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fracción continua simple

Una fracción continua simple o regular es una fracción continua cuyos numeradores son todos iguales a uno y cuyos denominadores están formados por una secuencia. { a i } {\displ...

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Una fracción continua simple o regular es una fracción continua cuyos numeradores son todos iguales a uno y cuyos denominadores están formados por una secuencia.{ai}{\displaystyle \{a_{i}\}}de números enteros . La secuencia puede ser finita o infinita, lo que da como resultado una fracción continua finita (o terminada ) comoa0+1a1+1a2+1⋱+1anorte{\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}} o una fracción continua infinita comoa0+1a1+1a2+1⋱.{\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}.}

Normalmente, una fracción continua de este tipo se obtiene mediante un proceso recursivo que comienza representando un número como la suma de su parte entera y su parte fraccionaria . Se registra el entero y el recíproco de la parte fraccionaria se representa recursivamente mediante otra fracción continua. En el caso finito , la recursión se detiene después de un número finito de pasos utilizando un entero en lugar de otra fracción continua. Por el contrario, una fracción continua infinita es una expresión infinita . En ambos casos, todos los enteros de la secuencia, excepto el primero, deben ser positivos .ai{\displaystyle a_{i}}se denominan coeficientes o términos de la fracción continua. [ 1 ]

Las fracciones continuas simples tienen una serie de propiedades notables relacionadas con el algoritmo euclidiano para números enteros o reales . Todo número racionalpag{\displaystyle p}/q{\displaystyle q}⁠ tiene dos expresiones estrechamente relacionadas como una fracción continua finita, cuyos coeficientes a i pueden determinarse aplicando el algoritmo euclidiano a(pag,q){\displaystyle (p,q)}El valor numérico de una fracción continua infinita es irracional ; se define a partir de su secuencia infinita de enteros como el límite de una secuencia de valores para fracciones continuas finitas. Cada fracción continua finita de la secuencia se obtiene utilizando un prefijo finito de la secuencia de enteros que define la fracción continua infinita. Además, todo número irracionalα{\displaystyle \alpha }es el valor de una fracción continua regular infinita única , cuyos coeficientes se pueden encontrar utilizando la versión no terminante del algoritmo euclidiano aplicado a los valores inconmensurables.α{\displaystyle \alpha }y 1. Esta forma de expresar números reales (racionales e irracionales) se denomina su representación en fracción continua .

Motivación y notación

Consideremos, por ejemplo, el número racional ⁠ 415 / 93 ⁠ , que es alrededor de 4.4624. Como primera aproximación , comenzamos con 4, que es la parte entera ; ⁠ 415 / 93 ⁠ = 4 + ⁠ 43 / 93 ⁠ . La parte fraccionaria es el recíproco de ⁠ 93 / 43 ⁠ que es alrededor de 2.1628. Usamos la parte entera, 2, como una aproximación para el recíproco para obtener una segunda aproximación de 4 + ⁠ 1 / 2 ⁠ = 4.5. Ahora, ⁠ 93 / 43 ⁠ = 2 + ⁠ 7 / 43 ⁠ ; La parte fraccionaria restante, 7/43 , es el recíproco de 43/7 , y 43/7 es aproximadamente 6,1429 . Usamos 6 como una aproximación para esto para obtener 2 + 1/6 como una aproximación para 93/43 y 4 + 1/2 + 1/6 , aproximadamente 4,4615 , como la tercera aproximación . Además , 43/7 = 6 + 1/7 . Finalmente, la parte fraccionaria, 1/7 , es el recíproco de 7 , por lo que su aproximación en este esquema, 7, es exacta ( 7/1 = 7 + 0/1 ) y produce la expresión exacta .4+12+16+17{\displaystyle 4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{7}}}}}}}para 415 / 93 .​​

Esa expresión se llama representación de fracción continua de 415 / 93. Esto se puede representar mediante la notación abreviada 415 / 93 = [4; 2, 6, 7]. Es costumbre colocar un punto y coma después del primer número para indicar que es la parte entera. Algunos libros de texto antiguos usan comas en la tupla ( n + 1) , por ejemplo, [4, 2, 6, 7]. [ 2 ] [ 3 ]

Si el número inicial es racional, este proceso es exactamente paralelo al algoritmo euclidiano aplicado al numerador y al denominador del número. En particular, debe terminar y producir una representación de fracción continua finita del número. La secuencia de enteros que aparecen en esta representación es la secuencia de cocientes sucesivos calculados por el algoritmo euclidiano. Si el número inicial es irracional , el proceso continúa indefinidamente. Esto produce una secuencia de aproximaciones, todas ellas números racionales, que convergen al número inicial como límite. Esta es la representación de fracción continua (infinita) del número. Ejemplos de representaciones de fracción continua de números irracionales son:

  • √ 19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...](secuencia A010124 en elOEIS). El patrón se repite indefinidamente con un período de 6.
  • e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...](secuencia A003417 en laOEIS). El patrón se repite indefinidamente con un período de 3, excepto que se agrega 2 a uno de los términos en cada ciclo.
  • π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] (secuencia A001203 en la OEIS ) . Nunca se ha encontrado ningún patrón en esta representación.
  • φ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] (secuencia A000012 en el OEIS ) . La proporción áurea , el número irracional que es el "más difícil" de aproximar racionalmente.
  • γ = [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,...] (secuencia A002852 en la OEIS ) . La constante de Euler-Mascheroni , que se espera que sea irracional pero no se sabe que lo sea, y cuya fracción continua no tiene un patrón aparente.

