Análisis de redes (circuitos eléctricos)

En ingeniería eléctrica y electrónica , una red es un conjunto de componentes interconectados . El análisis de redes consiste en determinar las tensiones y las corrientes que circulan por todos los componentes de la red. Existen diversas técnicas para calcular estos valores; sin embargo, la mayoría asume componentes lineales . Salvo que se indique lo contrario, los métodos descritos en este artículo solo son aplicables al análisis de redes lineales .

Definiciones

Circuitos equivalentes

Un procedimiento útil en el análisis de redes consiste en simplificarlas reduciendo el número de componentes. Esto se puede lograr reemplazando componentes físicos por otros componentes conceptuales que tengan el mismo efecto. Una técnica específica podría reducir directamente el número de componentes, por ejemplo, combinando impedancias en serie. Por otro lado, podría simplemente modificar la forma de la red para que los componentes se puedan reducir posteriormente. Por ejemplo, se podría transformar un generador de voltaje en un generador de corriente utilizando el teorema de Norton para poder combinar posteriormente la resistencia interna del generador con una carga de impedancia en paralelo.

Un circuito resistivo es aquel que contiene únicamente resistencias , fuentes de corriente ideales y fuentes de tensión ideales . Si las fuentes son constantes ( CC ), el resultado es un circuito de CC . El análisis de un circuito consiste en calcular las tensiones y corrientes presentes en él. Los principios de solución aquí descritos también se aplican al análisis fasorial de circuitos de CA.

Se dice que dos circuitos son equivalentes con respecto a un par de terminales si la tensión en los terminales y la corriente que circula por ellos en una red tienen la misma relación que la tensión y la corriente en los terminales de la otra red.

Si $V_{2}=V_{1}$ implica $I_{2}=I_{1}$ Para todos los valores (reales) de $V 1$ , entonces con respecto a los terminales $ab$ y $xy$ , el circuito 1 y el circuito 2 son equivalentes.

La definición anterior es suficiente para una red de un puerto . Para redes con más de un puerto, es necesario definir que las corrientes y los voltajes entre todos los pares de puertos correspondientes guarden la misma relación. Por ejemplo, las redes en estrella y en triángulo son, en la práctica, redes de tres puertos y, por lo tanto, requieren tres ecuaciones simultáneas para especificar completamente su equivalencia.

Impedancias en serie y en paralelo

Una red de impedancias con dos terminales puede reducirse finalmente a una sola impedancia mediante la aplicación sucesiva de impedancias en serie o en paralelo.

Impedancias en serie : $Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}+\,\cdots \,+Z_{n}.$
Impedancias en paralelo : ${\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.$ ${\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.$
- Lo anterior se ha simplificado para solo dos impedancias en paralelo: $Z_{\mathrm {eq} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}.$

transformación delta-yea

Una red de impedancias con más de dos terminales no puede reducirse a un circuito equivalente de impedancia única . Una red $de n$ terminales puede, en el mejor de los casos, reducirse a $n$ impedancias (en el peor de los casos, a n impedancias). ${\tbinom {n}{2}}$ Para una red de tres terminales, las tres impedancias se pueden expresar como una red delta (Δ) de tres nodos o una red estrella (Y) de cuatro nodos. Estas dos redes son equivalentes y las transformaciones entre ellas se muestran a continuación. Una red general con un número arbitrario de nodos no se puede reducir al número mínimo de impedancias utilizando únicamente combinaciones en serie y en paralelo. En general, también deben utilizarse las transformaciones Y-Δ y Δ-Y. Para algunas redes, puede ser necesario extender la transformación Y-Δ a la transformación estrella-polígono .

Para que exista equivalencia, las impedancias entre cualquier par de terminales deben ser iguales en ambas redes, lo que da como resultado un sistema de tres ecuaciones simultáneas. Las ecuaciones que se muestran a continuación se expresan en términos de resistencias, pero son igualmente válidas para el caso general con impedancias.

