Subcolector

Una subvariedad inmersa de una variedad${\displaystyle M}$es la imagen${\displaystyle S}$de un mapa de inmersión${\displaystyle f:N\rightarrow M}$; en general, esta imagen no será una subvariedad como subconjunto, y un mapa de inmersión ni siquiera tiene por qué ser inyectivo (uno a uno); puede tener autointersecciones. ^{[ 1 ]}

Más concretamente, se puede exigir que el mapa${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ser una inyección (uno a uno), en la que la llamamos inmersión inyectiva , y definimos una subvariedad inmersa como el subconjunto de la imagen.${\displaystyle S}$junto con una topología y una estructura diferencial tales que${\displaystyle S}$es un colector y la inclusión${\displaystyle f}$es un difeomorfismo : esta es simplemente la topología en${\displaystyle N}$, que en general no coincidirá con la topología del subconjunto: en general el subconjunto${\displaystyle S}$no es una subvariedad de${\displaystyle M}$, en la topología de subconjuntos.

Dada cualquier inmersión inyectiva${\displaystyle f:N\rightarrow M}$la imagen de${\displaystyle N}$en${\displaystyle M}$se le puede dar de forma única la estructura de una subvariedad inmersa de modo que${\displaystyle f:N\rightarrow f(N)}$es un difeomorfismo . De ello se deduce que las subvariedades inmersas son precisamente las imágenes de las inmersiones inyectivas.

La topología de subvariedad en una subvariedad inmersa no tiene por qué ser la topología de subespacio heredada de${\displaystyle M}$En general, será más fino que la topología de subespacio (es decir, tendrá más conjuntos abiertos ).

Las subvariedades inmersas aparecen en la teoría de grupos de Lie, donde los subgrupos de Lie son, naturalmente, subvariedades inmersas. También aparecen en el estudio de las foliaciones, donde las subvariedades inmersas proporcionan el contexto adecuado para demostrar el teorema de Frobenius .

Una subvariedad incrustada (también llamada subvariedad regular ) es una subvariedad inmersa para la cual el mapa de inclusión es una incrustación topológica . Es decir, la topología de la subvariedad en${\displaystyle S}$es lo mismo que la topología de subespacio.

Dado cualquier incrustación${\displaystyle f:N\rightarrow M}$de un colector${\displaystyle N}$en${\displaystyle M}$la imagen${\displaystyle f(N)}$Tiene naturalmente la estructura de una subvariedad incrustada. Es decir, las subvariedades incrustadas son precisamente las imágenes de las incrustaciones.

Existe una definición intrínseca de subvariedad incrustada que suele ser útil.${\displaystyle M}$frijol${\displaystyle n}$variedad de dimensiones y dejemos${\displaystyle k}$sea ​​un número entero tal que${\displaystyle 0\leq k\leq n}$. A${\displaystyle k}$Subvariedad incrustada de dimensión -${\displaystyle M}$es un subconjunto${\displaystyle S\subset M}$de tal manera que para cada punto${\displaystyle p\in S}$Existe un gráfico${\displaystyle U\subset M,\varphi :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$que contiene${\displaystyle p}$de tal manera que${\displaystyle \varphi (S\cap U)}$es la intersección de un${\displaystyle k}$plano -dimensional con${\displaystyle \varphi (U)}$. Las parejas${\displaystyle (S\cap U,\varphi \vert _{S\cap U})}$formar un atlas para la estructura diferencial en${\displaystyle S}$.

El teorema de Alexander y el teorema de Jordan-Schoenflies son buenos ejemplos de incrustaciones suaves.

Existen otras variaciones de subvariedades utilizadas en la literatura. Una subvariedad ordenada es una variedad cuyo límite coincide con el límite de la variedad completa. ^{[ 2 ]} Sharpe (1997) define un tipo de subvariedad que se encuentra en algún punto intermedio entre una subvariedad incrustada y una subvariedad inmersa.

Muchos autores también definen subvariedades topológicas. Estas son las mismas que${\displaystyle C^{r}}$subvariedades con${\displaystyle r=0}$. ^{[ 3 ]} Una subvariedad topológica incrustada no es necesariamente regular en el sentido de la existencia de una carta local en cada punto que extiende la incrustación. Los contraejemplos incluyen arcos salvajes y nudos salvajes .