Rombo

En geometría , un rombo ( pl.: rombos ) es un cuadrilátero equilátero , es decir , un cuadrilátero cuyos cuatro lados tienen la misma longitud. Otros nombres para el rombo incluyen diamante , romboide y calisson .

Todo rombo es un polígono simple (sin autointersecciones). Un rombo es un caso especial de paralelogramo y cometa . Un rombo con ángulos rectos es un cuadrado . ^{[ a ]} Un rombo no cuadrado tiene dos ángulos agudos opuestos y dos ángulos obtusos opuestos .

El nombre rombo proviene del griego ῥόμβος rhómbos , que significa algo que gira, como un bramador o un antiguo precursor del molinillo de botones . ^{[ 2 ]} La palabra fue utilizada tanto por Euclides como por Arquímedes , quien también empleó el término "rombo sólido" para un biconeno , dos conos circulares rectos que comparten una base común. ^{[ 3 ]} Un rombo plano es una sección transversal de un biconeno.

El nombre diamante proviene de la forma de una gema de diamante octaédrica ; el palo de diamantes en los naipes recibe su nombre de esta forma; originalmente se llamaba carreaux (literalmente, "cuadrados") en francés. ^{[ 4 ]} En el contexto de los polidiamantes , formas similares a los poliominos pero construidas a partir de triángulos equiláteros, un diamante es un rombo con un ángulo de 60°.

La etimología de la palabra «lozenge» (rombo) es incierta. Podría derivar de la forma de algunos pasteles de almendra lauzinaj o de la forma de las lápidas. Un lozenge suele referirse específicamente a un rombo con un ángulo de 45°.

Un calisson es un tipo de dulce francés con forma de rombo. ^{[ 5 ]}

Un cuadrilátero simple (que no se autointerseca ) es un rombo si y solo si es alguno de los siguientes: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

• un paralelogramo en el que una diagonal biseca un ángulo interior
• un paralelogramo en el que al menos dos lados consecutivos tienen la misma longitud.
• un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares (un paralelogramo ortodiagonal )
• un cuadrilátero con cuatro lados de igual longitud (por definición)
• un cuadrilátero en el que las diagonales son perpendiculares y se bisecan mutuamente
• un cuadrilátero en el que cada diagonal biseca dos ángulos interiores opuestos
• un cuadrilátero ABCD que posee un punto P en su plano tal que los cuatro triángulos ABP , BCP , CDP y DAP son todos congruentes ^{[ 8 ].}
• un cuadrilátero ABCD en el que los círculos inscritos en los triángulos ABC , BCD , CDA y DAB tienen un punto común ^{[ 9 ]}

Todo rombo tiene dos diagonales que conectan pares de vértices opuestos y dos pares de lados paralelos. Utilizando triángulos congruentes , se puede demostrar que el rombo es simétrico respecto a cada una de estas diagonales. Por lo tanto, todo rombo posee las siguientes propiedades:

• Los ángulos opuestos de un rombo tienen la misma medida.
• Las dos diagonales de un rombo son perpendiculares ; es decir, un rombo es un cuadrilátero ortodiagonal .
• Sus diagonales bisecan ángulos opuestos.

La primera propiedad implica que todo rombo es un paralelogramo . Por lo tanto, un rombo tiene todas las propiedades de un paralelogramo : por ejemplo, los lados opuestos son paralelos; los ángulos adyacentes son suplementarios ; las dos diagonales se bisecan mutuamente; cualquier línea que pase por el punto medio biseca el área; y la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales (la ley del paralelogramo ). Así, denotando el lado común como a y las diagonales como p y q , en todo rombo

${\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.}$

No todo paralelogramo es un rombo, aunque cualquier paralelogramo con diagonales perpendiculares (la segunda propiedad) sí lo es. En general, cualquier cuadrilátero con diagonales perpendiculares, una de las cuales es un eje de simetría, es un cometa . Todo rombo es un cometa, y cualquier cuadrilátero que sea a la vez cometa y paralelogramo es un rombo.