Ecuaciones de transformación delta a estrella

{\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{\mathrm {ac} }R_{\mathrm {ab} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{b}&={\frac {R_{\mathrm {ab} }R_{\mathrm {bc} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{c}&={\frac {R_{\mathrm {bc} }R_{\mathrm {ac} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\end{alineado}}

Ecuaciones de transformación estrella-delta

{\begin{aligned}R_{\mathrm {ac} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}\\R_{\mathrm {ab} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\\R_{\mathrm {bc} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}\end{aligned}}

Forma general de eliminación de nodos de red

Las transformaciones de estrella a delta y de resistencia en serie son casos especiales del algoritmo general de eliminación de nodos de redes de resistencias. Cualquier nodo conectado por $N$ resistencias $(R 1 \dots R N)$ a los nodos $1 \dots N$ puede ser reemplazado por ${\tbinom {N}{2}}$ $resistencias que interconectan los N$ nodos restantes . La resistencia entre dos nodos cualesquiera $x, y$ viene dada por:

R_{\mathrm {xy} }=R_{x}R_{y}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{R_{i}}}

Para una transformación estrella-delta ( $N = 3$ ), esto se reduce a:

{\begin{aligned}R_{\mathrm {ab} }&=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}+{\frac {1}{R}}_{c}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c})}{R_{a}R_{b}R_{c}}}\\&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\end{aligned}}

Para una reducción en serie ( $N = 2$ ), esto se reduce a:

R_{\mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}R_{b}}}=R_{a}+R_{b}

Para una resistencia colgante ( $N = 1$ ) resulta en la eliminación de la resistencia porque ${\tbinom {1}{2}}=0$ .

Transformación de la fuente

Un generador con impedancia interna (es decir, un generador no ideal) puede representarse como un generador de voltaje ideal o como un generador de corriente ideal más la impedancia. Estas dos formas son equivalentes y las transformaciones se muestran a continuación. Si las dos redes son equivalentes con respecto a los terminales ab, entonces $V$ e $I$ deben ser idénticas para ambas redes. Por lo tanto,

V_{\mathrm {s} }=RI_{\mathrm {s} }\,\!

o

I_{\mathrm {s} }={\frac {V_{\mathrm {s} }}{R}}

El teorema de Norton establece que cualquier red lineal de dos terminales puede reducirse a un generador de corriente ideal y una impedancia en paralelo.
El teorema de Thévenin establece que cualquier red lineal de dos terminales puede reducirse a un generador de voltaje ideal más una impedancia en serie.

Redes simples

Algunas redes muy simples pueden analizarse sin necesidad de aplicar enfoques más sistemáticos.

División de voltaje de componentes en serie

Consideremos n impedancias conectadas en serie . El voltaje $V_{i}$ a través de cualquier impedancia $Z_{i}$ es

V_{i}=Z_{i}I=\left({\frac {Z_{i}}{Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}}}\right)V

División actual de componentes paralelos

Consideremos n admitancias conectadas en paralelo . La corriente $I_{i}$ a través de cualquier admisión $Y_{i}$ es

I_{i}=Y_{i}V=\left({\frac {Y_{i}}{Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{n}}}\right)I

para $i=1,2,...,n.$

Caso especial: División de corriente de dos componentes paralelas

I_{1}=\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I

I_{2}=\left({\frac {Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I

Análisis nodal

El análisis nodal utiliza el concepto de voltaje nodal y considera los voltajes nodales como variables desconocidas. ^{[ 2 ]}^{: 2-8 - 2-9} Para todos los nodos, excepto un nodo de referencia elegido, el voltaje nodal se define como la caída de voltaje desde el nodo hasta el nodo de referencia. Por lo tanto, hay N-1 voltajes nodales para un circuito con N nodos. ^{[ 2 ]}^{: 2-10}

En principio, el análisis nodal utiliza la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) en N-1 nodos para obtener N-1 ecuaciones independientes. Dado que las ecuaciones generadas con la LCK se expresan en términos de corrientes que entran y salen de los nodos, si se desconocen sus valores, estas corrientes deben representarse mediante las variables desconocidas (tensiones nodales). Para algunos elementos (como resistencias y condensadores), obtener las corrientes de los elementos en función de las tensiones nodales es trivial.

Para algunos elementos comunes donde esto no es posible, se desarrollan métodos especializados. Por ejemplo, se utiliza un concepto llamado supernodo para circuitos con fuentes de voltaje independientes. ^{[ 2 ]}^{: 2-12 - 2-13}

Etiquete todos los nodos del circuito. Seleccione arbitrariamente cualquier nodo como referencia.
Defina una variable de voltaje desde cada nodo restante hasta el nodo de referencia. Estas variables de voltaje deben definirse como incrementos de voltaje con respecto al nodo de referencia.
Escribe una ecuación KCL para cada nodo excepto el de referencia.
Resuelve el sistema de ecuaciones resultante.

Análisis de malla

Malla : un bucle que no contiene un bucle interior.

Cuenta el número de “paneles de ventana” en el circuito. Asigna una corriente de malla a cada panel de ventana.
Escriba una ecuación de la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) para cada malla cuya corriente sea desconocida.
Resuelve las ecuaciones resultantes.