Las fracciones continuas son, en cierto modo, representaciones más "matemáticamente naturales" de un número real que otras representaciones, como las decimales , y poseen varias propiedades deseables:

  • La representación en fracción continua de un número real es finita si y solo si es un número racional. En cambio, la representación decimal de un número racional puede ser finita, por ejemplo 137 / 1600 = 0,085625 , o infinita con un ciclo repetitivo, por ejemplo 4 / 27 = 0,148148148148...
  • Cada número racional tiene una representación de fracción continua simple esencialmente única. Cada racional puede representarse de exactamente dos maneras, ya que [ a 0 ; a 1 ,... a n −1 , a n ] = [ a 0 ; a 1 ,... a n −1 ,( a n −1),1] . Por lo general, la primera, la más corta, se elige como la representación canónica .
  • La representación en fracción continua simple de un número irracional es única. (Sin embargo, es posible utilizar representaciones adicionales mediante fracciones continuas generalizadas ; véase más abajo).
  • Los números reales cuya fracción continua se repite son precisamente los irracionales cuadráticos . [ 4 ] Por ejemplo, la fracción continua periódica [1;1,1,1,...] es la proporción áurea , y la fracción continua periódica [1;2,2,2,...] es la raíz cuadrada de 2. En contraste, las representaciones decimales de los irracionales cuadráticos son aparentemente aleatorias . Las raíces cuadradas de todos los enteros (positivos) que no son cuadrados perfectos son irracionales cuadráticos y, por lo tanto, son fracciones continuas periódicas únicas.
  • Las sucesivas aproximaciones generadas al encontrar la representación en fracción continua de un número, es decir, al truncar dicha representación, son en cierto sentido (que se describe a continuación) las "mejores posibles".

Formulación

Una fracción continua en forma canónica es una expresión de la forma a0+1a1+1a2+1a3+11⋱{\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}} donde a i son números enteros, llamados coeficientes o términos de la fracción continua. [ 1 ]

Cuando la expresión contiene un número finito de términos, se denomina fracción continua finita . Cuando la expresión contiene un número infinito de términos, se denomina fracción continua infinita . [ 5 ] Cuando los términos se repiten a partir de cierto punto, la fracción continua se denomina periódica . [ 4 ]

Por lo tanto, todos los ejemplos siguientes ilustran fracciones continuas simples finitas válidas:

Para fracciones continuas simples de la forma r=a0+1a1+1a2+1a3+11⋱{\displaystyle r=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}} elanorte{\displaystyle a_{n}}El término se puede calcular a partir de la siguiente secuencia recursiva: Fnorte+1=1Fnorte−⌊Fnorte⌋{\displaystyle f_{n+1}={\frac {1}{f_{n}-\lfloor f_{n}\rfloor }}} dóndeF0=r{\displaystyle f_{0}=r}yanorte=⌊Fnorte⌋{\displaystyle a_{n}=\left\lfloor f_{n}\right\rfloor }.

De lo cual se puede entender que elanorte{\displaystyle a_{n}}La secuencia se detiene siFnorte=⌊Fnorte⌋{\displaystyle f_{n}=\lfloor f_{n}\rfloor }es un número entero.

Notaciones

Consideremos una fracción continua expresada como incógnita=a0+1a1+1a2+1a3+1a4{\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}}}}}}}}}} Debido a que una expresión fraccionaria continua de este tipo puede ocupar una cantidad significativa de espacio vertical, se han probado varios métodos para reducir su tamaño.

Gottfried Leibniz a veces utilizaba la notación [ 6 ].incógnita=a0+1a1+ 1a2+ 1a3+1a4,{\displaystyle {\begin{aligned}x=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}}}{{} \atop +}\\[28mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{2}}}{{} \atop +}\\[2mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{3}}}{{} \atop +}\end{aligned}}\!{\begin{aligned}\\[2mu]{\dfrac {1}{a_{4}}},\end{aligned}}} y más tarde la misma idea fue llevada aún más lejos con las barras de fracciones anidadas dibujadas alineadas, por ejemplo por Alfred Pringsheim como incógnita=a0+|1a1|+|1a2|+|1a3|+|1a4|,{\displaystyle x=a_{0}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{1}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{2}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{3}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{4}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}},} o en notaciones relacionadas más comunes como [ 7 ]incógnita=a0+1a1+1a2+1a3+1a4{\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}\,{1 \over a_{2}+}\,{1 \over a_{3}+}\,{1 \over a_{4}}} o incógnita=a0+1a1+1a2+1a3+1a4.{\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}}{{} \atop +}{1 \over a_{2}}{{} \atop +}{1 \over a_{3}}{{} \atop +}{1 \over a_{4}}.}

Carl Friedrich Gauss utilizó una notación que recuerda a la notación de sumatoria , incógnita=a0+K4i=1 1ai,{\displaystyle x=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {4}{\mathrm {K} }}}~{\frac {1}{a_{i}}},} o en los casos en que el numerador siempre es 1, se eliminaron por completo las barras de fracción, escribiendo un estilo de lista. incógnita=[a0;a1,a2,a3,a4].{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}].}

A veces, la notación de estilo lista utiliza corchetes angulares en su lugar, incógnita=⟨a0;a1,a2,a3,a4⟩.{\displaystyle x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right\rangle .}

El punto y coma en las notaciones de corchetes y corchetes angulares a veces se reemplaza por una coma. [ 2 ] [ 3 ]

También se pueden definir fracciones continuas simples infinitas como límites : [a0;a1,a2,a3,…]=límitenorte→∞[a0;a1,a2,…,anorte].{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots \,]=\lim _{n\to \infty }\,[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].} Este límite existe para cualquier elección dea0{\displaystyle a_{0}}y números enteros positivosa1,a2,…{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }. [ 8 ] [ 9 ]

Cálculo de representaciones de fracciones continuas

Consideremos un número real .r{\displaystyle r}⁠ . Dejai=⌊r⌋{\displaystyle i=\lfloor r\rfloor }y dejarF=r−i{\displaystyle f=ri}⁠ . Cuando ⁠F≠0{\displaystyle f\neq 0}⁠ , la representación fraccionaria continua der{\displaystyle r}es ​[i;a1,a2,…]{\displaystyle [i;a_{1},a_{2},\ldots ]}, donde[a1;a2,…]{\displaystyle [a_{1};a_{2},\ldots ]}es la representación en fracción continua de ⁠1/F{\displaystyle 1/f}⁠ . Cuando ⁠r≥0{\displaystyle r\geq 0}, entoncesi{\displaystyle i}es la parte entera der{\displaystyle r}, yF{\displaystyle f}es la parte fraccionaria der{\displaystyle r}⁠ .

Para calcular una representación en fracción continua de un númeror{\displaystyle r}, escribe el piso der{\displaystyle r}Resta este valor der{\displaystyle r}. Si la diferencia es 0, deténgase; de ​​lo contrario, encuentre el recíproco de la diferencia y repita. El procedimiento se detendrá si y solo sir{\displaystyle r}es racional. Este proceso se puede implementar de manera eficiente utilizando el algoritmo euclidiano cuando el número es racional.

