utilizando la función piso : $${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$$

Los polinomios de Hermite del probabilista tienen fórmulas similares, que se pueden obtener a partir de estos reemplazando la potencia de 2 x con la potencia correspondiente de √ 2 x y multiplicando toda la suma por 2 ^{− ⁠ n / 2 ⁠} : $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$$

La inversa de las expresiones explícitas anteriores, es decir, aquellas para monomios en términos de polinomios de Hermite probabilísticos , son$${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}\operatorname {He} _{n-2m}(x).}$$

Las expresiones correspondientes para los polinomios de Hermite del físico H se obtienen directamente escalando adecuadamente esto: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$$

Los polinomios de Hermite vienen dados por la función generatriz exponencial.$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

Esta igualdad es válida para todos los valores complejos de x y t , y se puede obtener escribiendo el desarrollo de Taylor en x de toda la función z → e ^{− z 2} (en el caso del físico). También se puede derivar la función generadora (del físico) utilizando la fórmula integral de Cauchy para escribir los polinomios de Hermite como $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$$

Usando esto en la suma $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$$ Se puede evaluar la integral restante utilizando el cálculo de residuos y llegar a la función generadora deseada.

Una ligera generalización afirma ^{[ 8 ]}$${\displaystyle e^{2xt-t^{2}}H_{k}(x-t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n+k}(x)t^{n}}{n!}}}$$

Si X es una variable aleatoria con una distribución normal con desviación estándar 1 y valor esperado μ , entonces $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$$

Los momentos de la distribución normal estándar (con valor esperado cero) se pueden leer directamente de la relación para índices pares: $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,}$$ donde (2 n − 1)!! es el factorial doble . Nótese que la expresión anterior es un caso especial de la representación de los polinomios de Hermite del probabilista como momentos: $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$$

A partir de la representación de la función generadora anterior, vemos que los polinomios de Hermite tienen una representación en términos de una integral de contorno , como $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$$ con el contorno rodeando el origen.

Utilizando la transformada de Fourier de la gaussiana${\displaystyle e^{-x^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-t^{2}+2ixt}dt}$, tenemos$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(x)&=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}={\frac {(-2i)^{n}e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\int t^{n}e^{-t^{2}+2ixt}dt\\\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {(-i)^{n}e^{x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\int t^{n}\,e^{-t^{2}/2+ixt}\,dt.\end{aligned}}}$$

El discriminante se expresa como un hiperfactorial : ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} (H_{n})&=2^{{\frac {3}{2}}n(n-1)}\prod _{j=1}^{n}j^{j}\\\operatorname {Disc} (\operatorname {He} _{n})&=\prod _{j=1}^{n}j^{j}\end{aligned}}}$$

El teorema de adición, o teorema de suma, establece que ^{[ 10 ] [ 11 ] : 8.958}$${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}\right)^{\frac {n}{2}}}{n!}}H_{n}\left({\frac {\sum _{k=1}^{r}a_{k}x_{k}}{\sqrt {\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}}}}\right)=\sum _{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{r}=n,m_{i}\geq 0}\prod _{k=1}^{r}\left\{{\frac {a_{k}^{m_{k}}}{m_{k}!}}H_{m_{k}}\left(x_{k}\right)\right\}}$$para cualquier vector distinto de cero${\displaystyle a_{1:r}}$.

El teorema de la multiplicación establece que ^{[ 10 ]}$${\displaystyle H_{n}\left(\lambda x\right)=\lambda ^{n}\sum _{\ell =0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {\left(-n\right)_{2\ell }}{\ell$$ !}}(1-\lambda ^{-2})^{\ell }H_{n-2\ell }\left(x\right)} para cualquier distinto de cero${\displaystyle \lambda }$.

