Transformación de Möbius

Los puntos fijos de la transformación $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$ se obtienen resolviendo la ecuación de punto fijo f ( γ ) = γ . Para c ≠ 0 , esta tiene dos raíces obtenidas al expandir esta ecuación a $${\displaystyle c\gamma ^{2}-(anuncio)\gamma -b=0\ ,}$$ y aplicando la fórmula cuadrática . Las raíces son $${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {(ad)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$$ con discriminante $${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc),}$$ donde la matriz $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$ representa la transformación. Las transformaciones parabólicas tienen puntos fijos coincidentes debido a que el discriminante es cero. Para c distinto de cero y discriminante distinto de cero, la transformación es elíptica o hiperbólica.

Cuando c = 0 , la ecuación cuadrática degenera en una ecuación lineal y la transformación es lineal; en este caso, uno de los puntos fijos es el punto en el infinito. Cuando a ≠ d, el segundo punto fijo es finito y viene dado por $${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.}$$

En este caso, la transformación será una transformación simple compuesta de traslaciones , rotaciones y dilataciones : $${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .}$$

Si c = 0 y a = d , entonces ambos puntos fijos están en el infinito, y la transformación de Möbius corresponde a una traslación pura: $${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$$

Topológicamente, el hecho de que las transformaciones de Möbius (no identidad) fijen 2 puntos (con multiplicidad) corresponde a que la característica de Euler de la esfera sea 2: $${\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.}$$

En primer lugar, el grupo lineal proyectivo PGL(2, K ) es 3-transitivo estricto  : para cualesquiera dos ternas ordenadas de puntos distintos, existe una única aplicación que transforma una terna en la otra, al igual que ocurre con las transformaciones de Möbius, y mediante la misma demostración algebraica (que consiste esencialmente en contar las dimensiones , ya que el grupo es tridimensional). Por lo tanto, cualquier aplicación que fije al menos 3 puntos es la identidad.

A continuación, se puede observar identificando el grupo de Möbius con${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$que cualquier función de Möbius es homotópica a la identidad. De hecho, cualquier miembro del grupo lineal general puede reducirse a la aplicación identidad mediante la eliminación de Gauss-Jordan , lo que demuestra que el grupo lineal proyectivo también es conexo por caminos, proporcionando una homotopía a la aplicación identidad. El teorema de Lefschetz-Hopf establece que la suma de los índices (en este contexto, la multiplicidad) de los puntos fijos de una aplicación con un número finito de puntos fijos es igual al número de Lefschetz de la aplicación, que en este caso es la traza de la aplicación identidad en grupos de homología, que es simplemente la característica de Euler.

Por el contrario, el grupo lineal proyectivo de la recta proyectiva real , PGL(2, R ) , no necesita fijar ningún punto  ; por ejemplo${\displaystyle (1+x)/(1-x)}$no tiene puntos fijos (reales): como transformación compleja fija ± i ^{[ nota 1 ]}  , mientras que la aplicación 2 x fija los dos puntos de 0 e ∞. Esto corresponde al hecho de que la característica de Euler del círculo (línea proyectiva real) es 0, y por lo tanto el teorema del punto fijo de Lefschetz dice solo que debe fijar al menos 0 puntos, pero posiblemente más.

Las transformaciones de Möbius también se escriben a veces en términos de sus puntos fijos en la llamada forma normal . Primero trataremos el caso no parabólico, para el cual hay dos puntos fijos distintos.

Caso no parabólico :

Toda transformación no parabólica es conjugada a una dilatación/rotación, es decir, una transformación de la forma $${\displaystyle z\mapsto kz}$$( k ∈ C ) con puntos fijos en 0 e ∞. Para ver esto, definamos un mapa. $${\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}$$ lo cual envía los puntos ( γ₁ , γ₂ ) a (0, _∞ ). Aquí asumimos que γ₁ y γ₂ son distintos y finitos. Si uno de ellos ya está en el infinito, entonces _{g puede} modificarse para fijar el infinito y enviar el otro punto a 0 _.