La tabla que aparece a continuación muestra una implementación de este procedimiento para el número ⁠3.245=649/200{\displaystyle 3.245=649/200}:​

La fracción continua para ⁠3.245{\displaystyle 3.245}es así[3;4,12,4],{\displaystyle [3;4,12,4],}o, ampliado: 649200=3+14+112+14.{\displaystyle {\frac {649}{200}}=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}.}

Encontrar gráficamente la fracción continua de un número ajustando repetidamente el cuadrado más grande posible dentro de un rectángulo de esa proporción.

Recíprocos

Las representaciones en fracción continua de un número racional positivo y su recíproco son idénticas, excepto por un desplazamiento de un lugar a la izquierda o a la derecha, dependiendo de si el número es menor o mayor que uno, respectivamente. En otras palabras, los números representados por [a0;a1,a2,…,anorte]{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}y[0;a0,a1,…,anorte]{\displaystyle [0;a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}]}son recíprocos.

Por ejemplo, sia{\displaystyle a}es un número entero yincógnita<1{\displaystyle x<1}entonces   incógnita=0+1a+1b{\displaystyle x=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}y1incógnita=a+1b{\displaystyle {\frac {1}{x}}=a+{\frac {1}{b}}}.

Siincógnita>1{\displaystyle x>1}entonces   incógnita=a+1b{\displaystyle x=a+{\frac {1}{b}}}y1incógnita=0+1a+1b{\displaystyle {\frac {1}{x}}=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}.

El último número que genera el resto de la fracción continua es el mismo para ambos.incógnita{\displaystyle x}y su recíproco.

Por ejemplo,   2.25=94=[2;4]{\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]}y12.25=49=[0;2,4]{\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]}.

Fracciones continuas finitas

Toda fracción continua finita representa un número racional , y todo número racional puede representarse de dos maneras distintas como una fracción continua finita, con la condición de que el primer coeficiente sea un entero y los demás sean enteros positivos. Estas dos representaciones coinciden, excepto en sus términos finales. En la representación más larga, el término final de la fracción continua es 1; la representación más corta omite el 1 final, pero incrementa el nuevo término final en 1. Por lo tanto, el último elemento en la representación corta siempre es mayor que 1, si está presente. En símbolos:

[ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a n − 1 , a n , 1] = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a n − 1 , a n + 1] .
[ a 0 ; 1] = [ a 0 + 1] .

Fracciones continuas infinitas y convergentes

Convergentes que se aproximan a la proporción áurea

Toda fracción continua infinita es irracional , y todo número irracional puede representarse de una única manera como una fracción continua infinita.

Una representación en fracción continua infinita para un número irracional es útil porque sus segmentos iniciales proporcionan aproximaciones racionales al número. Estos números racionales se denominan convergentes de la fracción continua. [ 10 ] [ 11 ] Cuanto mayor sea un término en la fracción continua, más cerca estará el convergente correspondiente del número irracional que se está aproximando. Números como π tienen ocasionalmente términos grandes en su fracción continua, lo que facilita su aproximación con números racionales. Otros números como e tienen solo términos pequeños al principio de su fracción continua, lo que dificulta su aproximación racional. La proporción áurea φ tiene términos iguales a 1 en todas partes —los valores más pequeños posibles—, lo que convierte a φ en el número más difícil de aproximar racionalmente. En este sentido, por lo tanto, es el "más irracional" de todos los números irracionales. Los convergentes pares son menores que el número original, mientras que los impares son mayores.

Para una fracción continua [ a 0 ; a 1 , a 2 , ...] , las primeras cuatro convergentes (numeradas del 0 al 3) son a01,a1a0+1a1,a2(a1a0+1)+a0a2a1+1,a3(a2(a1a0+1)+a0)+(a1a0+1)a3(a2a1+1)+a1.{\displaystyle {\frac {a_{0}}{1}},\,{\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\,{\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\,{\frac {a_{3}{\bigl (}a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}{\bigr )}+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.}

El numerador de la tercera convergente se forma multiplicando el numerador de la segunda convergente por el tercer coeficiente y sumando el numerador de la primera convergente. Los denominadores se forman de manera similar. Por lo tanto, cada convergente puede expresarse explícitamente en términos de la fracción continua como la razón de ciertos polinomios multivariables llamados continuos .

Si se encuentran convergentes sucesivos, con numeradores h 1 , h 2 , ... y denominadores k 1 , k 2 , ... entonces la relación recursiva relevante es la de los corchetes gaussianos : hnorte=anortehnorte−1+hnorte−2,knorte=anorteknorte−1+knorte−2.{\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}&=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\\[3mu]k_{n}&=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.\end{aligned}}}

Las convergentes sucesivas vienen dadas por la fórmula hnorteknorte=anortehnorte−1+hnorte−2anorteknorte−1+knorte−2.{\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.}

Así , para incorporar un nuevo término a una aproximación racional, solo son necesarios los dos convergentes anteriores. Los "convergentes" iniciales (necesarios para los dos primeros términos) son 0/1 y 1/0 . Por ejemplo , aquí están los convergentes para [0; 1,5,2,2 ].

Al utilizar el método babilónico para generar aproximaciones sucesivas a la raíz cuadrada de un entero, si se comienza con el entero más pequeño como primer aproximante, todos los racionales generados aparecen en la lista de convergentes para la fracción continua. Específicamente, los aproximantes aparecerán en la lista de convergentes en las posiciones 0, 1, 3, 7, 15, ... , 2 k −1 , ... Por ejemplo, la expansión en fracción continua para3{\displaystyle {\sqrt {3}}}es [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...] . Comparando las convergentes con las aproximaciones derivadas del método babilónico:

x 0 = 1 = 1 / 1
x 1 = 1 / 2 ( 1 + 3 / 1 ) = 2 / 1 = 2​​
x 2 = 1 / 2 ( 2 + 3 / 2 ) = 7 / 4​​​
x 3 = 1 / 2 ( 7 / 4 + 3 / 7 / 4 ) = 97 / 56​​​​​​​​​

Propiedades

El espacio de Baire es un espacio topológico sobre secuencias infinitas de números naturales. La fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo del espacio de Baire al espacio de los números reales irracionales (con la topología de subespacio heredada de la topología usual sobre los reales). La fracción continua infinita también proporciona una aplicación entre los irracionales cuadráticos y los racionales diádicos , y de otros irracionales al conjunto de cadenas infinitas de números binarios (es decir, el conjunto de Cantor ); esta aplicación se denomina función de signo de interrogación de Minkowski . La aplicación posee interesantes propiedades fractales autosimilares ; estas vienen dadas por el grupo modular , que es el subgrupo de transformaciones de Möbius con valores enteros en la transformada. En términos generales, las convergentes de la fracción continua pueden considerarse transformaciones de Möbius que actúan sobre el semiplano superior (hiperbólico) ; esto es lo que conduce a la auto-simetría fractal.

