Teorema de mapeo de Riemann

Teorema. Para un dominio abierto${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$Las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[ 10 ]}

1. ${\displaystyle G}$simplemente está conectado;
2. la integral de cada función holomorfa${\displaystyle f}$alrededor de una curva cerrada suave por partes en${\displaystyle G}$desaparece;
3. cada función holomorfa en${\displaystyle G}$es la derivada de una función holomorfa;
4. toda función holomorfa que no desaparece en ninguna parte${\displaystyle f}$en${\displaystyle G}$tiene un logaritmo holomorfo;
5. toda función holomorfa que no desaparece en ninguna parte${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$tiene una raíz cuadrada holomorfa;
6. para cualquier${\displaystyle w\notin G}$, el número de vueltas de${\displaystyle w}$para cualquier curva cerrada suave por partes en${\displaystyle G}$es${\displaystyle 0}$;
7. el complemento de${\displaystyle G}$en el plano complejo extendido${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$está conectado.

(1) ⇒ (2) porque cualquier curva cerrada continua, con punto base${\displaystyle a\in G}$, puede deformarse continuamente hasta alcanzar una curva constante.${\displaystyle a}$. Entonces la integral de línea de${\displaystyle f\,\mathrm {d} z}$sobre la curva es${\displaystyle 0}$.

(2) ⇒ (3) porque la integral sobre cualquier trayectoria suave a trozos${\displaystyle \gamma }$de${\displaystyle a}$a${\displaystyle z}$puede utilizarse para definir una primitiva.

(3) ⇒ (4) integrando${\displaystyle f^{-1}\,\mathrm {d} f/\mathrm {d} z}$a lo largo de${\displaystyle \gamma }$de${\displaystyle a}$a${\displaystyle x}$dar una rama del logaritmo.

(4) ⇒ (5) tomando la raíz cuadrada como${\displaystyle g(z)=\exp(f(x)/2)}$dónde${\displaystyle f}$es una elección holomorfa de logaritmo.

(5) ⇒ (6) porque si${\displaystyle \gamma }$es una curva cerrada por partes y${\displaystyle f_{n}}$son raíces cuadradas sucesivas de${\displaystyle zw}$para${\displaystyle w}$afuera${\displaystyle G}$, entonces el número de vueltas de${\displaystyle \gamma }$acerca de${\displaystyle w}$es${\displaystyle 2^{n}}$veces el número de vueltas de${\displaystyle f_{n}\circ \gamma }$acerca de${\displaystyle 0}$. Por lo tanto, el número de vueltas de${\displaystyle \gamma }$acerca de${\displaystyle w}$debe ser divisible por${\displaystyle 2^{n}}$a pesar de${\displaystyle n}$, por lo tanto debe ser igual a${\displaystyle 0}$.

(6) ⇒ (7) para el plano extendido en caso contrario${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus G}$se puede escribir como la unión disjunta de dos conjuntos abiertos y cerrados.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$con${\displaystyle \infty \in B}$y${\displaystyle A}$limitado. Deje${\displaystyle \delta >0}$sea ​​la distancia euclidiana más corta entre${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$y construir una cuadrícula cuadrada en${\displaystyle \mathbb {C} }$con longitud${\displaystyle \delta /4}$con un punto${\displaystyle a}$de${\displaystyle A}$en el centro de un cuadrado. Deje${\displaystyle C}$sea ​​el conjunto compacto de la unión de todos los cuadrados con distancia${\displaystyle \leq \delta /4}$de${\displaystyle A}$. Entonces${\displaystyle C\cap B=\varnothing }$y${\displaystyle \partial C}$no cumple${\displaystyle A}$o${\displaystyle B}$: consta de un número finito de segmentos horizontales y verticales en${\displaystyle G}$formando un número finito de caminos rectangulares cerrados${\displaystyle \gamma _{j}\in G}$. Tomando${\displaystyle C_{i}}$ser todos los cuadrados que cubren${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\partial C}\mathrm {d} \mathrm {arg} (z-a)}$es igual a la suma de los números de vuelta de${\displaystyle C_{i}}$ encima${\displaystyle a}$, dando así${\displaystyle 1}$Por otro lado, la suma de los números de vueltas de${\displaystyle \gamma _{j}}$acerca de${\displaystyle a}$igual${\displaystyle 1}$. Por lo tanto, el número de vueltas de al menos uno de los${\displaystyle \gamma _{j}}$acerca de${\displaystyle a}$es distinto de cero.