Si f tiene puntos fijos distintos ( γ ₁ , γ ₂ ) entonces la transformación${\displaystyle gfg^{-1}}$tiene puntos fijos en 0 e ∞ y, por lo tanto, es una dilatación:${\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}$. La ecuación de punto fijo para la transformación f se puede escribir entonces $${\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.}$$

Al despejar f se obtiene (en forma matricial): $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}$$ o, si uno de los puntos fijos está en el infinito: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.}$$

A partir de las expresiones anteriores se pueden calcular las derivadas de f en los puntos fijos: $${\displaystyle f'(\gamma _{1})=k}$$y$${\displaystyle f'(\gamma _{2})=1/k.}$$

Obsérvese que, dada una ordenación de los puntos fijos, podemos distinguir uno de los multiplicadores ( k ) de f como la constante característica de f . Invertir el orden de los puntos fijos equivale a tomar el multiplicador inverso de la constante característica: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).}$$

Para las transformaciones loxodrómicas, siempre que _{|k| > 1, se dice que γ₁} es el punto fijo repulsivo y γ₂ es el punto fijo atractivo. Para | _k | < 1 , los roles se invierten.

Caso parabólico :

En el caso parabólico solo hay un punto fijo γ . La transformación que envía ese punto al infinito es $${\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}$$ o la identidad si γ ya está en el infinito. La transformación${\displaystyle gfg^{-1}}$fija el infinito y por lo tanto es una traslación: $${\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.}$$

Aquí, β se denomina longitud de traslación . La fórmula del punto fijo para una transformación parabólica es entonces $${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .}$$

Resolviendo para f (en forma matricial) se obtiene $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}} Tenga en cuenta que ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta$ ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta  ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^{2}=1}

Si γ = ∞ : $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}

Nótese que β no es la constante característica de f , que siempre es 1 para una transformación parabólica. A partir de las expresiones anteriores se puede calcular: $${\displaystyle f'(\gamma )=1.}$$

Si${\displaystyle c\neq 0}$, dejar:

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\quad }$(traducción de d / c )
• ${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{z}}\quad }$(inversión y reflexión con respecto al eje real)
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad }$(homotecia y rotación)
• ${\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\quad }$(traducción de a / c )

Entonces estas funciones se pueden componer , mostrando que, si $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$ uno tiene $${\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.}$$ En otras palabras, uno tiene $${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},}$$ con $${\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.}$$

Esta descomposición hace evidentes muchas propiedades de la transformación de Möbius.

La existencia de la transformación inversa de Möbius y su fórmula explícita se derivan fácilmente mediante la composición de las funciones inversas de las transformaciones más simples. Es decir, definimos funciones g ₁ , g ₂ , g ₃ , g ₄ tales que cada g _i es la inversa de f _i . Entonces la composición $${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$$ proporciona una fórmula para la inversa.

A partir de esta descomposición, vemos que las transformaciones de Möbius conservan todas las propiedades no triviales de la inversión de círculos . Por ejemplo, la preservación de ángulos se reduce a demostrar que la inversión de círculos conserva los ángulos, ya que los otros tipos de transformaciones son dilataciones e isometrías (traslación, reflexión, rotación), que conservan los ángulos de forma trivial.

Además, las transformaciones de Möbius transforman círculos generalizados en círculos generalizados, ya que la inversión de círculos posee esta propiedad. Un círculo generalizado es un círculo o una línea, considerándose esta última como un círculo que pasa por el punto en el infinito. Cabe destacar que una transformación de Möbius no necesariamente transforma círculos en círculos ni líneas en líneas: puede combinar ambos. Incluso si transforma un círculo en otro, no necesariamente transforma el centro del primer círculo en el centro del segundo.

Las razones cruzadas son invariantes bajo transformaciones de Möbius. Es decir, si una transformación de Möbius mapea cuatro puntos distintos${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$a cuatro puntos distintos${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$respectivamente, entonces $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}$$

Si uno de los puntos${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$es el punto en el infinito, entonces la razón cruzada debe definirse tomando el límite apropiado; por ejemplo, la razón cruzada de${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }$es $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}$$

La razón antagónica de cuatro puntos distintos es real si y solo si existe una línea o un círculo que los une. Esta es otra forma de demostrar que las transformaciones de Möbius preservan los círculos generalizados.

