monotonicidad de los recursos

Supongamos que la sociedad tiene${\displaystyle m}$unidades de algún recurso homogéneo divisible, como agua o harina. El recurso debe dividirse entre${\displaystyle n}$agentes con diferentes utilidades. La utilidad del agente${\displaystyle i}$está representado por una función${\displaystyle u_{i}}$; cuando el agente${\displaystyle i}$recibe${\displaystyle y_{i}}$unidades de recurso, de las cuales deriva una utilidad de${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$La sociedad tiene que decidir cómo dividir el recurso entre los agentes, es decir, encontrar un vector${\ Displaystyle y_ {1}, \ puntos, y_ {n}}$de tal manera que:${\displaystyle y_{1}+\cdots +y_{n}=m}$.

Dos reglas clásicas de asignación son la regla igualitaria , que busca igualar la utilidad de todos los agentes (o, lo que es lo mismo, maximizar la utilidad mínima), y la regla utilitarista , que busca maximizar la suma de las utilidades.

La regla igualitaria siempre es RM: ^{[ 1 ] : 47} cuando hay más recursos para compartir, la utilidad mínima que se puede garantizar a todos los agentes aumenta, y todos los agentes comparten el aumento por igual. Por el contrario, la regla utilitarista podría no ser RM.

Por ejemplo, supongamos que hay dos agentes, Alice y Bob , con las siguientes utilidades:

• ${\ Displaystyle u_ {A} (y_ {A}) = y_ {A} ^ {2}}$
• ${\displaystyle u_{B}(y_{B})=y_{B}}$

La asignación igualitaria se obtiene resolviendo la ecuación:${\displaystyle y_{A}^{2}=(m-y_{A})}$, lo cual es equivalente a${\displaystyle m=y_{A}^{2}+y_{A}}$, entonces${\displaystyle y_{A}}$es monótonamente creciente con${\displaystyle m}$Una ecuación equivalente es:${\displaystyle y_{B}=(m-y_{B})^{2}}$, lo cual es equivalente a${\displaystyle m={\sqrt {y_{B}}}+y_{B}}$, entonces${\displaystyle y_{B}}$también está aumentando monótonamente con${\displaystyle m}$. Así que en este ejemplo (como siempre) la regla igualitaria es RM.

Por el contrario, la regla utilitarista no es RM. Esto se debe a que Alice tiene rendimientos crecientes : su utilidad marginal es pequeña cuando tiene pocos recursos, pero aumenta rápidamente cuando tiene muchos recursos. Por lo tanto, cuando la cantidad total de recursos es pequeña (específicamente,${\displaystyle m<1}$), la suma utilitaria se maximiza cuando todos los recursos se le dan a Bob; pero cuando hay muchos recursos (${\displaystyle m>1}$), el máximo se alcanza cuando todos los recursos se le dan a Alice. Matemáticamente, si${\displaystyle y}$es la cantidad dada a Alice, entonces la suma utilitaria es${\displaystyle y^{2}+(m-y)}$Esta función tiene solo un punto mínimo interno pero no un punto máximo interno; su punto máximo está en el rango${\displaystyle [0,m]}$se alcanza en uno de los puntos finales. Es el punto final izquierdo cuando${\displaystyle m<1}$y el punto final correcto cuando${\displaystyle m>1}$En general , la regla de asignación utilitarista es RM cuando todos los agentes tienen rendimientos decrecientes , pero puede no ser RM cuando algunos agentes tienen rendimientos crecientes (como en el ejemplo). ^{[ 1 ] : 46–47}

Por lo tanto, si la sociedad utiliza el utilitarismo para asignar recursos, Bob pierde valor cuando la cantidad de recursos aumenta. Esto es negativo porque incentiva a Bob a ir en contra del crecimiento económico: Bob intentará mantener la cantidad total baja para conservar su propia parte alta.

Consideremos un servidor en la nube con algunas unidades de RAM y CPU. Hay dos usuarios con diferentes tipos de tareas:

• Las tareas de Alice necesitan 1 unidad de RAM y 2 unidades de CPU;
• Las tareas de Bob requieren 2 unidades de RAM y 1 unidad de CPU.