Superposición

En este método, se calcula el efecto de cada generador por separado. Todos los generadores, excepto el que se está considerando, se desconectan y se cortocircuitan en el caso de los generadores de tensión o se dejan en circuito abierto en el caso de los generadores de corriente. La corriente total o la tensión total en una rama determinada se calculan sumando todas las corrientes o tensiones individuales.

Este método parte de la suposición de que la corriente o el voltaje totales son una superposición lineal de sus componentes. Por lo tanto, no se puede utilizar si existen componentes no lineales. ^{[ 2 ]}^{: 6–14} La superposición de potencias no permite calcular la potencia total consumida por los elementos, ni siquiera en circuitos lineales. La potencia varía según el cuadrado del voltaje o la corriente totales, y el cuadrado de la suma no suele ser igual a la suma de los cuadrados. La potencia total de un elemento se puede calcular aplicando la superposición a los voltajes y la corriente de forma independiente y, a continuación, calculando la potencia a partir del voltaje y la corriente totales.

Elección del método

La elección del método ^{[ 3 ]}^{: 112–113} es, en cierta medida, una cuestión de preferencia. Si la red es particularmente simple o solo se requiere una corriente o voltaje específicos, la aplicación ad hoc de algunos circuitos equivalentes simples puede proporcionar la respuesta sin recurrir a métodos más sistemáticos.

Análisis nodal : El número de variables de voltaje, y por lo tanto de ecuaciones simultáneas a resolver, es igual al número de nodos menos uno. Cada fuente de voltaje conectada al nodo de referencia reduce en uno el número de incógnitas y ecuaciones.
Análisis de mallas : El número de variables de corriente, y por lo tanto de ecuaciones simultáneas a resolver, es igual al número de mallas. Cada fuente de corriente en una malla reduce el número de incógnitas en una. El análisis de mallas solo se puede utilizar con redes que se pueden representar como una red plana , es decir, sin componentes que se crucen. ^{[ 3 ]}^{: 94}
La superposición es posiblemente el método conceptualmente más sencillo, pero rápidamente conduce a un gran número de ecuaciones y combinaciones de impedancias complicadas a medida que la red se hace más grande.
Aproximaciones de medio efectivo : Para una red compuesta por una alta densidad de resistencias aleatorias, una solución exacta para cada elemento individual puede resultar poco práctica o imposible. En su lugar, la resistencia efectiva y las propiedades de distribución de corriente pueden modelarse en términos de medidas de grafos y propiedades geométricas de las redes. ^{[ 4 ]}

Función de transferencia

Una función de transferencia expresa la relación entre una entrada y una salida de una red. Para redes resistivas, esta siempre será un número real simple o una expresión que se reduce a un número real. Las redes resistivas se representan mediante un sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas. Sin embargo, en el caso general de redes lineales, la red se representa mediante un sistema de ecuaciones diferenciales lineales simultáneas. En el análisis de redes, en lugar de usar las ecuaciones diferenciales directamente, es práctica habitual aplicarles primero una transformada de Laplace y luego expresar el resultado en términos del parámetro de Laplace s, que generalmente es complejo . Esto se describe como trabajar en el dominio s . Trabajar directamente con las ecuaciones se describiría como trabajar en el dominio del tiempo (o t), ya que los resultados se expresarían como cantidades que varían con el tiempo. La transformada de Laplace es el método matemático para transformar entre el dominio s y el dominio t.

Este enfoque es estándar en la teoría de control y resulta útil para determinar la estabilidad de un sistema, por ejemplo, en un amplificador con retroalimentación.

Dos funciones de transferencia de componentes terminales

Para dos componentes terminales, la función de transferencia, o más generalmente para elementos no lineales, la ecuación constitutiva , es la relación entre la corriente de entrada al dispositivo y la tensión resultante a través de él. La función de transferencia, Z(s), tendrá, por lo tanto, unidades de impedancia, ohmios. Para los tres componentes pasivos que se encuentran en las redes eléctricas, las funciones de transferencia son:

Para una red a la que solo se aplican señales de CA constantes, s se reemplaza por jω y se obtienen los valores más familiares de la teoría de redes de CA.

Finalmente, para una red a la que solo se aplica corriente continua constante, s se reemplaza por cero y se aplica la teoría de redes de corriente continua.