La distribución de probabilidad límite de los coeficientes en la expansión en fracción continua de una variable aleatoria uniformemente distribuida en (0, 1) es la distribución de Gauss-Kuzmin .

Algunos teoremas útiles

Si a0 ,{\displaystyle \ a_{0}\ ,}a1 ,{\displaystyle a_{1}\ ,}a2 ,{\displaystyle a_{2}\ ,} … {\displaystyle \ \ldots \ }es una secuencia infinita de enteros positivos, defina las secuencias hnorte {\displaystyle \ h_{n}\ }y knorte {\displaystyle \ k_{n}\ }recursivamente:

Teorema 1. Para cualquier número real positivo incógnita {\displaystyle \ x\ }

[ a0; a1, …,anorte−1,incógnita ]=incógnita hnorte−1+hnorte−2 incógnita knorte−1+knorte−2 ,[ a0; a1, …,anorte−1+incógnita ]=hnorte−1+incógnitahnorte−2 knorte−1+incógnitaknorte−2 {\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1},x\ \right]={\frac {x\ h_{n-1}+h_{n-2}}{\ x\ k_{n-1}+k_{n-2}\ }},\quad \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1}+x\ \right]={\frac {h_{n-1}+xh_{n-2}}{\ k_{n-1}+xk_{n-2}\ }}}

Teorema 2. Las convergentes de [ a0 ;{\displaystyle \ [\ a_{0}\ ;} a1 ,{\displaystyle a_{1}\ ,}a2 ,{\displaystyle a_{2}\ ,}… ] {\displaystyle \ldots \ ]\ }son dados por

[ a0; a1, …,anorte ]=hnorte knorte  .{\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n}\ \right]={\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}~.} o en forma matricial,[hnortehnorte−1knorteknorte−1]=[a0110]⋯[anorte110]{\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}

Teorema 3. Si el norte{\displaystyle \ n}La convergente a una fracción continua es hnorteknorte ,{\displaystyle \ {\frac {h_{n}}{k_{n}}}\ ,}entonces knorte hnorte−1−knorte−1 hnorte=(−1)norte ,{\displaystyle k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}=(-1)^{n}\ ,} o equivalentemente hnorte knorte −hnorte−1 knorte−1 =(−1)norte+1 knorte−1 knorte  .{\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-1}}{\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n-1}\ k_{n}\ }}~.}

Corolario 1: Cada convergente está en su mínima expresión (porque si hnorte {\displaystyle \ h_{n}\ }y knorte {\displaystyle \ k_{n}\ }si tuviera un divisor común no trivial, lo dividiría knorte hnorte−1−knorte−1 hnorte ,{\displaystyle \ k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}\ ,}lo cual es imposible).

Corolario 2: La diferencia entre convergentes sucesivas es una fracción cuyo numerador es la unidad: hnorteknorte−hnorte−1knorte−1= hnorte knorte−1−knorte hnorte−1  knorte knorte−1 =(−1)norte+1 knorte knorte−1  .{\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {\ h_{n}\ k_{n-1}-k_{n}\ h_{n-1}\ }{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}~.}

Corolario 3: La fracción continua es equivalente a una serie de términos alternados: a0+∑norte=0∞(−1)norte knorte knorte+1  .{\displaystyle a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}

Corolario 4: La matriz [hnortehnorte−1knorteknorte−1]=[a0110]⋯[anorte110]{\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}} tiene determinante(−1)norte+1{\displaystyle (-1)^{n+1}}y por lo tanto pertenece al grupo de  2×2 {\displaystyle \ 2\times 2\ }matrices unimodulares GRAMOL(2,Z) .{\displaystyle \ \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )~.}

Corolario 5: La matriz[hnortehnorte−2knorteknorte−2]=[hnorte−1hnorte−2knorte−1knorte−2][anorte011]{\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-2}\\k_{n}&k_{n-2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{n-1}&h_{n-2}\\k_{n-1}&k_{n-2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}&0\\1&1\end{bmatrix}}} tiene determinante(−1)norteanorte{\displaystyle (-1)^{n}a_{n}}, o equivalentemente,hnorte knorte −hnorte−2 knorte−2 =(−1)norte knorte−2 knorte anorte{\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-2}}{\ k_{n-2}\ }}={\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n-2}\ k_{n}\ }}a_{n}}lo que significa que los términos impares disminuyen monótonamente, mientras que los términos pares aumentan monótonamente.

Corolario 6: La secuencia del denominadork0,k1,k2,…{\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2},\dots }satisface la relación de recurrenciak−1=0,k0=1,knorte=knorte−1anorte+knorte−2{\displaystyle k_{-1}=0,k_{0}=1,k_{n}=k_{n-1}a_{n}+k_{n-2}}y crece al menos tan rápido como la secuencia de Fibonacci , que a su vez crece comoO(ϕnorte){\displaystyle O(\phi ^{n})}dóndeϕ=1.618…{\displaystyle \phi =1.618\dots }es la proporción áurea .

Teorema 4. Cada ( s{\displaystyle \ s}th) convergente está más cerca de un subsiguiente ( norte{\displaystyle \ n}th) convergente que cualquier precedente ( r{\displaystyle \ r}th) convergente es. En símbolos, si el norte{\displaystyle \ n}La convergente se toma como [ a0; a1, …, anorte ]=incógnitanorte ,{\displaystyle \ \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{n}\ \right]=x_{n}\ ,}entonces

| incógnitar−incógnitanorte |>| incógnitas−incógnitanorte |{\displaystyle \left|\ x_{r}-x_{n}\ \right|>\left|\ x_{s}-x_{n}\ \right|}

a pesar de r<s<norte .{\displaystyle \ r<s<n~.}

Corolario 1: Las convergentes pares (antes de la norte{\displaystyle \ n}th) aumentan continuamente, pero siempre son menores que incógnitanorte .{\displaystyle \ x_{n}~.}

Corolario 2: Las convergentes impares (antes de la norte{\displaystyle \ n}th) disminuyen continuamente, pero siempre son mayores que incógnitanorte .{\displaystyle \ x_{n}~.}

Teorema 5.