Dos puntos z₁ y z₂ son conjugados con respecto a una circunferencia generalizada C _si , dada una circunferencia generalizada D que pasa por z₁ _y z₂ y corta _a C en dos puntos a y b , ( z₁ , z₂ ; a _{, b} ) están en razón antagónica ( _es decir , su razón antagónica es -1). Esta propiedad no depende de la elección de la circunferencia D. Esta propiedad también se conoce a veces como simetría con respecto a una línea o circunferencia. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Dos puntos z y z ^* son conjugados con respecto a una recta si son simétricos con respecto a ella. Dos puntos son conjugados con respecto a una circunferencia si, al invertirlos , se obtienen sus imágenes.

El punto z ^∗ es conjugado a z cuando L es la línea determinada por el vector basado en e ^iθ , en el punto z ₀ . Esto se puede expresar explícitamente como $${\displaystyle z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.}$$

El punto z ^∗ es conjugado a z cuando C es el círculo de radio r , centrado en z ₀ . Esto se puede expresar explícitamente como $${\displaystyle z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.}$$

Dado que las transformaciones de Möbius conservan los círculos generalizados y las razones cruzadas, también conservan la conjugación.

La acción natural de PGL(2, C ) sobre la recta proyectiva compleja CP ¹ es exactamente la acción natural del grupo de Möbius sobre la esfera de Riemann.

Para cualquier cuerpo K , se puede identificar de forma similar el grupo PGL(2, K ) de los automorfismos lineales proyectivos con el grupo de transformaciones lineales fraccionarias. Esto se utiliza ampliamente; por ejemplo, en el estudio de las homografías de la recta real y sus aplicaciones en óptica .

Si uno divide${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$Al tomar la raíz cuadrada de su determinante, se obtiene una matriz de determinante uno. Esto induce un homomorfismo de grupo sobreyectivo del grupo lineal especial SL(2, C ) a PGL(2, C ) , con${\displaystyle \pm I}$como su núcleo.

Esto permite demostrar que el grupo de Möbius es un grupo de Lie complejo tridimensional (o un grupo de Lie real de 6 dimensiones), que es semisimple y no compacto , y que SL(2, C ) es un recubrimiento doble de PSL(2, C ) . Dado que SL(2, C ) es simplemente conexo , es el recubrimiento universal del grupo de Möbius, y el grupo fundamental del grupo de Möbius _es Z2 . 

Dado un conjunto de tres puntos distintos${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$en la esfera de Riemann y un segundo conjunto de puntos distintos .${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$Existe precisamente una transformación de Möbius .${\displaystyle f(z)}$con${\displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$para​${\displaystyle j=1,2,3}$⁠ . (En otras palabras: la acción del grupo de Möbius sobre la esfera de Riemann es claramente 3-transitiva ). Hay varias maneras de determinar${\displaystyle f(z)}$a partir de los conjuntos de puntos dados.

Una transformación de Möbius no identidad definida por una matriz${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$Se dice que el determinante uno es parabólico si $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4}$$ (por lo tanto, la traza es más o menos 2; cualquiera de las dos puede ocurrir para una transformación dada ya que${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$se determina solo hasta el signo). De hecho, una de las opciones para${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$tiene el mismo polinomio característico X² − 2X + 1 que la matriz identidad y, por lo tanto, es ^unipotente . Una transformada de Möbius es parabólica si y solo si tiene exactamente un punto fijo en el plano complejo extendido.${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, lo cual sucede si y solo si puede definirse mediante una matriz conjugada a$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$ que describe una traslación en el plano complejo.

El conjunto de todas las transformaciones de Möbius parabólicas con un punto fijo dado en${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$, junto con la identidad, forma un subgrupo isomorfo al grupo de matrices $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};}$$ Este es un ejemplo del radical unipotente de un subgrupo de Borel (del grupo de Möbius, o de SL(2, C ) para el grupo de la matriz; la noción se define para cualquier grupo de Lie reductivo ).

Todas las transformaciones no parabólicas tienen dos puntos fijos y se definen mediante una matriz conjugada a $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$$ con el número complejo λ distinto de 0, 1 o −1, correspondiente a una dilatación/rotación mediante la multiplicación por el número complejo k = λ ² , llamado constante característica o multiplicador de la transformación.