Fórmula de Feldheim ^{[ 12 ] : Ecuación 46}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a\pi }}}&\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{a}}}H_{m}\left({\frac {x+y}{\lambda }}\right)H_{n}\left({\frac {x+z}{\mu }}\right)dx\\&=\left(1-{\frac {a}{\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}\left(1-{\frac {a}{\mu ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{r=0}^{\min(m,n)}r!{\binom {m}{r}}{\binom {n}{r}}\left({\frac {2a}{\sqrt {\left(\lambda ^{2}-a\right)\left(\mu ^{2}-a\right)}}}\right)^{r}H_{m-r}\left({\frac {y}{\sqrt {\lambda ^{2}-a}}}\right)H_{n-r}\left({\frac {z}{\sqrt {\mu ^{2}-a}}}\right)\end{aligned}}}$$dónde${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$tiene una parte real positiva. Como caso especial, ^{[ 12 ] : Eq 52}$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}H_{m}(t\sin \theta +v\cos \theta )H_{n}(t\cos \theta -v\sin \theta )dt=(-1)^{n}\cos ^{m}\theta \sin ^{n}\theta H_{m+n}(v)}$$

Cuando n → ∞ , ^{[ 13 ]}$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$$Para ciertos casos que implican un rango de evaluación más amplio, es necesario incluir un factor para la variación de la amplitud: $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$$ que, utilizando la aproximación de Stirling , puede simplificarse aún más, en el límite, a $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$Esta expansión es necesaria para resolver la función de onda de un oscilador armónico cuántico de manera que coincida con la aproximación clásica en el límite del principio de correspondencia . El término${\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$corresponde a la probabilidad de encontrar una partícula clásica en un pozo de potencial de forma${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2}}$en la ubicación${\displaystyle x}$, si su energía total es${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}}$Este es un método general en el análisis semiclasico . La aproximación semiclasica falla cerca de${\displaystyle \pm {\sqrt {2n+1}}}$, la ubicación donde la partícula clásica se volvería a su estado original. Esta es una catástrofe de pliegue , en cuyo punto se necesita la función de Airy . ^{[ 14 ]}

Una mejor aproximación, que tiene en cuenta la variación de frecuencia, viene dada por $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

El método asintótico de Plancherel-Rotach , aplicado a los polinomios de Hermite, tiene en cuenta el espaciado desigual de los ceros cerca de los bordes. ^{[ 15 ]} Utiliza la sustitución $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$$ con la que se tiene la aproximación uniforme $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$$

Se aplican aproximaciones similares a las regiones monótonas y de transición. Específicamente, si $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$$ entonces $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$$ mientras que para$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$$con t complejo y acotado, la aproximación es $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$$ donde Ai es la función de Airy de primer tipo.

Los polinomios de Hermite del físico evaluados en el argumento cero H _n (0) se denominan números de Hermite .

$${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$$ que satisfacen la relación de recurrencia H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0) . Equivalentemente,${\displaystyle H_{2n}(0)=(-2)^{n}(2n-1)!!}$.

En términos de los polinomios del probabilista, esto se traduce en: $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$$

Dejar${\textstyle M}$ser un verdadero${\textstyle n\times n}$matriz simétrica , entonces la fórmula de Kibble-Slepian establece que$${\displaystyle \det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{x^{T}M(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\cdots H_{k_{n}}(x_{n})}$$dónde${\textstyle \sum _{K}}$es el${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$suma de pliegues sobre todos${\textstyle n\times n}$matrices simétricas con entradas enteras no negativas,${\displaystyle tr(K)}$es el rastro de${\displaystyle K}$, y${\textstyle k_{i}}$se define como${\textstyle k_{ii}+\sum _{j=1}^{n}k_{ij}}$Esto da como resultado la fórmula de Mehler cuando${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&u\\u&0\end{bmatrix}}}$.

