Teselaciones euclidianas mediante polígonos regulares convexos

Los recubrimientos del plano euclidiano con polígonos regulares convexos se han utilizado ampliamente desde la antigüedad. El primer tratamiento matemático sistemático fue el de Kepler en su Harmonice Mundi ( en latín : La armonía del mundo , 1619).

Los teselados euclidianos suelen nombrarse según la notación de Cundy y Rollett. ^{[ 1 ]} Esta notación representa (i) el número de vértices, (ii) el número de polígonos alrededor de cada vértice (dispuestos en sentido horario) y (iii) el número de lados de cada uno de esos polígonos. Por ejemplo: 3 ⁶ ; 3 ⁶ ; 3 ⁴ .6, nos dice que hay 3 vértices con 2 tipos de vértice diferentes, por lo que este teselado se clasificaría como un teselado "3-uniforme (2 tipos de vértice)". Desglosado, 3 ⁶ ; 3 ⁶ (ambos de diferente clase de transitividad), o (3 ⁶ ) ² , nos dice que hay 2 vértices (denotados por el superíndice 2), cada uno con 6 polígonos equiláteros de 3 lados (triángulos). Con un vértice final 3 ⁴ .6, 4 triángulos equiláteros contiguos más y un solo hexágono regular.

Sin embargo, esta notación tiene dos problemas principales relacionados con la ambigüedad de la conformación y la unicidad. ^{[ 2 ]} Primero, en el caso de los teselados k-uniformes, la notación no explica las relaciones entre los vértices. Esto hace imposible generar un plano cubierto basándose únicamente en la notación. Y segundo, algunas teselaciones tienen la misma nomenclatura, son muy similares, pero se puede observar que las posiciones relativas de los hexágonos son diferentes. Por lo tanto, el segundo problema es que esta nomenclatura no es única para cada teselación.

Para resolver estos problemas, la notación de GomJau-Hogg ^{[ 3 ]} es una versión ligeramente modificada de la investigación y notación presentada en 2012 ^{[ 2 ]} sobre la generación y nomenclatura de teselaciones y cuadrículas de doble capa. Antwerp v3.0 ^{[ 4 ]} , una aplicación en línea gratuita, permite la generación infinita de teselaciones de polígonos regulares mediante un conjunto de etapas de colocación de formas y operaciones iterativas de rotación y reflexión, obtenidas directamente de la notación de GomJau-Hogg.

Siguiendo a Grünbaum y Shephard (sección 1.3), se dice que un teselado es regular si el grupo de simetría del teselado actúa transitivamente sobre las banderas del teselado, donde una bandera es una terna que consiste en un vértice incidente mutuo , una arista y una tesela del teselado. Esto significa que, para cada par de banderas, hay una operación de simetría que mapea la primera bandera a la segunda. Esto es equivalente a que el teselado sea un teselado de arista a arista por polígonos regulares congruentes . Debe haber seis triángulos equiláteros , cuatro cuadrados o tres hexágonos regulares en un vértice, lo que produce las tres teselaciones regulares .

C&R: Notación de Cundy y Rollet GJ-H: Notación de GomJau-Hogg

La transitividad de vértices significa que para cada par de vértices existe una operación de simetría que mapea el primer vértice al segundo. ^{[ 5 ]}

Si se relaja el requisito de transitividad de banderas a transitividad de vértices, manteniendo la condición de que el teselado sea de borde a borde, existen ocho teselados adicionales posibles, conocidos como teselados arquimedianos , uniformes o semirregulares . Cabe destacar que existen dos formas de imagen especular (enantiomórficas o quirales ) del teselado 3 ⁴ .6 (hexagonal truncado), de las cuales solo una se muestra en la siguiente tabla. Todos los demás teselados regulares y semirregulares son aquirales.

C&R: Notación de Cundy y Rollet GJ-H: Notación de GomJau-Hogg Grünbaum y Shephard distinguen la descripción de estos teselados como arquimedianos cuando se refieren únicamente a la propiedad local de que la disposición de las teselas alrededor de cada vértice sea la misma, y ​​como uniformes cuando se refieren a la propiedad global de transitividad de vértices. Si bien estos producen el mismo conjunto de teselados en el plano, en otros espacios existen teselados arquimedianos que no son uniformes.