Se dice que la transformación es elíptica si puede representarse mediante una matriz.${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$del determinante 1 tal que $${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.}$$

Una transformación es elíptica si y solo si | λ | = 1 y λ ≠ ±1 . Escribiendo${\displaystyle \lambda =e^{i\alpha }}$, una transformación elíptica es conjugada a $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$$ con α real.

Para cualquier${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$con constante característica k , la constante característica de${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$es k ⁿ . Por lo tanto, todas las transformaciones de Möbius de orden finito son transformaciones elípticas, a saber, exactamente aquellas donde λ es una raíz de la unidad , o, equivalentemente, donde α es un múltiplo racional de π . La posibilidad más simple de un múltiplo fraccionario significa α = π /2 , que también es el caso único de${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}$, también se denota como unTransformación circular ; esto corresponde geométricamente a una rotación de 180° alrededor de dos puntos fijos. Esta clase se representa en forma matricial como: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ Hay 3 representantes que fijan {0, 1, ∞}, que son las tres transposiciones en el grupo de simetría de estos 3 puntos:${\displaystyle 1/z,}$que fija 1 e intercambia 0 con ∞ (rotación de 180° alrededor de los puntos 1 y −1),${\displaystyle 1-z}$, que fija ∞ e intercambia 0 con 1 (rotación de 180° alrededor de los puntos 1/2 e ∞ ), y${\displaystyle z/(z-1)}$lo que fija el 0 e intercambia el 1 con el infinito (rotación de 180° alrededor de los puntos 0 y 2).

Se dice que la transformación es hiperbólica si puede representarse mediante una matriz.${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$cuyo rastro es real con $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

Una transformación es hiperbólica si y solo si λ es real y λ ≠ ±1 .

Se dice que la transformación es loxodrómica si${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$no está en [0, 4] . Una transformación es loxodrómica si y solo si${\displaystyle |\lambda |\neq 1}$.

Históricamente, la navegación por loxodromia o línea de rumbo se refiere a una trayectoria de rumbo constante ; la trayectoria resultante es una espiral logarítmica , similar en forma a las transformaciones del plano complejo que produce una transformación de Möbius loxodromica. Véanse las figuras geométricas a continuación.

Sobre los números reales (si los coeficientes deben ser reales), no hay transformaciones loxodrómicas no hiperbólicas, y la clasificación es en elíptica, parabólica e hiperbólica, como para las cónicas reales . La terminología se debe a que se considera la mitad del valor absoluto de la traza, |tr|/2, como la excentricidad de la transformación  ; la división por 2 corrige la dimensión, por lo que la identidad tiene excentricidad 1 (a veces se usa tr/ n como alternativa para la traza por esta razón), y el valor absoluto corrige que la traza solo esté definida hasta un factor de ±1 debido a que se trabaja en PSL. Alternativamente, se puede usar la mitad de la traza al cuadrado como aproximación de la excentricidad al cuadrado, como se hizo anteriormente; estas clasificaciones (pero no los valores exactos de excentricidad, ya que elevar al cuadrado y los valores absolutos son diferentes) coinciden para trazas reales pero no para trazas complejas. Se utiliza la misma terminología para la clasificación de elementos de SL(2, R ) (el recubrimiento doble), y se emplean clasificaciones análogas en otros contextos. Las transformaciones loxodrómicas constituyen un fenómeno esencialmente complejo y corresponden a excentricidades complejas.

Si ρ = ​​0 , los puntos fijos no son ni atractivos ni repulsivos, sino indiferentes, y se dice que la transformación es elíptica . Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en círculos alrededor de los dos puntos fijos. Si uno de los puntos fijos se encuentra en el infinito, esto equivale a realizar una rotación afín alrededor de un punto.

Si tomamos el subgrupo uniparamétrico generado por cualquier transformación elíptica de Möbius, obtenemos una transformación continua, de modo que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos se mueven a lo largo de una familia de círculos anidados entre los dos puntos fijos en la esfera de Riemann. En general, los dos puntos fijos pueden ser cualesquiera dos puntos distintos.