Función de transferencia de red de dos puertos

En teoría de control, las funciones de transferencia, en general, se representan con el símbolo H(s). En electrónica, la función de transferencia se define más comúnmente como la relación entre el voltaje de salida y el voltaje de entrada, y se representa con el símbolo A(s), o más comúnmente (porque el análisis se realiza invariablemente en términos de respuesta de onda sinusoidal ), A ( jω ), de modo que; $A(j\omega )={\frac {V_{o}}{V_{i}}}$

La A representa la atenuación o la amplificación, según el contexto. En general, será una función compleja de jω , que se puede derivar de un análisis de las impedancias en la red y sus funciones de transferencia individuales. A veces, el analista solo está interesado en la magnitud de la ganancia y no en el ángulo de fase. En este caso, los números complejos se pueden eliminar de la función de transferencia y entonces podría escribirse como: $A(\omega )=\left|{\frac {V_{o}}{V_{i}}}\right|$

Dos parámetros de puerto

El concepto de red de dos puertos puede ser útil en el análisis de redes como un enfoque de caja negra para el análisis. El comportamiento de la red de dos puertos en una red más grande puede caracterizarse completamente sin necesariamente indicar nada sobre la estructura interna. Sin embargo, para hacer esto es necesario tener más información que solo el A(jω) descrito anteriormente. Se puede demostrar que se requieren cuatro de estos parámetros para caracterizar completamente la red de dos puertos. Estos podrían ser la función de transferencia directa, la impedancia de entrada , la función de transferencia inversa (es decir, el voltaje que aparece en la entrada cuando se aplica un voltaje a la salida) y la impedancia de salida . Hay muchos otros (consulte el artículo principal para obtener una lista completa), uno de ellos expresa los cuatro parámetros como impedancias. Es habitual expresar los cuatro parámetros como una matriz; ${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z(j\omega )_{11}&z(j\omega )_{12}\\z(j\omega )_{21}&z(j\omega )_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{0}\end{bmatrix}}$

La matriz puede abreviarse a un elemento representativo;

$\left[z(j\omega )\right]$ o simplemente $\left[z\right]$

Estos conceptos pueden extenderse a redes de más de dos puertos. Sin embargo, esto rara vez se hace en la práctica, ya que, en muchos casos, los puertos se consideran exclusivamente de entrada o exclusivamente de salida. Si se ignoran las funciones de transferencia en sentido inverso, una red multipuerto siempre puede descomponerse en varias redes de dos puertos.

Componentes distribuidos

Cuando una red está compuesta por componentes discretos, el análisis mediante redes de dos puertos es una cuestión de elección, no esencial. La red siempre puede analizarse alternativamente en términos de las funciones de transferencia de sus componentes individuales. Sin embargo, si una red contiene componentes distribuidos , como en el caso de una línea de transmisión , entonces no es posible analizarla en términos de componentes individuales, ya que estos no existen. El enfoque más común para esto es modelar la línea como una red de dos puertos y caracterizarla utilizando parámetros de dos puertos (o algo equivalente). Otro ejemplo de esta técnica es modelar los portadores que cruzan la región base en un transistor de alta frecuencia. La región base debe modelarse como resistencia y capacitancia distribuidas en lugar de componentes concentrados .

Análisis de imágenes

Las líneas de transmisión y ciertos tipos de diseño de filtros utilizan el método de la imagen para determinar sus parámetros de transferencia. En este método, se considera el comportamiento de una cadena infinitamente larga de redes idénticas conectadas en cascada. A continuación, se calculan las impedancias de entrada y salida, así como las funciones de transmisión directa e inversa para esta cadena infinita. Si bien los valores teóricos obtenidos nunca se pueden alcanzar con exactitud en la práctica, en muchos casos sirven como una muy buena aproximación del comportamiento de una cadena finita, siempre que esta no sea demasiado corta.

Análisis de redes basado en el tiempo con simulación

La mayoría de los métodos de análisis calculan los valores de voltaje y corriente para redes estáticas, que son circuitos compuestos únicamente por componentes sin memoria, pero presentan dificultades con redes dinámicas complejas. En general, las ecuaciones que describen el comportamiento de un circuito dinámico tienen la forma de un sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas (EDA). Los EDA son difíciles de resolver y los métodos para hacerlo aún no se comprenden ni se desarrollan completamente (a fecha de 2010). Además, no existe ningún teorema general que garantice la existencia y unicidad de soluciones para los EDA. ^{[ 5 ]}^{: 204–205} En casos especiales, la ecuación del circuito dinámico tendrá la forma de una ecuación diferencial ordinaria (EDO), que es más fácil de resolver, ya que los métodos numéricos para resolver EDO tienen una larga trayectoria, que se remonta a finales del siglo XIX. Una estrategia para adaptar los métodos de solución de EDO a los EDA se denomina discretización directa y es el método preferido en la simulación de circuitos. ^{[ 5 ]}^{: 204-205}