(7) ⇒ (1) Este es un argumento puramente topológico. Sea${\displaystyle \gamma }$sea ​​una curva cerrada suave por partes basada en${\displaystyle z_{0}\in G}$. Por aproximación, γ está en la misma clase de homotopía que un camino rectangular en la cuadrícula cuadrada de longitud${\displaystyle \delta >0}$con sede en${\displaystyle z_{0}}$; dicho camino rectangular está determinado por una sucesión de${\displaystyle N}$lados verticales y horizontales dirigidos consecutivamente. Por inducción en${\displaystyle N}$, dicho camino puede deformarse en un camino constante en una esquina de la cuadrícula. Si el camino se interseca en un punto${\displaystyle z_{1}}$, luego se divide en dos caminos rectangulares de longitud${\displaystyle <N}$y por lo tanto puede deformarse a la trayectoria constante en${\displaystyle z_{1}}$por la hipótesis de inducción y las propiedades elementales del grupo fundamental . El razonamiento sigue un "argumento noreste": ^{[ 11 ] [ 12 ]} en el camino que no se autointerseca habrá una esquina${\displaystyle z_{0}}$con la mayor parte real (este) y luego entre ellas la que tenga la mayor parte imaginaria (norte). Invirtiendo la dirección si fuera necesario, el camino va desde${\displaystyle z_{0}-\delta }$a${\displaystyle z_{0}}$y luego a${\displaystyle w_{0}=z_{0}-in\delta }$para${\displaystyle n\geq 1}$y luego va hacia la izquierda a${\displaystyle w_{0}-\delta }$. Dejar${\displaystyle R}$Sea el rectángulo abierto con estos vértices. El número de vueltas del camino es${\displaystyle 0}$para puntos a la derecha del segmento vertical desde${\displaystyle z_{0}}$a${\displaystyle w_{0}}$y${\displaystyle -1}$para apunta a la derecha; y por lo tanto dentro${\displaystyle R}$. Dado que el número de vueltas es${\displaystyle 0}$apagado${\displaystyle G}$,${\displaystyle R}$se encuentra en${\displaystyle G}$. Si${\displaystyle z}$es un punto del camino, debe estar en${\displaystyle G}$; si${\displaystyle z}$está en${\displaystyle \partial R}$pero no en el camino, por continuidad el número de vueltas del camino aproximadamente${\displaystyle z}$es${\displaystyle -1}$, entonces${\displaystyle z}$También debe estar en${\displaystyle G}$. Por eso${\displaystyle R\cup \partial R\subset G}$. Pero en este caso, la trayectoria se puede deformar reemplazando los tres lados del rectángulo por el cuarto, lo que resulta en dos lados menos (permitiéndose las autointersecciones).

• Teorema de convergencia de Weierstrass. El límite uniforme en compactos de una sucesión de funciones holomorfas es holomorfo; lo mismo ocurre con las derivadas.

Esto es una consecuencia inmediata del teorema de Morera para la primera afirmación. La fórmula integral de Cauchy proporciona una fórmula para las derivadas que puede utilizarse para comprobar que las derivadas también convergen uniformemente en compactos. ^{[ 13 ]}

• Teorema de Hurwitz . Si una sucesión de funciones holomorfas que no se anulan en ningún punto en un dominio abierto tiene un límite uniforme en un conjunto compacto, entonces o bien el límite es idénticamente cero o bien el límite no se anula en ningún punto. Si una sucesión de funciones holomorfas univalentes en un dominio abierto tiene un límite uniforme en un conjunto compacto, entonces o bien el límite es constante o bien el límite es univalente.

Si la función límite no es cero, entonces sus ceros deben aislarse. Los ceros con multiplicidades se pueden contar por el número de vueltas.${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)\right)^{-1}g'(z)\mathrm {d} z}$para una función holomorfa${\displaystyle g}$Por lo tanto, los números de vueltas son continuos bajo límites uniformes, de modo que si cada función en la secuencia no tiene ceros, tampoco puede tener el límite. Para la segunda afirmación, supongamos que${\displaystyle f(a)=f(b)}$y establecer${\displaystyle g_{n}(z)=f_{n}(z)-f_{n}(a)}$Estos no desaparecen en ningún lugar de un disco pero${\displaystyle g(z)=f(z)-f(a)}$desaparece en${\displaystyle b}$, entonces${\displaystyle g}$debe desaparecer idénticamente. ^{[ 14 ]}