1 knorte (knorte+1+knorte) <| incógnita−hnorte knorte  |<1 knorte knorte+1  .{\displaystyle {\frac {1}{\ k_{n}\ (k_{n+1}+k_{n})\ }}<\left|\ x-{\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}\ \right|<{\frac {1}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}

Corolario 1: Una fracción convergente está más cerca del límite de la fracción continua que cualquier fracción cuyo denominador sea menor que el de la fracción convergente.

Corolario 2: Una convergente obtenida al terminar la fracción continua justo antes de un término grande es una aproximación cercana al límite de la fracción continua.

Teorema 6: Consideremos el conjunto de todos los intervalos abiertos con puntos extremos[0;a1,…,anorte],[0;a1,…,anorte+1]{\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]}Denótelo comodo{\displaystyle {\mathcal {C}}}. Cualquier subconjunto abierto de[0,1]∖Q{\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }es una unión disjunta de conjuntos dedo{\displaystyle {\mathcal {C}}}.

Corolario: La fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo del espacio de Baire a[0,1]∖Q{\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }.

Semiconvergentes

Si hnorte−1knorte−1,hnorteknorte{\displaystyle {\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}},{\frac {h_{n}}{k_{n}}}} son convergentes consecutivas, entonces cualquier fracción de la forma hnorte−1+metrohnorteknorte−1+metroknorte,{\displaystyle {\frac {h_{n-1}+mh_{n}}{k_{n-1}+mk_{n}}},} dóndemetro{\displaystyle m}es un número entero tal que0≤metro≤anorte+1{\displaystyle 0\leq m\leq a_{n+1}}, se denominan semiconvergentes , convergentes secundarias o fracciones intermedias .(metro+1){\displaystyle (m+1)}-st semiconvergente es igual a la mediana de lametro{\displaystyle m}-ésimo uno y el convergentehnorteknorte{\displaystyle {\tfrac {h_{n}}{k_{n}}}}. A veces el término se entiende que ser semiconvergente excluye la posibilidad de ser convergente (es decir,0<metro<anorte+1{\displaystyle 0<m<a_{n+1}}), en lugar de que una convergente sea una especie de semiconvergente.

De ello se deduce que las semiconvergentes representan una secuencia monótona de fracciones entre las convergentes.hnorte−1knorte−1{\displaystyle {\tfrac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}}(correspondiente ametro=0{\displaystyle m=0}) yhnorte+1knorte+1{\displaystyle {\tfrac {h_{n+1}}{k_{n+1}}}}(correspondiente ametro=anorte+1{\displaystyle m=a_{n+1}}). Los semiconvergentes consecutivosab{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}ydod{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}satisfacer la propiedadad−bdo=±1{\displaystyle ad-bc=\pm 1}.

Si una aproximación racionalpagq{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}a un número realincógnita{\displaystyle x}es tal que el valor|incógnita−pagq|{\displaystyle \left|x-{\tfrac {p}{q}}\right|}es menor que el de cualquier aproximación con un denominador menor, entoncespagq{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}es una semiconvergente de la expansión en fracción continua deincógnita{\displaystyle x}Sin embargo, lo contrario no es cierto.

Mejores aproximaciones racionales

Se puede optar por definir la mejor aproximación racional a un número real x como un número racional n / d , d > 0 , que esté más cerca de x que cualquier aproximación con un denominador menor o igual. La fracción continua simple para x se puede utilizar para generar todas las mejores aproximaciones racionales para x aplicando estas tres reglas:

  1. Trunca la fracción continua y reduce su último término en una cantidad elegida (posiblemente cero).
  2. El término reducido no puede tener menos de la mitad de su valor original.
  3. Si el último término es par, la mitad de su valor solo es admisible si el término semiconvergente correspondiente es mejor que el término convergente anterior. (Véase más abajo).

Por ejemplo, 0,84375 tiene una fracción continua [0;1,5,2,2]. Aquí están todas sus mejores aproximaciones racionales.

Mejores aproximaciones racionales para números irracionalesπ{\displaystyle \pi }( círculo verde ),mi{\displaystyle e}( diamante azul ),ϕ{\displaystyle \phi }( oblongo rosa ),3/2{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}( hexágono gris ),1/2{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}( octágono rojo ) y1/3{\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}( triángulo naranja ) calculado a partir de sus expansiones fraccionarias continuas, representadas como pendientesy/incógnita{\displaystyle y/x}con errores respecto a sus valores reales ( guiones negros ) 
  • v
  • t
  • mi

El aumento estrictamente monótono de los denominadores a medida que se incluyen términos adicionales permite que un algoritmo imponga un límite, ya sea en el tamaño del denominador o en la precisión de la aproximación.

La "regla de la mitad" mencionada anteriormente requiere que cuando a k es par, el término dividido por la mitad a k /2 es admisible si y solo si | x − [ a 0  ; a 1 , ..., a k − 1 ]| > | x − [ a 0  ; a 1 , ..., a k − 1 , a k /2]| . [ 12 ] Esto es equivalente a: [ 13 ]

[ a k ; a k − 1 , ..., a 1 ] > [ a k ; a k + 1 , ...] .

Las convergencias a x son "mejores aproximaciones" en un sentido mucho más estricto que el definido anteriormente. Es decir, n / d converge a x si y solo si | dx − n | tiene el valor más pequeño entre las expresiones análogas para todas las aproximaciones racionales m / c con c ≤ d ; es decir, tenemos | dx − n | < | cx − m | siempre que c < d . (Nótese también que | d k x − n k | → 0 cuando k → ∞ ).