Esto tiene una importante interpretación física. Imaginemos que un observador gira con velocidad angular constante alrededor de un eje. Entonces, podemos considerar los polos norte y sur de la esfera celeste como dos puntos fijos. La apariencia del cielo nocturno se transforma de forma continua, exactamente como lo describe el subgrupo uniparamétrico de transformaciones elípticas que comparten los puntos fijos 0, ∞ y α, donde α corresponde a la velocidad angular constante del observador.

Aquí se muestran algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación elíptica de Möbius sobre la esfera de Riemann (después de la proyección estereográfica al plano):

Estas imágenes ilustran el efecto de una única transformación de Möbius. El subgrupo uniparamétrico que genera desplaza continuamente los puntos a lo largo de la familia de arcos circulares que sugieren las imágenes.

Si α es cero (o un múltiplo de 2π ) , se dice que la transformación es hiperbólica . Estas transformaciones tienden a mover los puntos a lo largo de trayectorias circulares desde un punto fijo hacia otro.

Si consideramos el subgrupo uniparamétrico generado por cualquier transformación hiperbólica de Möbius, obtenemos una transformación continua, de modo que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos se desplazan a lo largo de una determinada familia de arcos circulares desde el primer punto fijo hacia el segundo. En general, los dos puntos fijos pueden ser cualesquiera dos puntos distintos en la esfera de Riemann.

Esto también tiene una importante interpretación física. Imaginemos que un observador acelera (con magnitud constante) en dirección al polo norte en su esfera celeste. Entonces, la apariencia del cielo nocturno se transforma exactamente como lo describe el subgrupo uniparamétrico de transformaciones hiperbólicas que comparten los puntos fijos 0, ∞, donde el número real ρ corresponde a la magnitud de su vector de aceleración. Las estrellas parecen moverse a lo largo de longitudes, alejándose del polo sur hacia el polo norte. (Las longitudes aparecen como arcos circulares bajo proyección estereográfica de la esfera al plano).

Aquí se muestran algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación de Möbius hiperbólica sobre la esfera de Riemann (después de la proyección estereográfica al plano):

Estas imágenes se asemejan a las líneas de campo de una carga eléctrica positiva y una negativa situadas en los puntos fijos, porque las líneas de flujo circulares forman un ángulo constante entre los dos puntos fijos.

Si tanto ρ como α son distintos de cero, se dice que la transformación es loxodrómica . Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en trayectorias en forma de S desde un punto fijo a otro.

La palabra « loxodromia » proviene del griego: «λοξος (loxos), inclinado + δρόμος (dromos), rumbo ». Al navegar con rumbo constante —si se mantiene una dirección (por ejemplo) noreste—, se terminará navegando alrededor del polo norte en una espiral logarítmica . En la proyección de Mercator, dicho rumbo es una línea recta, ya que los polos norte y sur se proyectan hasta el infinito. El ángulo que subtiende la loxodromia con respecto a los meridianos (es decir, su pendiente, la «estrechez» de la espiral) es el argumento de k . Por supuesto, las transformaciones de Möbius pueden tener sus dos puntos fijos en cualquier lugar, no solo en los polos norte y sur. Pero cualquier transformación loxodrómica será conjugada a una transformación que mueva todos los puntos a lo largo de dichas loxodromias.

Si tomamos el subgrupo uniparamétrico generado por cualquier transformación de Möbius loxodrómica, obtenemos una transformación continua, de modo que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos se mueven a lo largo de una familia de curvas, alejándose del primer punto fijo y acercándose al segundo. A diferencia del caso hiperbólico, estas curvas no son arcos circulares, sino curvas que, bajo proyección estereográfica de la esfera al plano, aparecen como espirales que giran en sentido antihorario infinitas veces alrededor de un punto fijo y en sentido horario infinitas veces alrededor del otro. En general, los dos puntos fijos pueden ser cualesquiera dos puntos distintos en la esfera de Riemann.

Probablemente puedas adivinar la interpretación física en el caso en que los dos puntos fijos sean 0,  ∞: un observador que gira (con velocidad angular constante) alrededor de algún eje y se mueve a lo largo del mismo eje, verá que la apariencia del cielo nocturno se transforma de acuerdo con el subgrupo de un parámetro de transformaciones loxodrómicas con puntos fijos 0, ∞, y con ρ , α determinados respectivamente por la magnitud de las velocidades lineales y angulares reales.