Definiciones. Una familia${\displaystyle {\cal {F}}}$Se dice que una secuencia de funciones holomorfas en un dominio abierto es normal si cualquier secuencia de funciones en${\displaystyle {\cal {F}}}$tiene una subsecuencia que converge uniformemente a una función holomorfa en compactos. Una familia${\displaystyle {\cal {F}}}$es compacto si siempre que una secuencia${\displaystyle f_{n}}$se encuentra en${\displaystyle {\cal {F}}}$y converge uniformemente a${\displaystyle f}$en compacta, entonces${\displaystyle f}$también se encuentra en${\displaystyle {\cal {F}}}$Una familia${\displaystyle {\cal {F}}}$Se dice que una familia es localmente acotada si sus funciones están uniformemente acotadas en cada disco compacto. Al diferenciar la fórmula integral de Cauchy , se deduce que las derivadas de una familia localmente acotada también lo son. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

• Teorema de Montel . Toda familia localmente acotada de funciones holomorfas en un dominio${\displaystyle G}$es normal.

Dejar${\displaystyle f_{n}}$sea ​​una secuencia totalmente acotada y elija un subconjunto denso contable${\displaystyle w_{m}}$de${\displaystyle G}$. Mediante la acotación local y un " argumento diagonal ", se puede elegir una subsecuencia de modo que${\displaystyle g_{n}}$es convergente en cada punto${\displaystyle w_{m}}$. Debe verificarse que esta secuencia de funciones holomorfas converge en${\displaystyle G}$uniformemente en cada compactum${\displaystyle K}$. Llevar${\displaystyle E}$abrir con${\displaystyle K\subset E}$de tal manera que el cierre de${\displaystyle E}$es compacto y contiene${\displaystyle G}$. Dado que la secuencia${\displaystyle \{g_{n}'\}}$está limitado localmente,${\displaystyle |g_{n}'|\leq M}$en${\displaystyle E}$. Por compacidad, si${\displaystyle \delta >0}$se toma suficientemente pequeño, un número finito de discos abiertos${\displaystyle D_{k}}$de radio${\displaystyle \delta >0}$se requiere cubrir${\displaystyle K}$mientras permanece en${\displaystyle E}$. Desde

${\displaystyle g_{n}(b)-g_{n}(a)=\int _{a}^{b}g_{n}^{\prime }(z)\,dz}$,

tenemos eso${\displaystyle |g_{n}(a)-g_{n}(b)|\leq M|a-b|\leq 2\delta M}$Ahora, para cada uno${\displaystyle k}$elige algunos${\displaystyle w_{i}}$en${\displaystyle D_{k}}$dónde${\displaystyle g_{n}(w_{i})}$converge, toma${\displaystyle n}$y${\displaystyle m}$tan grande como para estar dentro${\displaystyle \delta }$de su límite. Entonces para${\displaystyle z\in D_{k}}$,

${\displaystyle |g_{n}(z)-g_{m}(z)|\leq |g_{n}(z)-g_{n}(w_{i})|+|g_{n}(w_{i})-g_{m}(w_{i})|+|g_{m}(w_{1})-g_{m}(z)|\leq 4M\delta +2\delta .}$

De ahí la secuencia${\displaystyle \{g_{n}\}}$forma una sucesión de Cauchy en la norma uniforme en${\displaystyle K}$según sea necesario. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

• Teorema de mapeo de Riemann. Si${\displaystyle G\neq \mathbb {C} }$es un dominio simplemente conectado y${\displaystyle a\in G}$Existe un mapeo conforme único.${\displaystyle f}$de${\displaystyle G}$en el disco de la unidad${\displaystyle D}$normalizado de tal manera que${\displaystyle f(a)=0}$y${\displaystyle f'(a)>0}$.

La singularidad se deduce porque si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$satisfacían las mismas condiciones,${\displaystyle h=f\circ g^{-1}}$sería un mapa holomorfo univalente del disco unitario con${\displaystyle h(0)=0}$y${\displaystyle h'(0)>0}$. Pero según el lema de Schwarz , las aplicaciones holomorfas univalentes del disco unitario sobre sí mismo vienen dadas por las transformaciones de Möbius.

