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Coeficiente de matriz

En matemáticas , un coeficiente de matriz (o elemento de matriz ) es una función en un grupo de una forma especial, que depende de una representación lineal del grupo y datos ad...

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En matemáticas , un coeficiente de matriz (o elemento de matriz ) es una función en un grupo de una forma especial, que depende de una representación lineal del grupo y datos adicionales. Precisamente, es una función en un grupo topológico compacto G obtenido al componer una representación de G en un espacio vectorial V con una aplicación lineal de los endomorfismos de V en el cuerpo subyacente de V. También se le llama función representativa . [ 1 ] Surgen naturalmente de representaciones de dimensión finita de G como las funciones de entrada de matriz de las representaciones de matriz correspondientes. El teorema de Peter-Weyl dice que los coeficientes de matriz en G son densos en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en G.

Los coeficientes matriciales de las representaciones de grupos de Lie resultaron estar íntimamente relacionados con la teoría de funciones especiales , proporcionando un enfoque unificador para gran parte de esta teoría. Las propiedades de crecimiento de los coeficientes matriciales desempeñan un papel fundamental en la clasificación de representaciones irreducibles de grupos localmente compactos , en particular, grupos reales reductivos y grupos p -ádicos . El formalismo de los coeficientes matriciales conduce a una generalización de la noción de forma modular . En otra dirección, las propiedades de mezcla de ciertos sistemas dinámicos se controlan mediante las propiedades de coeficientes matriciales adecuados.

Definición

Un coeficiente matricial (o elemento matricial ) de una representación lineal ρ de un grupo G en un espacio vectorial V es una función f v,η en el grupo, del tipo

Fv,η(gramo)=η(ρ(gramo)v){\displaystyle f_{v,\eta }(g)=\eta (\rho (g)v)}

donde v es un vector en V , η es un funcional lineal continuo en V , y g es un elemento de G. Esta función toma valores escalares en G. Si V es un espacio de Hilbert , entonces por el teorema de representación de Riesz , todos los coeficientes de la matriz tienen la forma

Fv,w(gramo)=⟨ρ(gramo)v,w⟩{\displaystyle f_{v,w}(g)=\langle \rho (g)v,w\rangle }

para algunos vectores v y w en V.

Para V de dimensión finita, y v y w tomados de una base estándar , esta es en realidad la función dada por la entrada de la matriz en un lugar fijo.

Aplicaciones

Grupos finitos

Los coeficientes matriciales de las representaciones irreducibles de grupos finitos desempeñan un papel destacado en la teoría de representaciones de estos grupos, tal como la desarrollaron Burnside , Frobenius y Schur . Satisfacen las relaciones de ortogonalidad de Schur . El carácter de una representación ρ es una suma de los coeficientes matriciales f v i , η i , donde { v i } forman una base en el espacio de representación de ρ , y { η i } forman la base dual .

Grupos de Lie de dimensión finita y funciones especiales

Élie Cartan fue el primero en considerar los coeficientes matriciales de las representaciones de grupos de Lie . Israel Gelfand se percató de que muchas funciones especiales clásicas y polinomios ortogonales pueden expresarse como los coeficientes matriciales de las representaciones de grupos de Lie G. [ 2 ] Esta descripción proporciona un marco uniforme para demostrar muchas propiedades hasta ahora dispares de las funciones especiales, como fórmulas de suma, ciertas relaciones de recurrencia, relaciones de ortogonalidad, representaciones integrales y propiedades de autovalores con respecto a operadores diferenciales. [ 3 ] Las funciones especiales de la física matemática, como las funciones trigonométricas , la función hipergeométrica y sus generalizaciones, los polinomios ortogonales de Legendre y Jacobi y las funciones de Bessel , surgen como coeficientes matriciales de las representaciones de grupos de Lie. Las funciones theta y las series analíticas reales de Eisenstein , importantes en geometría algebraica y teoría de números , también admiten tales realizaciones.

Formas automórficas

Un enfoque poderoso para la teoría de las formas modulares clásicas , iniciado por Gelfand, Graev y Piatetski-Shapiro , las considera como coeficientes matriciales de ciertas representaciones unitarias de dimensión infinita, representaciones automorfas de grupos adélicos . Este enfoque fue desarrollado posteriormente por Langlands para grupos algebraicos reductivos generales sobre cuerpos globales .

Véase también

Notas

  1. ↑ Bröcker y Tom Dieck 1985 .
  2. ↑ "Funciones especiales" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  3. ↑ Consulte las referencias para obtener el tratamiento completo.

Referencias

  • Bröcker, Theodor; Tom Dieck, Tammo (1985). Representaciones de grupos compactos de Lie . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol.  98. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 0-387-13678-9. SR 0781344 . 
  • Hochschild, G. (1965). La estructura de los grupos de Lie . San Francisco, Londres, Ámsterdam: Holden-Day. MR 0207883 . 
  • Vilenkin, N. Ja. Funciones especiales y la teoría de las representaciones de grupos . Traducido del ruso por V. N. Singh. Traducciones de Monografías Matemáticas, Vol. 22, American Mathematical Society, Providence, RI, 1968.
  • Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Representación de grupos de Lie y funciones especiales. Avances recientes . Traducido del manuscrito ruso por VA Groza y AA Groza. Matemáticas y sus aplicaciones, 316. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xvi+497 pp. ISBN 0-7923-3210-5
  • Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Representación de grupos de Lie y funciones especiales. Vol. 3. Grupos clásicos y cuánticos y funciones especiales . Traducido del ruso por VA Groza y AA Groza. Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), 75. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992. xx+634 pp. ISBN 0-7923-1493-X
  • Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Representación de grupos de Lie y funciones especiales. Vol. 2. Representaciones de clase I, funciones especiales y transformadas integrales . Traducido del ruso por VA Groza y AA Groza. Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), 74. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993. xviii+607 pp. ISBN 0-7923-1492-1
  • Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Representación de grupos de Lie y funciones especiales. Vol. 1. Grupos de Lie más simples, funciones especiales y transformadas integrales . Traducido del ruso por VA Groza y AA Groza. Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), 72. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. xxiv+608 pp. ISBN 0-7923-1466-2
  • Želobenko, DP (1973). Grupos de Lie compactos y sus representaciones . Traducciones de monografías matemáticas. Vol.  40. Sociedad Matemática Americana .