Mejor racionalidad dentro de un intervalo

Un número racional que se encuentra dentro del intervalo ( x , y ) , para 0 < x < y , se puede encontrar con las fracciones continuas para x e y . Cuando tanto x como y son irracionales y

x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k − 1 , a k , a k + 1 , ...]
y = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k − 1 , b k , b k + 1 , ...]

donde x e y tienen expansiones de fracciones continuas idénticas hasta k −1 , un racional que cae dentro del intervalo ( x , y ) está dado por la fracción continua finita,

z ( x , y ) = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k − 1 , min( a k , b k ) + 1]

Este racional será el mejor en el sentido de que ningún otro racional en ( x , y ) tendrá un numerador menor o un denominador menor. [ 14 ] [ 15 ]

Si x es racional, tendrá dos representaciones de fracción continua que son finitas , x 1 y x 2 , y de manera similar un racional y tendrá dos representaciones, y 1 y y 2. Los coeficientes más allá del último en cualquiera de estas representaciones deben interpretarse como +∞ ; y el mejor racional será uno de z ( x 1 , y 1 ) , z ( x 1 , y 2 ) , z ( x 2 , y 1 ) , o z ( x 2 , y 2 ) . 

Por ejemplo, la representación decimal 3.1416 podría redondearse a partir de cualquier número en el intervalo [ 3.14155, 3.14165) . Las representaciones fraccionarias continuas de 3.14155 y 3.14165 son

3.14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]
3.14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

y la mejor razón entre estas dos es

[3; 7, 16] = 355 / 113 = 3.1415929 ....

Por lo tanto, 355 / 113 es el mejor número racional que corresponde al número decimal redondeado 3.1416, en el sentido de que ningún otro número racional que se redondearía a 3.1416 tendrá un numerador más pequeño o un denominador más pequeño .

Intervalo para una convergencia

Un número racional, que puede expresarse como una fracción continua finita de dos maneras,

z = [ a 0 ; a 1 , ..., a k − 1 , a k , 1] = [ a 0 ; a 1 , ..., a k − 1 , a k + 1] = ⁠ p k / q k ⁠

será una de las convergentes para la expansión en fracción continua de un número, si y solo si el número está estrictamente entre (ver esta demostración ).

x = [ a 0 ; a 1 , ..., a k − 1 , a k , 2] = ⁠ 2 p k - p k-1 / 2 q k - q k-1 ⁠ y
y = [ a 0 ; a 1 , ..., a k − 1 , a k + 2] = ⁠ p k + p k-1 / q k + q k-1 ⁠

Los números x e y se forman incrementando el último coeficiente en las dos representaciones de z . Se cumple que x < y cuando k es par, y x > y cuando k es impar.

Por ejemplo, el número ⁠ 355 / 113 ⁠ ( fracción de Zu ) tiene las siguientes representaciones de fracciones continuas:

⁠ 355 / 113 ⁠ = [3; 7, 15, 1] ​​= [3; 7, 16]

y por lo tanto ⁠ 355 / 113 ⁠ es una convergente de cualquier número estrictamente entre

Teorema de Legendre sobre fracciones continuas

En su Ensayo sobre la teoría de los nombres (1798), Adrien-Marie Legendre deduce una condición necesaria y suficiente para que un número racional sea convergente de la fracción continua de un número real dado. [ 16 ] Una consecuencia de este criterio, a menudo llamado teorema de Legendre dentro del estudio de las fracciones continuas, es la siguiente: [ 17 ]

Teorema . Si α es un número real y p , q son enteros positivos tales que|α−pagq|<12q2{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}, entonces p / q es una convergente de la fracción continua de α .

Este teorema constituye la base del ataque de Wiener , una explotación en tiempo polinomial del protocolo criptográfico RSA que puede ocurrir por una elección imprudente de claves públicas y privadas (específicamente, este ataque tiene éxito si los factores primos de la clave pública n = pq satisfacen p < q < 2 p y la clave privada d es menor que (1/3) n 1/4 ). [ 19 ]

Comparación

Consideremos x = [ a 0 ; a 1 , ...] e y = [ b 0 ; b 1 , ...] . Si k es el índice más pequeño para el cual a k es distinto de b k, entonces x < y si ( −1) k ( a k − b k ) < 0 e y < x en caso contrario.

Si no existe tal k , pero una expansión es más corta que la otra, digamos x = [ a 0 ; a 1 , ..., a n ] e y = [ b 0 ; b 1 , ..., b n , b n + 1 , ...] con a i = b i para 0 ≤ i ≤ n , entonces x < y si n es par e y < x si n es impar.

Desarrollo en fracciones continuas de π y sus convergentes

Para calcular las convergentes de π podemos establecer a 0 = ⌊ π ⌋ = 3 , definir u 1 = ⁠ 1 / π − 3 ⁠ ≈ 7.0625 y a 1 = ⌊ u 1 ⌋ = 7 , u 2 = ⁠ 1 / u 1 − 7 ⁠ ≈ 15.9966 y a 2 = ⌊ u 2 ⌋ = 15 , u 3 = ⁠ 1 / u 2 − 15 ⁠ ≈ 1.0034 . Continuando así, se puede determinar la fracción continua infinita de π como

[3;7,15,1,292,1,1,...] (secuencia A001203 en el OEIS ) .

La cuarta convergente de π es [3;7,15,1] = ⁠ 355 / 113 ⁠ = 3.14159292035..., a veces llamada Milü , que está bastante cerca del verdadero valor de π .

Supongamos que los cocientes hallados son, como se indicó anteriormente, [3;7,15,1]. A continuación, se presenta una regla que nos permite escribir de inmediato las fracciones convergentes resultantes de estos cocientes sin desarrollar la fracción continua.

El primer cociente, supuestamente dividido por la unidad, dará la primera fracción, que será demasiado pequeña, a saber, ⁠ 3 / 1 ⁠ . Luego, multiplicando el numerador y el denominador de esta fracción por el segundo cociente y sumando la unidad al numerador, tendremos la segunda fracción, ⁠ 22 / 7 ⁠ , que será demasiado grande. Multiplicando de manera similar el numerador y el denominador de esta fracción por el tercer cociente, y sumando al numerador el numerador de la fracción anterior, y al denominador el denominador de la fracción anterior, tendremos la tercera fracción, que será demasiado pequeña. Así, siendo el tercer cociente 15, tenemos para nuestro numerador (22 × 15 = 330) + 3 = 333 , y para nuestro denominador, (7 × 15 = 105) + 1 = 106 . Por lo tanto , la tercera convergente es 333 / 106. Procedemos de la misma manera para la cuarta convergente. Siendo el cuarto cociente 1, decimos que 333 por 1 es 333, y esto más 22, el numerador de la fracción anterior, es 355; de manera similar, 106 por 1 es 106, y esto más 7 es 113. De esta forma, empleando los cuatro cocientes [3;7,15,1], obtenemos las cuatro fracciones:

3 / 1 , 22 / 7 , 333 / 106 , 355 / 113 , ....​​​​​​​
El siguiente código Maple generará expansiones en fracciones continuas de pi.