${\displaystyle k(z)=e^{i\theta }(z-\alpha )/(1-{\overline {\alpha }}z)}$

con${\displaystyle |\alpha |<1}$. Entonces${\displaystyle h}$debe ser el mapa de identidad y${\displaystyle f=g}$.

Para probar la existencia, tome${\displaystyle {\cal {F}}}$ser la familia de mapeos univalentes holomorfos${\displaystyle f}$de${\displaystyle G}$en el disco de la unidad abierta${\displaystyle D}$con${\displaystyle f(a)=0}$y${\displaystyle f'(a)>0}$. Es una familia normal según el teorema de Montel. Por la caracterización de la conectividad simple, para${\displaystyle b\in \mathbb {C} \setminus G}$Existe una rama holomorfa de la raíz cuadrada.${\displaystyle h(z)={\sqrt {z-b}}}$en${\displaystyle G}$Es univalente y${\displaystyle h(z_{1})\neq -h(z_{2})}$para${\displaystyle z_{1},z_{2}\in G}$. Por el teorema de la aplicación abierta ,${\displaystyle h(G)}$contiene un disco cerrado${\displaystyle \Delta }$; decir con centro${\displaystyle h(a)}$y radio${\displaystyle r>0}$. Por lo tanto, ningún punto de${\displaystyle -\Delta }$puede estar acostado en${\displaystyle h(G)}$. Dejar${\displaystyle F}$ser la transformación única de Möbius tomando${\displaystyle \mathbb {C} \setminus -\Delta }$sobre${\displaystyle D}$con la normalización${\displaystyle F(h(a))=0}$y${\displaystyle (F\circ h)'(a)=F'(h(a))\cdot h'(a)>0}$Por construcción${\displaystyle F\circ h}$está en${\displaystyle {\cal {F}}}$, de modo que${\displaystyle {\cal {F}}}$no es vacío . El método de Koebe consiste en utilizar una función extremal para producir una aplicación conforme que resuelva el problema: en esta situación se la suele llamar función de Ahlfors de G , en honor a Ahlfors . ^{[ 19 ]} Sea${\displaystyle 0<M\leq \infty }$ser el supremo de${\displaystyle f'(a)}$para${\displaystyle f\in {\cal {F}}}$. Elegir${\displaystyle f_{n}\in {\cal {F}}}$con${\displaystyle f_{n}'(a)}$tendiendo a${\displaystyle M}$. Por el teorema de Montel, pasando a una subsecuencia si es necesario,${\displaystyle f_{n}}$tiende a una función holomorfa${\displaystyle f}$uniformemente en compactos. Por el teorema de Hurwitz,${\displaystyle f}$es univalente o constante. Pero${\displaystyle f}$tiene${\displaystyle f(a)=0}$y${\displaystyle f'(a)>0}$. Entonces${\displaystyle M}$es finito, igual a${\displaystyle f'(a)>0}$y${\displaystyle {f\in {\cal {F}}}}$. Queda por comprobar que el mapeo conforme${\displaystyle f}$acepta${\displaystyle G}$sobre${\displaystyle D}$. Si no, toma${\displaystyle c\neq 0}$en${\displaystyle D\setminus f(G)}$y dejar${\displaystyle H}$ser una raíz cuadrada holomorfa de${\displaystyle (f(z)-c)/(1-{\overline {c}}f(z))}$en${\displaystyle G}$. La función${\displaystyle H}$es univalente y mapas${\displaystyle G}$en${\displaystyle D}$. Dejar

${\displaystyle F(z)={\frac {e^{i\theta }(H(z)-H(a))}{1-{\overline {H(a)}}H(z)}},}$

dónde${\displaystyle H'(a)/|H'(a)|=e^{-i\theta }}$. Entonces${\displaystyle F\in {\cal {F}}}$y un cálculo rutinario muestra que

${\displaystyle F'(a)=e^{i\theta }H'(a)/(1-|H(a)|^{2})=f'(a)\left({\sqrt {|c|}}+{\sqrt {|c|^{-1}}}\right)/2>f'(a)=M.}$

Esto contradice la máxima de${\displaystyle M}$, de modo que${\displaystyle f}$debe tomar todos los valores en${\displaystyle D}$. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

Nota. Como consecuencia del teorema de la aplicación de Riemann, todo dominio simplemente conexo en el plano es homeomorfo al disco unitario. Si se omiten puntos, esto se deduce del teorema. Para todo el plano, el homeomorfismo${\displaystyle \phi (z)=z/(1+|z|)}$da un homeomorfismo de${\displaystyle \mathbb {C} }$sobre${\displaystyle D}$.