Hay 17 combinaciones de polígonos convexos regulares que forman 21 tipos de teselaciones de vértices planos . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Los polígonos en estas se encuentran en un punto sin huecos ni superposiciones. Listados según su número de vértices , uno tiene 6 polígonos, tres tienen 5 polígonos, siete tienen 4 polígonos y diez tienen 3 polígonos. ^{[ 8 ]}

Tres de ellos pueden hacer teselaciones regulares (6 ³ , 4 ⁴ , 3 ⁶ ), y ocho más pueden hacer teselaciones semirregulares o arquimedianas , (3.12 ² , 4.6.12, 4.8 ² , (3.6) ² , 3.4.6.4, 3 ² .4.3.4, 3 ³ .4 ² , 3 ⁴ .6). Cuatro de ellos pueden existir en teselaciones uniformes de k superior (3 ² .4.12, 3.4.3.12, 3 ² .6 ² , 3.4 ² .6), mientras que seis no pueden usarse para teselar completamente el plano con polígonos regulares sin huecos ni superposiciones; solo teselan el espacio por completo cuando se incluyen polígonos irregulares (3.7.42, 3.8.24, 3.9.18, 3.10.15, 4.5.20, 5 ² .10). ^{[ 9 ]}

Estos recubrimientos periódicos pueden clasificarse según el número de órbitas de vértices, aristas y teselas. Si hay k órbitas de vértices, un recubrimiento se conoce como k -uniforme o k -isogonal; si hay t órbitas de teselas, como t- isoédrico; si hay e órbitas de aristas, como e -isotoxa.

Los recubrimientos k -uniformes con las mismas figuras de vértices pueden identificarse además por su simetría de grupo de papel tapiz .

Los teselados 1-uniformes incluyen 3 teselados regulares y 8 semirregulares, con 2 o más tipos de caras de polígonos regulares. Hay 20 teselados 2-uniformes, 61 teselados 3-uniformes, 151 teselados 4-uniformes, 332 teselados 5-uniformes y 673 teselados 6-uniformes. Cada uno se puede agrupar por el número m de figuras de vértice distintas, que también se denominan teselados m- arquimedianos. ^{[ 10 ]}

Finalmente, si el número de tipos de vértices es igual a la uniformidad ( m = k a continuación), entonces se dice que el teselado es de Krotenheerdt . En general, la uniformidad es mayor o igual que el número de tipos de vértices ( m ≥ k ), ya que los diferentes tipos de vértices necesariamente tienen órbitas diferentes, pero no al revés. Si establecemos m = n = k , hay 11 teselados de este tipo para n = 1; 20 teselados de este tipo para n = 2; 39 teselados de este tipo para n = 3; 33 teselados de este tipo para n = 4; 15 teselados de este tipo para n = 5; 10 teselados de este tipo para n = 6; y 7 teselados de este tipo para n = 7.

A continuación se muestra un ejemplo de un teselado de 3 formas uniformes:

Se han enumerado hasta 6 teselaciones k -uniformes. Hay 673 teselaciones 6-uniformes del plano euclidiano. La búsqueda de Brian Galebach reprodujo la lista de Krotenheerdt de 10 teselaciones 6-uniformes con 6 tipos de vértices distintos, además de encontrar 92 de ellas con 5 tipos de vértices, 187 de ellas con 4 tipos de vértices, 284 de ellas con 3 tipos de vértices y 100 con 2 tipos de vértices.

Los polígonos regulares convexos también pueden formar teselaciones planas que no son de borde a borde. Dichas teselaciones pueden considerarse de borde a borde como polígonos no regulares con aristas colineales adyacentes.

Existen siete familias de figuras isogonales , cada una con un parámetro de valor real que determina la superposición entre los lados de las teselas adyacentes o la relación entre las longitudes de los bordes de diferentes teselas. Dos de las familias se generan a partir de cuadrados desplazados, ya sean posiciones progresivas o en zigzag. Grünbaum y Shephard denominan a estos teselados uniformes, aunque esto contradice la definición de uniformidad de Coxeter, que requiere polígonos regulares de borde a borde. ^{[ 17 ]} Dichos teselados isogonales son, de hecho, topológicamente idénticos a los teselados uniformes, con diferentes proporciones geométricas.

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