Hispanopedia WikiEn matemáticas , el número de Pitágoras o altura reducida de un cuerpo describe la estructura del conjunto de cuadrados del cuerpo. El número de Pitágoras p ( K ) de un cuerpo K es el entero positivo p más pequeño tal que toda suma de cuadrados en K es una suma de p cuadrados.
Un cuerpo pitagórico es un cuerpo con número pitagórico 1: es decir, toda suma de cuadrados ya es un cuadrado.
Ejemplos
- Todo número real no negativo es un cuadrado, por lo tanto p ( R ) = 1.
- Para un campo finito de característica impar , no todo elemento es un cuadrado, sino que todos son la suma de dos cuadrados, [1] por lo que p = 2.
- Según el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , todo número racional positivo es una suma de cuatro cuadrados, y no todos son sumas de tres cuadrados, por lo que p ( Q ) = 4.
Propiedades
- Todo entero positivo aparece como el número de Pitágoras de algún campo formalmente real . [2]
- El número de Pitágoras está relacionado con el Stufe por p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. [3] Si F no es formalmente real entonces s ( F ) ≤ p ( F ) ≤ s ( F ) + 1, [4] y ambos casos son posibles: para F = C tenemos s = p = 1, mientras que para F = F 5 tenemos s = 1, p = 2. [5]
- Como consecuencia, el número de Pitágoras de un cuerpo no formalmente real es una potencia de 2, o 1 más que una potencia de 2. Todos estos casos ocurren: es decir, para cada par ( s , p ) de la forma (2 k ,2 k ) o (2 k ,2 k + 1), existe un cuerpo F tal que ( s ( F ), p ( F )) = ( s , p ). [6] Por ejemplo, cuerpos cuadráticamente cerrados (p. ej., C ) y cuerpos de característica 2 (p. ej., F 2 ) dan ( s ( F ), p ( F )) = (1,1); para primos p ≡ 1 (mod 4), F p y el cuerpo p -ádico Q p dan (1,2); para primos p ≡ 3 (mod 4), F p da (2,2), y Q p da (2,3); Q 2 da (4,4), y el campo de funciones Q 2 ( X ) da (4,5).
- El número de Pitágoras está relacionado con la altura de un cuerpo F : si F es formalmente real entonces h ( F ) es la potencia más pequeña de 2 que no es menor que p ( F ); si F no es formalmente real entonces h ( F ) = 2 s ( F ). [7]
Notas
- ^ Lam (2005) pág. 36
- ^ Lam (2005) pág. 398
- ^ Rajwade (1993) pág. 44
- ^ Rajwade (1993) pág. 228
- ^ Rajwade (1993) pág. 261
- ^ Lam (2005) pág. 396
- ^ Lam (2005) pág. 395
Referencias
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN. 0-8218-1095-2.MR 2104929.Zbl 1068.11023 .
- Rajwade, AR (1993). Squares . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 171. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-42668-5.Zbl 0785.11022 .