Un rombo es un cuadrilátero tangente . ^{[ 10 ]} Es decir, tiene un círculo inscrito que es tangente a sus cuatro lados.

La longitud de las diagonales p = AC y q = BD se puede expresar en términos del lado a del rombo y un ángulo del vértice α como

${\displaystyle p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}$

y

${\displaystyle q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.}$

Estas fórmulas son una consecuencia directa de la ley de los cosenos .

El radio interno (el radio de un círculo inscrito en el rombo), denotado por r , se puede expresar en términos de las diagonales p y q como ^{[ 10 ].}

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},}$

o en términos de la longitud del lado a y cualquier ángulo del vértice α o β como

${\displaystyle r={\frac {a\sin \alpha }{2}}={\frac {a\sin \beta }{2}}.}$

Como en todos los paralelogramos , el área K de un rombo es el producto de su base y su altura ( h ). La base es simplemente cualquier lado de longitud a :

${\displaystyle K=a\cdot h.}$

El área también se puede expresar como la base al cuadrado multiplicada por el seno de cualquier ángulo:

${\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

o en términos de la altura y un ángulo del vértice :

${\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},}$

o como la mitad del producto de las diagonales p y q :

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}},}$

o como el semiperímetro multiplicado por el radio del círculo inscrito en el rombo (inradius):

${\displaystyle K=2a\cdot r.}$

Otra forma, común con los paralelogramos, es considerar dos lados adyacentes como vectores, formando un bivector , de modo que el área es la magnitud del bivector (la magnitud del producto vectorial de los dos vectores), que es el determinante de las coordenadas cartesianas de los dos vectores: K = x ₁ y ₂ – x ₂ y ₁ .

El polígono dual de un rombo es un rectángulo : ^{[ 11 ]}

• Un rombo tiene todos sus lados iguales, mientras que un rectángulo tiene todos sus ángulos iguales.
• Un rombo tiene ángulos opuestos iguales, mientras que un rectángulo tiene lados opuestos iguales.
• Un rombo tiene un círculo inscrito, mientras que un rectángulo tiene un círculo circunscrito .
• Un rombo tiene un eje de simetría que pasa por cada par de ángulos opuestos de sus vértices, mientras que un rectángulo tiene un eje de simetría que pasa por cada par de lados opuestos.
• Las diagonales de un rombo se intersecan en ángulos iguales, mientras que las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud.
• La figura formada al unir los puntos medios de los lados de un rombo es un rectángulo , y viceversa.

Los lados de un rombo centrado en el origen, con diagonales que caen cada una sobre un eje, consisten en todos los puntos ( x, y ) que satisfacen

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.}$

Los vértices están en${\displaystyle (\pm a,0)}$y${\displaystyle (0,\pm b).}$Este es un caso especial de la superelipse , con exponente 1.

• Uno de los cinco tipos de retículas 2D es la retícula rómbica, también llamada retícula rectangular centrada .
• Los rombos pueden cubrir el plano 2D borde con borde y periódicamente de tres maneras diferentes, incluyendo, para el rombo de 60°, el teselado de rombos .

• Entre los análogos tridimensionales de un rombo se incluyen la bipirámide y el bicónico como superficie de revolución .

• Rombo de Michaelis , en anatomía humana
• Romboide , que es un paralelepípedo o un paralelogramo que no es ni un rombo ni un rectángulo.
• Antena rómbica
• Ajedrez rómbico
• Bandera del Departamento de Norte Santander de Colombia, que contiene cuatro estrellas en forma de rombo.
• Superelipse (incluye un rombo con esquinas redondeadas)

• Paralelogramo y rombo: curso animado (construcción, circunferencia, área)
• Definición de rombo, Referencia Abierta de Matemáticas con applet interactivo.
• Área de un rombo, Math Open Reference : muestra tres formas diferentes de calcular el área de un rombo, con una aplicación interactiva.