Los métodos basados en simulación para el análisis de redes en función del tiempo resuelven un circuito que se plantea como un problema de valor inicial (PVI). Es decir, los valores de los componentes con memoria (por ejemplo, los voltajes en los condensadores y las corrientes a través de los inductores) se dan en un punto inicial de tiempo $t 0$ , y el análisis se realiza para el tiempo $t_{0}\leq t\leq t_{f}$ . ^{[ 5 ]}^{: 206-207} Dado que no es posible encontrar resultados numéricos para la cantidad infinita de puntos de tiempo desde $t 0$ hasta $t f$ , este período de tiempo se discretiza en instancias de tiempo discretas, y la solución numérica se encuentra para cada instancia. El tiempo entre las instancias de tiempo se llama paso de tiempo y puede ser fijo durante toda la simulación o puede ser adaptativo .

En un problema de valor inicial (PVI), al encontrar una solución para el tiempo $t n+1$ , la solución para el tiempo $t n$ ya se conoce. Luego, se utiliza la discretización temporal para reemplazar las derivadas con diferencias, como $x'(t_{n+1})\approx {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{h_{n+1}}}$ para el método de Euler hacia atrás , donde $h n+1$ es el paso de tiempo. ^{[ 5 ]}^{: 266}

Si todos los componentes del circuito son lineales o el circuito se linealizó previamente, el sistema de ecuaciones en este punto es un sistema de ecuaciones lineales y se resuelve con métodos numéricos de álgebra lineal . De lo contrario, es un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales y se resuelve con métodos numéricos no lineales, como algoritmos de búsqueda de raíces .

Comparación con otros métodos

Los métodos de simulación son mucho más aplicables que los métodos basados en la transformada de Laplace , como las funciones de transferencia , que solo funcionan para redes dinámicas simples con capacitores e inductores. Además, las señales de entrada a la red no pueden definirse arbitrariamente en los métodos basados en la transformada de Laplace.

Redes no lineales

La mayoría de los diseños electrónicos son, en realidad, no lineales. Hay muy pocos que no incluyan algún dispositivo semiconductor. Estos son invariablemente no lineales; la función de transferencia de una unión pn semiconductora ideal viene dada por la relación muy no lineal;

i=I_{o}\left(e^{{v}/{V_{T}}}-1\right)

dónde;

i y v son la corriente y el voltaje instantáneos.
I _o es un parámetro arbitrario llamado corriente de fuga inversa cuyo valor depende de la construcción del dispositivo.
V _T es un parámetro proporcional a la temperatura, denominado voltaje térmico, que equivale a unos 25 mV a temperatura ambiente.

Existen muchas otras formas en que la no linealidad puede manifestarse en una red. Todos los métodos que utilizan la superposición lineal fallarán cuando haya componentes no lineales presentes. Hay varias opciones para abordar la no linealidad, dependiendo del tipo de circuito y de la información que el analista desee obtener.

Ecuaciones constitutivas

La ecuación del diodo anterior es un ejemplo de una ecuación constitutiva de un elemento de la forma general,

f(v,i)=0

Esto puede considerarse como una resistencia no lineal. Las ecuaciones constitutivas correspondientes para inductores y capacitores no lineales son, respectivamente:

f(v,\varphi )=0

f(v,q)=0

donde f es cualquier función arbitraria, φ es el flujo magnético almacenado y q es la carga almacenada.

Existencia, singularidad y estabilidad

Una consideración importante en el análisis no lineal es la cuestión de la unicidad. Para una red compuesta por componentes lineales, siempre habrá una única solución para un conjunto dado de condiciones de contorno. Esto no siempre ocurre en los circuitos no lineales. Por ejemplo, una resistencia lineal con una corriente fija aplicada tiene una única solución para la tensión en sus terminales. Por otro lado, el diodo túnel no lineal tiene hasta tres soluciones para la tensión para una corriente dada. Es decir, una solución particular para la corriente que atraviesa el diodo no es única; puede haber otras, igualmente válidas. En algunos casos, puede que no exista ninguna solución: debe considerarse la cuestión de la existencia de soluciones.

Otra consideración importante es la cuestión de la estabilidad. Puede existir una solución particular, pero esta puede no ser estable, desviándose rápidamente de ese punto ante la menor estimulación. Se puede demostrar que una red que es absolutamente estable para todas las condiciones debe tener una, y solo una, solución para cada conjunto de condiciones. ^{[ 6 ]}

Métodos

Análisis booleano de redes de conmutación

Un dispositivo de conmutación es aquel en el que la no linealidad se utiliza para producir dos estados opuestos. Los dispositivos CMOS en circuitos digitales, por ejemplo, tienen su salida conectada a la línea de alimentación positiva o negativa, y nunca se encuentran en ningún punto intermedio, excepto durante un período transitorio cuando el dispositivo está conmutando. En este caso, la no linealidad está diseñada para ser extrema, y el analista puede aprovechar esta característica. Este tipo de redes se pueden analizar mediante álgebra booleana , asignando los dos estados ("encendido"/"apagado", "positivo"/"negativo" o cualquier otro estado que se utilice) a las constantes booleanas "0" y "1".