Estas imágenes muestran transformaciones de Möbius proyectadas estereográficamente sobre la esfera de Riemann . Nótese, en particular, que al proyectarse sobre una esfera, el caso especial de un punto fijo en el infinito no se diferencia de tener los puntos fijos en una ubicación arbitraria.

Varios autores observaron un isomorfismo del grupo de Möbius con el grupo de Lorentz : Basándose en trabajos previos de Felix Klein (1893, 1897) ^{[ 11 ]} sobre funciones automórficas relacionadas con la geometría hiperbólica y la geometría de Möbius, Gustav Herglotz (1909) ^{[ 12 ]} demostró que los movimientos hiperbólicos (es decir, automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico ) que transforman la esfera unitaria en sí misma corresponden a transformaciones de Lorentz, mediante las cuales Herglotz pudo clasificar las transformaciones de Lorentz de un parámetro en grupos loxodrómicos, elípticos, hiperbólicos y parabólicos. Otros autores incluyen a Emil Artin (1957), ^{[ 13 ]} HSM Coxeter (1965), ^{[ 14 ]} y Roger Penrose , Wolfgang Rindler (1984), ^{[ 15 ]} Tristan Needham (1997) ^{[ 16 ]} y WM Olivia (2002). ^{[ 17 ]}

El espacio de Minkowski consiste en el espacio de coordenadas reales de cuatro dimensiones R ⁴ que consta del espacio de cuádruplas ordenadas ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) de números reales, junto con una forma cuadrática.$${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$$

Tomando prestada la terminología de la relatividad especial , los puntos con Q > 0 se consideran de tipo temporal ; además, si x ₀ > 0 , entonces el punto se llama apuntando al futuro . Los puntos con Q < 0 se llaman de tipo espacial . El cono nulo S consta de aquellos puntos donde Q = 0 ; el futuro cono nulo N ⁺ son aquellos puntos en el cono nulo con x ₀ > 0. La esfera celeste se identifica entonces con el conjunto de rayos en N ⁺ cuyo punto inicial es el origen de R ⁴ . El conjunto de transformaciones lineales en R ^{4 con} determinante positivo que preserva la forma cuadrática Q y preserva la dirección del tiempo forman el grupo de Lorentz restringido SO ⁺ (1, 3) .

En relación con la geometría de la esfera celeste, el grupo de transformaciones SO ⁺ (1, 3) se identifica con el grupo PSL(2, C ) de transformaciones de Möbius de la esfera. A cada ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ⁴ , se le asocia la matriz hermitiana$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

El determinante de la matriz X es igual a Q ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) . El grupo lineal especial actúa sobre el espacio de dichas matrices mediante

para cada A ∈ SL(2, C ) , y esta acción de SL(2, C ) preserva el determinante de X porque det A = 1 . Dado que el determinante de X se identifica con la forma cuadrática Q , SL(2, C ) actúa mediante transformaciones de Lorentz. Por razones dimensionales, SL(2, C ) cubre un entorno de la identidad de SO(1, 3) . Dado que SL(2, C ) es conexo, cubre todo el grupo de Lorentz restringido SO ⁺ (1, 3) . Además, dado que el núcleo de la acción ( 1 ) es el subgrupo {± I } , entonces pasar al grupo cociente da el isomorfismo de grupo

Centrándonos ahora en el caso en que ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) es nulo, la matriz X tiene determinante cero y, por lo tanto, se descompone como el producto exterior de un vector complejo de dos componentes ξ con su conjugado complejo:

El vector de dos componentes ξ es afectado por SL(2, C ) de una manera compatible con ( 1 ). Ahora está claro que el núcleo de la representación de SL(2, C ) en matrices hermíticas es {± I } .