En resumen, el patrón es Numeradori=Numerador(i−1)⋅Cocientei+Numerador(i−2){\displaystyle {\text{Numerator}}_{i}={\text{Numerator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Numerator}}_{(i-2)}}Denominadori=Denominador(i−1)⋅Cocientei+Denominador(i−2){\displaystyle {\text{Denominator}}_{i}={\text{Denominator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Denominator}}_{(i-2)}}

Estas convergentes son alternativamente menores y mayores que el valor verdadero de π , y se aproximan cada vez más a π . La diferencia entre una convergente dada y π es menor que el recíproco del producto de los denominadores de esa convergente y la siguiente convergente. Por ejemplo, la fracción ⁠ 22 / 7 ⁠ es mayor que π , pero ⁠ 22 / 7 ⁠ − π es menor que ⁠ 1 / 7 × 106 ⁠ = ⁠ 1 / 742 ⁠ ​​(de hecho, ⁠ 22 / 7 ⁠ − π es un poco mayor que ⁠ 1 / 791 ⁠ = ⁠ 1 / 7 × 113 ⁠ ).  

La demostración de las propiedades anteriores se deduce del hecho de que si buscamos la diferencia entre una de las fracciones convergentes y la siguiente adyacente, obtendremos una fracción cuyo numerador es siempre la unidad y cuyo denominador es el producto de los dos denominadores. Así, la diferencia entre ⁠ 22 / 7 ⁠ y ⁠ 3 / 1 ⁠ es ⁠ 1 / 7 ⁠ , en exceso; entre ⁠ 333 / 106 ⁠ y ⁠ 22 / 7 ⁠ , ⁠ 1 / 742 ⁠ ​​, en déficit; entre ⁠ 355 / 113 ⁠ y ⁠ 333 / 106 ⁠ , ⁠ 1 / 11978 ⁠ , en exceso; y así sucesivamente. El resultado es que, empleando esta serie de diferencias, podemos expresar de otra manera, muy sencilla, las fracciones que nos interesan, mediante una segunda serie de fracciones cuyos numeradores son todos iguales a la unidad y cuyos denominadores son sucesivamente el producto de cada par de denominadores adyacentes. En lugar de las fracciones escritas anteriormente, tenemos la siguiente serie:

3 / 1 + 1 / 1 × 7 − 1 /7 × 106 + 1 / 106 × 113 − ...​

El primer término, como vemos, es la primera fracción; el primero y el segundo juntos dan la segunda fracción, 22/7 ; el primero , el segundo y el tercero dan la tercera fracción , 333/106 , y así sucesivamente con el resto; el resultado es que la serie completa es equivalente al valor original.

Fracción continua no simple

Una fracción continua no simple es una expresión de la forma incógnita=b0+a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+⋱{\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}} donde los a n ( n > 0) son los numeradores parciales, los b n son los denominadores parciales, y el término principal b 0 se llama la parte entera de la fracción continua.

Para ilustrar el uso de fracciones continuas no simples, consideremos el siguiente ejemplo. La secuencia de denominadores parciales de la fracción continua simple de π no muestra ningún patrón obvio: π=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,…]{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots ]} o π=3+17+115+11+1292+11+11+11+12+11+13+11+⋱{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Sin embargo, varias fracciones continuas no simples para π tienen una estructura perfectamente regular, como por ejemplo: π=41+122+322+522+722+922+⋱=41+123+225+327+429+⋱=3+126+326+526+726+926+⋱{\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}π=2+21+11/2+11/3+11/4+⋱=2+21+1⋅21+2⋅31+3⋅41+⋱{\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1/2+{\cfrac {1}{1/3+{\cfrac {1}{1/4+\ddots }}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}π=2+43+1⋅34+3⋅54+5⋅74+⋱{\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {4}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ddots }}}}}}}}}

Los dos primeros son casos especiales de la función arcotangente con π = 4 arctan (1) y el cuarto y el quinto se pueden derivar utilizando el producto de Wallis . [ 20 ] [ 21 ]

π=3+16+13+236⋅12+1213+23+33+436⋅22+2213+23+33+43+53+636⋅32+3213+23+33+43+53+63+73+836⋅42+⋱{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}}{6\cdot 1^{2}+1^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}{6\cdot 2^{2}+2^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}}{6\cdot 3^{2}+3^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}}{6\cdot 4^{2}+\ddots }}}}}}}}}}} La fracción continua deπ{\displaystyle \pi }Lo anterior, que consiste en cubos, utiliza la serie de Nilakantha y una explotación de Leonhard Euler. [ 22 ]

Otras expansiones de fracciones continuas

fracciones periódicas continuas

Los números con desarrollo en fracción continua periódica son precisamente las soluciones irracionales de ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales; las soluciones racionales tienen desarrollos en fracción continua finitos, como se indicó anteriormente. Los ejemplos más sencillos son la razón áurea φ = [1;1,1,1,1,1,...] y √2 = [1;2,2,2,2,...], mientras que √14 = [ 3 ;1,2,1,6,1,2,1,6...] y √42 = [6;2,12,2,12,2,12...]. Todas las raíces cuadradas irracionales de enteros tienen una forma especial para el período: una cadena simétrica, como la cadena vacía (para √2 ) o 1,2,1 (para √14 ), seguida del doble del entero principal.