En este análisis se ignoran los transitorios, así como cualquier pequeña discrepancia entre el estado del dispositivo y el estado nominal asignado a un valor booleano. Por ejemplo, se puede asignar el valor booleano "1" al estado de +5 V. La salida del dispositivo puede ser de +4,5 V, pero el analista sigue considerándola como el valor booleano "1". Los fabricantes de dispositivos suelen especificar en sus hojas de datos un rango de valores que se consideran indefinidos (es decir, el resultado será impredecible).

Los transitorios no son del todo irrelevantes para el analista. La velocidad máxima de conmutación viene determinada por la velocidad de transición de un estado a otro. Afortunadamente para el analista, en muchos dispositivos, la mayor parte de la transición se produce en la porción lineal de la función de transferencia del dispositivo, y se puede aplicar un análisis lineal para obtener al menos una respuesta aproximada.

Es matemáticamente posible derivar álgebras booleanas con más de dos estados. No se les encuentra mucha utilidad en electrónica, aunque los dispositivos de tres estados son relativamente comunes.

Separación de análisis de sesgo y de señal

Esta técnica se utiliza cuando el funcionamiento del circuito debe ser esencialmente lineal, pero los dispositivos empleados para su implementación son no lineales. Un amplificador de transistores es un ejemplo de este tipo de red. La esencia de esta técnica radica en dividir el análisis en dos partes. En primer lugar, se analizan las polarizaciones de CC mediante algún método no lineal. Esto permite determinar el punto de operación en reposo del circuito. En segundo lugar, se analizan las características de pequeña señal del circuito mediante análisis de redes lineales. A continuación se presentan ejemplos de métodos que pueden utilizarse en ambas etapas.

Método gráfico de análisis de corriente continua

En muchos diseños de circuitos, la polarización de CC se aplica a un componente no lineal mediante una resistencia (o posiblemente una red de resistencias). Dado que las resistencias son componentes lineales, resulta particularmente sencillo determinar el punto de operación en reposo del dispositivo no lineal a partir de la gráfica de su función de transferencia. El método es el siguiente: mediante el análisis de la red lineal, se calcula la función de transferencia de salida (es decir, la tensión de salida en función de la corriente de salida) para la red de resistencias y el generador que las alimenta. Esta será una línea recta (denominada línea de carga ) que puede superponerse fácilmente a la gráfica de la función de transferencia del dispositivo no lineal. El punto donde se cruzan las líneas es el punto de operación en reposo.

Quizás el método práctico más sencillo sea calcular la tensión en circuito abierto y la corriente en cortocircuito de la red (lineal) y representarlas gráficamente en la función de transferencia del dispositivo no lineal. La línea recta que une estos dos puntos es la función de transferencia de la red.

En realidad, el diseñador del circuito procedería en sentido inverso al descrito. Partiendo de un gráfico proporcionado en la hoja de datos del fabricante para el dispositivo no lineal, el diseñador elegiría el punto de operación deseado y luego calcularía los valores de los componentes lineales necesarios para alcanzarlo.

Todavía es posible utilizar este método si la polarización del dispositivo se aplica a través de otro dispositivo no lineal, como un diodo. Sin embargo, en este caso, la gráfica de la función de transferencia de la red sobre el dispositivo polarizado ya no sería una línea recta y, por lo tanto, su cálculo resulta más laborioso.

Circuito equivalente de pequeña señal

Este método puede utilizarse cuando la desviación de las señales de entrada y salida en una red se mantiene dentro de una porción prácticamente lineal de la función de transferencia del dispositivo no lineal, o bien es tan pequeña que la curva de la función de transferencia puede considerarse lineal. Bajo estas condiciones específicas, el dispositivo no lineal puede representarse mediante una red lineal equivalente. Cabe recordar que este circuito equivalente es puramente teórico y solo es válido para pequeñas desviaciones de la señal. Es totalmente inaplicable a la polarización de CC del dispositivo.

Para un dispositivo simple de dos terminales, el circuito equivalente de pequeña señal puede constar de tan solo dos componentes: una resistencia igual a la pendiente de la curva v/i en el punto de operación (denominada resistencia dinámica) y una tangente a dicha curva; y un generador, ya que esta tangente, por lo general, no pasa por el origen. Con más terminales, se requieren circuitos equivalentes más complejos.

