Cinta (matemáticas)

En geometría diferencial , una cinta (o franja ) es la combinación de una curva espacial suave y su vector normal correspondiente . Más formalmente, una cinta denotada por${\displaystyle (X,U)}$incluye una curva${\displaystyle X}$dado por un vector tridimensional${\displaystyle X(s)}$, dependiendo continuamente de la longitud del arco de la curva${\displaystyle s}$(${\displaystyle a\leq s\leq b}$), y un vector unitario${\displaystyle U(s)}$perpendicular a${\displaystyle {\partial X \over \partial s}(s)}$en cada punto. ^{[ 1 ]} Las cintas han tenido una aplicación particular en lo que respecta al ADN . ^{[ 2 ]}

La cinta${\displaystyle (X,U)}$se llama simple si${\displaystyle X}$es una curva simple (es decir, sin autointersecciones) y cerrada y si${\displaystyle U}$y todos sus derivados coinciden en${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$. Para cualquier cinta cerrada simple, las curvas${\displaystyle X+\varepsilon U}$dado paramétricamente por${\displaystyle X(s)+\varepsilon U(s)}$son, para todos suficientemente pequeños positivos${\displaystyle \varepsilon }$, curvas cerradas simples disjuntas de${\displaystyle X}$.

El concepto de cinta juega un papel importante en la fórmula de Călugăreanu , ^{[ 3 ] [ 4 ]} que establece que

${\displaystyle Lk=Wr+Tw,}$

dónde${\displaystyle Lk}$es el número de enlace asintótico (de Gauss) , el número entero de vueltas de la cinta alrededor de su eje;${\displaystyle Wr}$denota el número total de retorcimientos (o simplemente retorcimiento ), una medida de la no planaridad de la curva del eje de la cinta; y${\displaystyle Tw}$es el número total de torsión (o simplemente torsión ), la tasa de rotación de la cinta alrededor de su eje.

La teoría de las cintas investiga los aspectos geométricos y topológicos de una cinta de referencia matemática asociada con propiedades físicas y biológicas, como las que surgen en la dinámica de fluidos topológica , el modelado de ADN y la ciencia de los materiales .

• polinomio de Bollobás-Riordan
• Nudos y grafos
• Teoría de nudos
• superenrollamiento del ADN
• cinta de Möbius

• Adams, Colin (2004), El libro de los nudos: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos , Sociedad Matemática Americana , ISBN 0-8218-3678-1, MR 2079925 
• Călugăreanu, Gheorghe (1959), "L'intégrale de Gauss et l'analyse des nœuds tridimensionnels", Revue de Mathématiques Pure et Appliquées , 4 : 5– 20, MR 0131846 
• Călugăreanu, Gheorghe (1961), "Sur les schools d'isotopie des noeuds tridimensionels et leurs invariants", Checoslovak Mathematical Journal , 11 : 588– 625, doi : 10.21136/CMJ.1961.100486 , hdl : 10338.dmlcz/100486 , señor 0149378 
• White, James H. (1969), "Autovinculación y la integral de Gauss en dimensiones superiores", American Journal of Mathematics , 91 (3): 693–728 , doi : 10.2307/2373348 , JSTOR 2373348 , MR 0253264