Álgebra de Lie lineal especial

El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$es un álgebra de Lie compleja tridimensional . Su característica definitoria es que contiene una base.${\displaystyle e,h,f}$satisfaciendo las relaciones de conmutación

${\displaystyle [e,f]=h}$,${\displaystyle [h,f]=-2f}$, y${\displaystyle [h,e]=2e}$.

Esta es una base de Cartan-Weyl para${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$Tiene una realización explícita en términos de matrices complejas de 2x2 con traza cero:

${\displaystyle E={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$,${\displaystyle F={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$,${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$.

Esta es la representación fundamental o definitoria para${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$.

El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$puede verse como un subespacio de su álgebra envolvente universal${\displaystyle U=U({\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} )}$y, en${\displaystyle U}$, existen las siguientes relaciones de conmutación mostradas por inducción : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle [h,f^{k}]=-2kf^{k},\,[h,e^{k}]=2ke^{k}}$,

${\displaystyle [e,f^{k}]=-k(k-1)f^{k-1}+kf^{k-1}h}$.

Tenga en cuenta que, aquí, los poderes${\displaystyle f^{k}}$, etc. se refieren a potencias como elementos del álgebra U y no como potencias de matrices. El primer hecho básico (que se deduce de las relaciones de conmutación anteriores) es: ^{[ 1 ]}

De este lema se deduce el siguiente resultado fundamental: ^{[ 2 ]}

La primera afirmación es verdadera ya que o bien${\displaystyle v_{j}}$es cero o tiene${\displaystyle h}$-autovalor distinto de los autovalores de los demás que no son cero. Decir${\displaystyle v}$es un${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-vector de peso es equivalente a decir que es simultáneamente un vector propio de${\displaystyle h}$y${\displaystyle e}$; un cálculo breve muestra entonces que, en ese caso, el${\displaystyle e}$-autovalor de${\displaystyle v}$es cero:${\displaystyle e\cdot v=0}$. Por lo tanto, para algún entero${\displaystyle N\geq 0}$,${\displaystyle v_{N}\neq 0,v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0}$y en particular, por el lema temprano,

${\displaystyle 0=e\cdot v_{N+1}=(\lambda -(N+1)+1)v_{N},}$

lo cual implica que${\displaystyle \lambda =N}$Queda por demostrar${\displaystyle W=\operatorname {span} \{v_{j}\mid j\geq 0\}}$es irreductible. Si${\displaystyle 0\neq W'\subset W}$es una subrepresentación, entonces admite un vector propio, que debe tener un valor propio de la forma${\displaystyle N-2j}$; por lo tanto es proporcional a${\displaystyle v_{j}}$. Por el lema anterior, tenemos${\displaystyle v=v_{0}}$está en${\displaystyle W}$y por lo tanto${\displaystyle W'=W}$.${\displaystyle \square }$

Como corolario , se deduce:

• Si${\displaystyle V}$tiene dimensión finita y es irreducible, entonces${\displaystyle h}$El valor propio de v es un número entero no negativo.${\displaystyle N}$y${\displaystyle V}$tiene una base${\displaystyle v,fv,f^{2}v,\cdots ,f^{N}v}$.
• Por el contrario , si el${\displaystyle h}$-autovalor de${\displaystyle v}$es un número entero no negativo y${\displaystyle V}$es irreductible, entonces${\displaystyle V}$tiene una base${\displaystyle v,fv,f^{2}v,\cdots ,f^{N}v}$; en particular tiene dimensión finita.

El hermoso caso especial de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$muestra una forma general de encontrar representaciones irreducibles de álgebras de Lie. Es decir, dividimos el álgebra en tres subálgebras "h" (la subálgebra de Cartan ), "e" y "f", que se comportan aproximadamente como sus homónimas en${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$Es decir, en una representación irreducible, tenemos un vector propio "máximo" de "h", sobre el cual "e" actúa como cero. La base de la representación irreducible se genera mediante la acción de "f" sobre los vectores propios máximos de "h". Véase el teorema del peso máximo .

Cuando${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} =\operatorname {\mathfrak {sl}} V}$para un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$de dimensión${\displaystyle n}$, cada representación irreducible de dimensión finita de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se puede encontrar como una subrepresentación de una potencia tensorial de${\displaystyle V}$. ^{[ 4 ]}

El álgebra de Lie puede realizarse explícitamente como un álgebra de Lie matricial sin traza.${\displaystyle n\times n}$matrices. Esta es la representación fundamental para${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$.

Colocar${\displaystyle M_{i,j}}$ser la matriz con uno en el${\displaystyle i,j}$entrada y ceros en todas partes. Entonces

${\displaystyle H_{i}:=M_{i,i}-M_{i+1,i+1},{\text{ with }}1\leq i\leq n-1}$

${\displaystyle M_{i,j},{\text{ with }}i\neq j}$

Formar una base para${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$. Esto es técnicamente un abuso de notación, y estas son realmente la imagen de la base de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$en la representación fundamental.

Además, esto es de hecho una base Cartan-Weyl, con la${\displaystyle H_{i}}$que abarca la subálgebra de Cartan. Introducción de la notación${\displaystyle E_{i,j}=M_{i,j}}$si${\displaystyle j>i}$, y${\displaystyle F_{i,j}=M_{i,j}^{T}=M_{j,i}}$, también si${\displaystyle j>i}$, el${\displaystyle E_{i,j}}$son raíces positivas y${\displaystyle F_{i,j}}$son raíces negativas correspondientes.

Una base de raíces simples viene dada por${\displaystyle E_{i,i+1}}$para${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$.