Una forma común de especificar el circuito equivalente de pequeña señal entre los fabricantes de transistores es mediante los parámetros de red de dos puertos conocidos como parámetros [h] . Estos son una matriz de cuatro parámetros, al igual que los parámetros [z], pero en el caso de los parámetros [h], son una combinación híbrida de impedancias, admitancias, ganancias de corriente y ganancias de voltaje. En este modelo, el transistor de tres terminales se considera una red de dos puertos, donde uno de sus terminales es común a ambos puertos. Los parámetros [h] varían considerablemente según el terminal elegido como común. El parámetro más importante para los transistores suele ser la ganancia de corriente directa, h ₂₁ , en la configuración de emisor común. Esta se designa como h _fe en las hojas de datos.

El circuito equivalente de pequeña señal en términos de parámetros de dos puertos conduce al concepto de generadores dependientes. Es decir, el valor de un generador de voltaje o corriente depende linealmente de un voltaje o corriente en otra parte del circuito. Por ejemplo, el modelo de parámetros [z] conduce a generadores de voltaje dependientes como se muestra en este diagrama;

En un circuito equivalente de dos puertos con parámetros, siempre habrá generadores dependientes. Esto se aplica tanto a los parámetros [h] como a los [z] y a cualquier otro tipo. Estas dependencias deben conservarse al desarrollar las ecuaciones en un análisis de red lineal más amplio.

Método lineal por tramos

En este método, la función de transferencia del dispositivo no lineal se divide en regiones. Cada una de estas regiones se aproxima mediante una línea recta. De este modo, la función de transferencia será lineal hasta un punto determinado donde se producirá una discontinuidad. A partir de este punto, la función de transferencia volverá a ser lineal, pero con una pendiente diferente.

Una aplicación bien conocida de este método es la aproximación de la función de transferencia de un diodo de unión pn. La función de transferencia de un diodo ideal se ha presentado al inicio de esta sección (no lineal). Sin embargo, esta fórmula rara vez se utiliza en el análisis de redes, donde se emplea una aproximación por tramos. Se observa que la corriente del diodo disminuye rápidamente hasta -I₀ _a medida que cae el voltaje. Esta corriente, en la mayoría de los casos, es tan pequeña que puede ignorarse. Al aumentar el voltaje, la corriente aumenta exponencialmente. El diodo se modela como un circuito abierto hasta el punto de inflexión de la curva exponencial, y a partir de este punto, como una resistencia igual a la resistencia volumétrica del material semiconductor.

Los valores comúnmente aceptados para la tensión de transición son 0,7 V para dispositivos de silicio y 0,3 V para dispositivos de germanio. Un modelo aún más simple del diodo, utilizado a veces en aplicaciones de conmutación, consiste en un cortocircuito para tensiones directas y un circuito abierto para tensiones inversas.

El modelo de una unión PN polarizada directamente con una tensión aproximadamente constante de 0,7 V es también una aproximación muy utilizada para la tensión de la unión base-emisor del transistor en el diseño de amplificadores.

El método por partes es similar al método de pequeña señal en que las técnicas de análisis de redes lineales solo se pueden aplicar si la señal se mantiene dentro de ciertos límites. Si la señal cruza un punto de discontinuidad, el modelo deja de ser válido para el análisis lineal. Sin embargo, este modelo tiene la ventaja sobre el método de pequeña señal de que es igualmente aplicable a la señal y a la polarización de CC. Por lo tanto, ambas se pueden analizar en las mismas operaciones y serán linealmente superponibles.

Componentes que varían con el tiempo

En el análisis lineal, se supone que los componentes de la red son constantes, pero en algunos circuitos esto no se cumple, como en los osciladores de barrido, los amplificadores controlados por voltaje y los ecualizadores variables . En muchas circunstancias, el cambio en el valor del componente es periódico. Un componente no lineal excitado con una señal periódica, por ejemplo, puede representarse como un componente lineal que varía periódicamente. Sidney Darlington reveló un método para analizar dichos circuitos periódicos que varían en el tiempo. Desarrolló formas de circuito canónicas que son análogas a las formas canónicas de Ronald M. Foster y Wilhelm Cauer utilizadas para analizar circuitos lineales. ^{[ 7 ]}

teoría de circuitos vectoriales

La generalización de la teoría de circuitos, basada en magnitudes escalares, a corrientes vectoriales es fundamental para el desarrollo de circuitos de reciente creación, como los circuitos de espín. Las variables generalizadas del circuito constan de cuatro componentes: corriente escalar y corriente de espín vectorial en las direcciones x, y y z. Tanto los voltajes como las corrientes se convierten en magnitudes vectoriales cuya conductancia se describe mediante una matriz de conductancia de espín de 4x4.