Así, las funciones de utilidad (=número de tareas), donde r representa la RAM y c la CPU, son utilidades de Leontief :

• ${\displaystyle u_{A}(r,c)=\min(r,c/2)}$
• ${\displaystyle u_{B}(r,c)=\min(r/2,c)}$

Si el servidor tiene 12 RAM y 12 CPU, entonces tanto la asignación utilitaria como la igualitaria (y también la asignación óptima de Nash, de producto máximo) son:

• ${\displaystyle r_{A}=4,c_{A}=8\implies u_{A}=4}$
• ${\displaystyle r_{B}=8,c_{B}=4\implies u_{B}=4}$

Ahora bien, supongamos que se dispone de 12 unidades más de CPU. La asignación igualitaria no cambia, pero la asignación utilitaria ahora otorga todos los recursos a Alice:

• ${\displaystyle r_{A}=12,c_{A}=24\implies u_{A}=12}$
• ${\displaystyle r_{B}=0,c_{B}=0\implies u_{B}=0}$

Por lo tanto, Bob pierde valor debido al aumento de recursos.

La asignación óptima de Nash (máximo producto) se convierte en:

• ${\displaystyle r_{A}=6,c_{A}=12\implies u_{A}=6}$
• ${\displaystyle r_{B}=6,c_{B}=3\implies u_{B}=3}$

Así que Bob también pierde valor aquí, pero la pérdida es menos grave. ^{[ 1 ] : 83–84}

En el problema del reparto equitativo de pasteles , las reglas de asignación clásicas como dividir y elegir no son RM. Se sabe que varias reglas son RM:

• Cuando las piezas pueden desconectarse , cualquier regla de asignación que maximice una función de bienestar cóncava de las utilidades absolutas (no normalizadas) es RM. En particular, la regla óptima de Nash, la regla leximin absoluta y la regla utilitarista absoluta son todas RM. Sin embargo, si la maximización utiliza las utilidades relativas (utilidades divididas por el valor total del pastel), entonces la mayoría de estas reglas no son RM; la única que sigue siendo RM es la regla óptima de Nash. ^{[ 3 ]}
• Cuando las piezas deben conectarse , ninguna regla de división proporcional Pareto-óptima es RM. La regla absolutamente equitativa es débilmente Pareto-óptima y RM, pero no proporcional. La regla relativa equitativa es débilmente Pareto-óptima y proporcional, pero no RM. La llamada regla de la marca más a la derecha , que es una variante de divide y elige , es proporcional, débilmente Pareto-óptima y RM, pero solo funciona para dos agentes. Queda por determinar si existen procedimientos de división que sean a la vez proporcionales y RM para tres o más agentes. ^{[ 4 ]}

La monotonicidad de los recursos se estudió en problemas de división justa con preferencias unimodales . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

La regla igualitaria (que maximiza el vector leximin de utilidades) podría no ser RM cuando el recurso a dividir consta de varias unidades indivisibles (discretas).

Por ejemplo, ^{[ 1 ] : 82} supongamos que hay${\displaystyle m}$raquetas de tenis. Alice obtiene una utilidad de 1 cada vez que tiene una raqueta, ya que disfruta jugando contra la pared. Pero Bob y Carl obtienen una utilidad de 1 solo cuando tienen dos raquetas, ya que solo disfrutan jugando entre ellos o contra Alice. Por lo tanto, si solo hay una raqueta, la regla igualitaria se la otorga enteramente a Alice. Pero si hay dos raquetas, se dividen equitativamente entre los agentes (cada agente obtiene una raqueta durante 2/3 del tiempo). Por lo tanto, Alice pierde utilidad cuando aumenta la cantidad total de raquetas. Alice tiene un incentivo para oponerse al crecimiento.

En el problema de asignación justa de artículos , los procedimientos de asignación clásicos, como el ganador ajustado y el grafo de envidia, no son RM. Además, incluso la regla óptima de Nash, que es RM en el problema de cortar pasteles, no lo es en la asignación de artículos. En cambio, la asignación de artículos round-robin sí es RM. Además, round-robin puede adaptarse para generar secuencias de selección adecuadas para agentes con diferentes derechos; todas estas secuencias de selección también son RM. ^{[ 7 ]}

El caso especial en el que todos los elementos son idénticos y la utilidad de cada agente es simplemente la cantidad de elementos que recibe se conoce como reparto . Su origen se remonta a la tarea de asignar escaños en un parlamento entre estados o entre partidos. Por lo tanto, a menudo se le denomina monotonicidad de la cámara .