Dicho de forma equivalente, si${\textstyle T}$es una matriz semidefinida positiva , entonces establece${\textstyle M=-T(I+T)^{-1}}$, tenemos${\textstyle M(I+M)^{-1}=-T}$, entonces$${\displaystyle e^{-x^{T}Tx}=\det(I+T)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\dots H_{k_{n}}(x_{n})}$$Dicho de forma equivalente en una forma más cercana a la mecánica cuántica de bosones del oscilador armónico : ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \pi ^{-n/4}\det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}(I-M)(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}M_{ij}^{k_{ij}}/k_{ij}!\right]\left[\prod _{1\leq i\leq n}k_{i}!\right]^{1/2}2^{-\operatorname {tr} K}\psi _{k_{1}}\left(x_{1}\right)\cdots \psi _{k_{n}}\left(x_{n}\right).}$$donde cada${\textstyle \psi _{n}(x)}$es el${\textstyle n}$-ésima autofunción del oscilador armónico, definida como$${\displaystyle \psi _{n}(x):={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\left({\frac {1}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)}$$La fórmula de Kibble-Slepian fue propuesta por Kibble en 1945 ^{[ 17 ]} y demostrada por Slepian en 1972 mediante análisis de Fourier. ^{[ 18 ]} Foata proporcionó una demostración combinatoria ^{[ 19 ]} mientras que Louck dio una demostración mediante mecánica cuántica de bosones. ^{[ 16 ]} Tiene una generalización para polinomios de Hermite con argumento complejo. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Dejar${\displaystyle x_{n,1}>\dots >x_{n,n}}$ser las raíces de${\displaystyle H_{n}}$en orden descendente. Dejemos${\displaystyle a_{m}}$ser el${\displaystyle m}$-ésimo cero de la función de Airy${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$en orden descendente:${\displaystyle 0>a_{1}>a_{2}>\cdots }$. Por la simetría de${\displaystyle H_{n}}$, solo necesitamos considerar la mitad positiva de sus raíces.

Tenemos ^{[ 9 ]}$${\displaystyle (2n+1)^{\frac {1}{2}}>x_{n,1}>x_{n,2}>\cdots >x_{n,\lfloor n/2\rfloor }>0.}$$Para cada${\displaystyle m}$, asintóticamente en${\displaystyle n\to \infty }$, ^{[ 9 ]}$${\displaystyle x_{n,m}=(2n+1)^{\frac {1}{2}}+2^{-{\frac {1}{3}}}(2n+1)^{-{\frac {1}{6}}}a_{m}+\epsilon _{n,m},}$$dónde${\displaystyle \epsilon _{n,m}=O\left(n^{-{\frac {5}{6}}}\right)}$, y${\displaystyle \epsilon _{n,m}<0}$.

Véase también ^{[ 22 ]} y las fórmulas que involucran los ceros de los polinomios de Laguerre .

Dejar${\displaystyle F_{n}(t):={\frac {1}{n}}\#\{i:x_{n,i}\leq t\}}$sea ​​la función de distribución acumulativa para las raíces de${\displaystyle H_{n}}$, entonces tenemos la ley del semicírculo ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}({\sqrt {2n}}t)={\frac {2}{\pi }}\int _{-1}^{t}{\sqrt {1-s^{2}}}ds\quad t\in (-1,+1)}$$La relación de Stieltjes establece que ^{[ 24 ] [ 25 ]}$${\displaystyle -x_{n,i}+\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}=0}$$y puede interpretarse físicamente como la posición de equilibrio de${\displaystyle n}$partículas en una línea, de tal manera que cada partícula${\displaystyle i}$es atraído hacia el origen por una fuerza lineal${\displaystyle -x_{n,i}}$y repelidas por cada partícula${\displaystyle j}$por una fuerza recíproca${\displaystyle {\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}}$Esto se puede construir confinando${\displaystyle n}$partículas cargadas positivamente en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$a la recta real , y conectando cada partícula al origen mediante un resorte . Esto también se denomina modelo electrostático y se relaciona con la interpretación del gas de Coulomb de los autovalores de los conjuntos gaussianos .

Dado que los ceros especifican el polinomio salvo por un factor de escala, la relación de Stieltjes proporciona una forma alternativa de caracterizar de manera única los polinomios de Hermite.

De manera similar, tenemos ^{[ 26 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i}x_{n,i}^{2}&=\sum _{1\leq i\leq n}^{n}\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{2}}}\\x_{n,i}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}\\{\frac {2n-2-x_{n,i}^{2}}{3}}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{2}}}\\{\frac {1}{2}}x_{n,i}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{3}}}\end{aligned}}}$$

Los polinomios de Hermite pueden expresarse como un caso especial de los polinomios de Laguerre : $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}$$