Véase también

Referencias

↑ Belevitch V (mayo de 1962). "Resumen de la historia de la teoría de circuitos". Actas del IRE . 50 (5): 849. doi : 10.1109/JRPROC.1962.288301 . S2CID 51666316 . cita "Estándares IRE sobre circuitos: definiciones de términos para redes lineales pasivas recíprocas invariantes en el tiempo, 1960". Actas del IRE . 48 (9): 1609. Septiembre de 1960. doi : 10.1109/JRPROC.1960.287676 .para justificar esta definición. Sidney Darlington Darlington S (1984). "Una historia de la síntesis de redes y la teoría de filtros para circuitos compuestos de resistencias, inductores y condensadores". IEEE Transactions on Circuits and Systems . 31 (1): 4. doi : 10.1109/TCS.1984.1085415 .Sigue la línea de Belevitch, pero señala que ahora también hay muchos usos coloquiales de "red".
1 2 3 4 Chen, Wai-Kai (2005). Análisis de circuitos y teoría de amplificadores con retroalimentación . CRC Press. ISBN 1420037277.
1 2 Nilsson, James W.; Riedel, Susan A. (2007). Circuitos eléctricos (8.ª ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198925-2.
↑ Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, NS; Kulkarni, G. U. (2017). "Distribución de corriente en redes de nanocables conductores". Journal of Applied Physics . 122 (4): 045101. Bibcode : 2017JAP...122d5101K . doi : 10.1063/1.4985792 .
1 2 3 4 Najm, Farid N. (2010). Simulación de circuitos . John Wiley & Sons. ISBN 9780470538715.
↑ Ljiljana Trajković, «Circuitos no lineales», Manual de ingeniería eléctrica (Ed.: Wai-Kai Chen), págs. 79-81, Academic Press, 2005 ISBN 0-12-170960-4
↑ Patente estadounidense 3265973 , Sidney Darlington, Irwin W. Sandberg, "Síntesis de redes de dos puertos con elementos que varían periódicamente en el tiempo", emitida el 9 de agosto de 1966.

Enlaces externos

Las Lecciones de Física de Feynman, Vol. II, Cap. 22: Circuitos de CA

[1] Belevitch V (mayo de 1962). "Resumen de la historia de la teoría de circuitos". Actas del IRE . 50 (5): 849. doi : 10.1109/JRPROC.1962.288301 . S2CID 51666316 . cita "Estándares IRE sobre circuitos: definiciones de términos para redes lineales pasivas recíprocas invariantes en el tiempo, 1960". Actas del IRE . 48 (9): 1609. Septiembre de 1960. doi : 10.1109/JRPROC.1960.287676 .para justificar esta definición. Sidney Darlington Darlington S (1984). "Una historia de la síntesis de redes y la teoría de filtros para circuitos compuestos de resistencias, inductores y condensadores". IEEE Transactions on Circuits and Systems . 31 (1): 4. doi : 10.1109/TCS.1984.1085415 .Sigue la línea de Belevitch, pero señala que ahora también hay muchos usos coloquiales de "red".

[Circuit_Analysis,_Chen-2] 1 2 3 4 Chen, Wai-Kai (2005). Análisis de circuitos y teoría de amplificadores con retroalimentación . CRC Press. ISBN 1420037277.

[ElectricCircuits-3] 1 2 Nilsson, James W.; Riedel, Susan A. (2007). Circuitos eléctricos (8.ª ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198925-2.

[4] Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, NS; Kulkarni, G. U. (2017). "Distribución de corriente en redes de nanocables conductores". Journal of Applied Physics . 122 (4): 045101. Bibcode : 2017JAP...122d5101K . doi : 10.1063/1.4985792 .

[Circuit_Simulation,_Najm-5] 1 2 3 4 Najm, Farid N. (2010). Simulación de circuitos . John Wiley & Sons. ISBN 9780470538715.

[6] Ljiljana Trajković, «Circuitos no lineales», Manual de ingeniería eléctrica (Ed.: Wai-Kai Chen), págs. 79-81, Academic Press, 2005 ISBN 0-12-170960-4

[7] Patente estadounidense 3265973 , Sidney Darlington, Irwin W. Sandberg, "Síntesis de redes de dos puertos con elementos que varían periódicamente en el tiempo", emitida el 9 de agosto de 1966.

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