Una propiedad de la proporción áurea φ

Debido a que la expansión en fracción continua para φ no utiliza ningún entero mayor que 1, φ es uno de los números reales más "difíciles" de aproximar con números racionales. El teorema de Hurwitz [ 23 ] establece que cualquier número irracional k puede aproximarse mediante infinitos números racionales m / n con|k−metronorte|<1norte25.{\displaystyle \left|k-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.}

Si bien prácticamente todos los números reales k eventualmente tendrán infinitos convergentes m / n cuya distancia a k es significativamente menor que este límite, los convergentes para φ (es decir, los números 5 / 3 , 8 / 5 , 13 / 8 , 21 / 13 , etc. ) consistentemente " se acercan al límite " , manteniendo una distancia de casi exactamente1norte25{\displaystyle {\scriptstyle {1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}}}lejos de φ, por lo que nunca se produce una aproximación tan impresionante como, por ejemplo, ⁠ 355 / 113 ⁠ para π . También se puede demostrar que todo número real de la forma ⁠ a + b φ / c + d φ ⁠ , donde a , b , c , y d son enteros tales que a d − b c = ±1 , comparte esta propiedad con la proporción áurea φ; y que todos los demás números reales pueden aproximarse más estrechamente.

Patrones regulares en fracciones continuas

Si bien no hay un patrón discernible en la expansión en fracción continua simple de π , sí lo hay para e , la base del logaritmo natural : mi=mi1=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,…],{\displaystyle e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ],} que es un caso especial de esta expresión general para un entero positivo n : mi1/norte=[1;norte−1,1,1,3norte−1,1,1,5norte−1,1,1,7norte−1,1,1,…].{\displaystyle e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}

Otro patrón más complejo aparece en esta expansión fraccionaria continua para n impar positivo : mi2/norte=[1;norte−12,6norte,5norte−12,1,1,7norte−12,18norte,11norte−12,1,1,13norte−12,30norte,17norte−12,1,1,…],{\displaystyle e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,} con un caso especial para n = 1 : mi2=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1…,3k,12k+6,3k+2,1,1…].{\displaystyle e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.}

Otras fracciones continuas de este tipo son tanh⁡(1/norte)=[0;norte,3norte,5norte,7norte,9norte,11norte,13norte,15norte,17norte,19norte,…]{\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]} donde n es un entero positivo; además, para entero n : broncearse⁡(1/norte)=[0;norte−1,1,3norte−2,1,5norte−2,1,7norte−2,1,9norte−2,1,…],{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,} con un caso especial para n = 1 : broncearse⁡(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,…].{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.}

Si I n ( x ) es la función de Bessel modificada, o hiperbólica, de primera especie, podemos definir una función en los racionales ⁠ p / q ⁠ mediante S(pag/q)=Ipag/q(2/q)I1+pag/q(2/q)=I2+pag/q(2/q)+pag+qq2,{\displaystyle S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}}=I_{2+p/q}(2/q)+{\frac {p+q}{q^{2}}},}[ 24 ] que se define para todos los números racionales, conpyqen términos mínimos. [ 25 ] Entonces, para todos los racionales no negativos, tenemos S(pag/q)=[pag+q;pag+2q,pag+3q,pag+4q,…],{\displaystyle S(p/q)=[p+q;p+2q,p+3q,p+4q,\dots ],} con fórmulas similares para racionales negativos; en particular tenemos S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,…].{\displaystyle S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,\dots ].}

Muchas de las fórmulas se pueden demostrar utilizando la fracción continua de Gauss .

fracciones continuas típicas

La mayoría de los números irracionales no presentan un comportamiento periódico o regular en su desarrollo en fracción continua. Sin embargo, para casi todos los números del intervalo unitario, presentan el mismo comportamiento límite.

La media aritmética diverge:límitenorte→∞1norte∑k=1norteak=+∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=+\infty }y, por lo tanto, los coeficientes crecen de forma arbitrariamente grande:límite superiornorteanorte=+∞{\displaystyle \limsup _{n}a_{n}=+\infty }. En particular, esto implica que casi todos los números son bien aproximables, en el sentido de quelímite inferiornorte→∞|incógnita−pagnorteqnorte|qnorte2=0{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|q_{n}^{2}=0}Khinchin demostró que la media geométrica de un i tiende a una constante (conocida como la constante de Khinchin ):límitenorte→∞(a1a2...anorte)1/norte=K0=2.6854520010…{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2.6854520010\dots }Paul Lévy demostró que la raíz enésima del denominador de la enésima convergente converge a la constante de Lévy.límitenorte→∞qnorte1/norte=miπ2/(12ln⁡2)=3.2758…{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }q_{n}^{1/n}=e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.2758\ldots }El teorema de Lochs establece que las convergentes convergen exponencialmente a una tasa delímitenorte→∞1norteln⁡|incógnita−pagnorteqnorte|=−π26ln⁡2{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}

Aplicaciones

La ecuación de Pell

Las fracciones continuas desempeñan un papel esencial en la solución de la ecuación de Pell . Por ejemplo, para enteros positivos p y q , y n no cuadrado , si p² − nq² = ±1 , entonces p / q es una convergente de la fracción continua regular para √n . Lo contrario se cumple si el período de la fracción continua regular para √n es 1, y en general el período describe qué convergentes dan soluciones a la ecuación de Pell . [ 26 ]

Sistemas dinámicos

Las fracciones continuas también desempeñan un papel importante en el estudio de los sistemas dinámicos , donde vinculan las fracciones de Farey , que se observan en el conjunto de Mandelbrot, con la función de interrogación de Minkowski y el grupo modular Gamma.

El operador de desplazamiento hacia atrás para fracciones continuas es el mapeo h ( x ) = 1/ x − ⌊1/ x ⌋ llamado mapeo de Gauss , que elimina dígitos de una expansión de fracción continua: h ([0; a 1 , a 2 , a 3 , ...]) = [0; a 2 , a 3 , ...] . El operador de transferencia de este mapeo se llama operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing . La distribución de los dígitos en fracciones continuas viene dada por el vector propio de orden cero de este operador, y se llama distribución de Gauss-Kuzmin .

Historia

Cataldi representó una fracción continua comoa0{\displaystyle a_{0}}&norte1d1⋅{\displaystyle {\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}}&norte2d2⋅{\displaystyle {\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}}&norte3d3⋅{\displaystyle {\frac {n_{3}}{d_{3}\cdot }}}con los puntos indicando dónde fueron las siguientes fracciones.

Véase también

Notas

  1. 1 2 Pettofrezzo y Byrkit 1970 , pág. 150.
  2. 1 2 Long 1972 , pág. 173.
  3. 1 2 Pettofrezzo y Byrkit 1970 , pág. 152.
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