La acción de PSL(2, C ) sobre la esfera celeste también puede describirse geométricamente mediante proyección estereográfica . Consideremos primero el hiperplano en R ⁴ dado por x ₀  =  1. La esfera celeste puede identificarse con la esfera S ⁺ de intersección del hiperplano con el futuro cono nulo N ⁺ . La proyección estereográfica desde el polo norte (1, 0, 0, 1) de esta esfera sobre el plano x ₃ = 0 toma un punto con coordenadas (1, x ₁ , x ₂ , x ₃ ) con $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$ hasta el punto $${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right).}$$

Introducción de la coordenada compleja$${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$ La proyección estereográfica inversa proporciona la siguiente fórmula _para un punto ( x1 , x2 , x3 ₎ en S ₊ ^:

La acción de SO ⁺ (1, 3) sobre los puntos de N ⁺ no preserva el hiperplano S ⁺ , pero al actuar sobre puntos en S ⁺ y luego reescalar de manera que el resultado vuelva a estar en S ⁺ da una acción de SO ⁺ (1, 3) sobre la esfera que se extiende a una acción sobre la variable compleja ζ . De hecho, esta acción se realiza mediante transformaciones lineales fraccionarias, aunque esto no se aprecia fácilmente en esta representación de la esfera celeste. Por el contrario, para cualquier transformación lineal fraccionaria de la variable ζ , se extiende a una única transformación de Lorentz sobre N ⁺ , posiblemente después de un reescalado adecuado (determinado de forma única).

Una descripción más invariante de la proyección estereográfica que permite ver la acción con mayor claridad consiste en considerar la variable ζ = z : w como una razón de un par de coordenadas homogéneas para la línea proyectiva compleja CP ¹ . La proyección estereográfica pasa a una transformación de C ² − {0} a N ⁺ que es homogénea de grado dos con respecto a las escalas reales.

lo cual concuerda con ( 4 ) al restringirse a escalas en las que${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$Los componentes de ( 5 ) son precisamente los obtenidos a partir del producto exterior. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

En resumen, la acción del grupo de Lorentz restringido SO ⁺ (1,3) coincide con la del grupo de Möbius PSL(2, C ) . Esto motiva la siguiente definición. En dimensión n ≥ 2 , el grupo de Möbius Möb( n ) es el grupo de todas las isometrías conformes que preservan la orientación de la esfera redonda S ⁿ a sí misma. Al realizar la esfera conforme como el espacio de rayos que apuntan hacia el futuro del cono nulo en el espacio de Minkowski R ^1,n+1 , existe un isomorfismo de Möb( n ) con el grupo de Lorentz restringido SO ⁺ (1, n +1) de transformaciones de Lorentz con determinante positivo, que preserva la dirección del tiempo.

Coxeter comenzó en cambio con la forma cuadrática equivalente .${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}$.​

Identificó el grupo de Lorentz con transformaciones para las cuales { x | Q( x ) = −1} es estable . Luego interpretó el x's como coordenadas homogéneas y { x | Q( x ) = 0} , el cono nulo , como el absoluto de Cayley para un espacio hiperbólico de puntos { x | Q( x ) < 0} . A continuación, Coxeter introdujo las variables $${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$ de modo que la cuádrica invariante de Lorentz corresponda a la esfera .${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1}$Coxeter señala que Felix Klein también escribió sobre esta correspondencia, aplicando la proyección estereográfica de (0, 0, 1) al plano complejo .${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$Coxeter utilizó el hecho de que los círculos del plano inverso representan planos del espacio hiperbólico, y la homografía general es el producto de inversiones en dos o cuatro círculos, lo que corresponde al desplazamiento hiperbólico general que es el producto de inversiones en dos o cuatro planos.

Como se ha visto anteriormente, el grupo de Möbius PSL(2, C ) actúa sobre el espacio de Minkowski como el grupo de isometrías que preservan el origen, la orientación del espacio y la dirección del tiempo. Restringiéndonos a los puntos donde Q = 1 en el cono de luz positivo, que forman un modelo del espacio hiperbólico tridimensional H ³ , vemos que el grupo de Möbius actúa sobre H ³ como un grupo de isometrías que preservan la orientación. De hecho, el grupo de Möbius es igual al grupo de isometrías que preservan la orientación del espacio hiperbólico tridimensional. Si utilizamos el modelo de la bola de Poincaré , identificando la bola unitaria en R ³ con H ³ , podemos pensar en la esfera de Riemann como el "límite conforme" de H ³ . Toda isometría que preserva la orientación de H ³ da lugar a una transformación de Möbius en la esfera de Riemann y viceversa.