El teorema de uniformización de Koebe para familias normales también se generaliza para producir uniformizadores.${\displaystyle f}$para dominios multiplemente conectados a dominios de hendiduras paralelas finitas , donde las hendiduras tienen un ángulo${\displaystyle \theta }$al eje x . Por lo tanto, si${\displaystyle G}$es un dominio en${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$que contiene${\displaystyle \infty }$y delimitado por un número finito de contornos de Jordan, existe una única función univalente.${\displaystyle f}$en${\displaystyle G}$con

${\displaystyle f(z)=z^{-1}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

cerca${\displaystyle \infty }$, maximizando${\displaystyle \mathrm {Re} (e^{-2i\theta }a_{1})}$y teniendo imagen${\displaystyle f(G)}$un dominio de hendidura paralela con ángulo${\displaystyle \theta }$al eje x . ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

La primera prueba de que los dominios de hendidura paralelos eran dominios canónicos en el caso múltiplemente conexo fue dada por David Hilbert en 1909. Jenkins (1958) , en su libro sobre funciones univalentes y mapeos conformes, dio un tratamiento basado en el trabajo de Herbert Grötzsch y René de Possel de principios de la década de 1930; fue el precursor de los mapeos cuasiconformes y diferenciales cuadráticos , desarrollados más tarde como la técnica de métrica extremal debido a Oswald Teichmüller . ^{[ 26 ]} Menahem Schiffer dio un tratamiento basado en principios variacionales muy generales , resumidos en discursos que dio al Congreso Internacional de Matemáticos en 1950 y 1958. En un teorema sobre "variación de frontera" (para distinguirla de la "variación interior"), derivó una ecuación diferencial y una desigualdad, que se basaban en una caracterización teórica de la medida de segmentos de línea recta debida a Ughtred Shuttleworth Haslam-Jones de 1936. La demostración de Haslam-Jones se consideró difícil y solo recibió una demostración satisfactoria a mediados de la década de 1970 por Schober y Campbell-Lamoureux. ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}

Schiff (1993) dio una demostración de uniformización para dominios de hendiduras paralelas que era similar al teorema de mapeo de Riemann. Para simplificar la notación, se tomarán hendiduras horizontales. En primer lugar, por la desigualdad de Bieberbach , cualquier función univalente

${\displaystyle g(z)=z+cz^{2}+\cdots }$

con${\displaystyle z}$en el disco de la unidad abierta debe satisfacer${\displaystyle |c|\leq 2}$. En consecuencia, si

${\displaystyle f(z)=z+a_{0}+a_{1}z^{-1}+\cdots }$

es univalente en${\displaystyle |z|>R}$, entonces${\displaystyle |f(z)-a_{0}|\leq 2|z|}$Para ver esto, toma${\displaystyle S>R}$y establecer

${\displaystyle g(z)=S(f(S/z)-b)^{-1}}$

para${\displaystyle z}$en el disco de la unidad, eligiendo${\displaystyle b}$por lo que el denominador no se anula en ningún lugar, y aplicamos el lema de Schwarz . A continuación, la función${\displaystyle f_{R}(z)=z+R^{2}/z}$se caracteriza por una "condición extrema" como la única función univalente en${\displaystyle z>R}$de la forma${\displaystyle z+a_{1}z^{-1}+\cdots }$que maximiza${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1})}$: esto es una consecuencia inmediata del teorema del área de Grönwall , aplicado a la familia de funciones univalentes.${\displaystyle f(zR)/R}$en${\displaystyle z>1}$. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

Para demostrar ahora que el dominio múltiplemente conexo${\displaystyle G\subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$puede uniformizarse mediante un mapeo conforme de ranura paralela horizontal

${\displaystyle f(z)=z+a_{1}z^{-1}+\cdots }$,

llevar${\displaystyle R}$lo suficientemente grande como para${\displaystyle \partial G}$yace en el disco abierto${\displaystyle |z|<R}$. Para${\displaystyle S>R}$, univalencia y la estimación${\displaystyle |f(z)|\leq 2|z|}$implican que, si${\displaystyle z}$se encuentra en${\displaystyle G}$con ${\displaystyle |z|\leq S}$, entonces${\displaystyle |f(z)|\leq 2S}$. Dado que la familia de univalentes${\displaystyle f}$están limitados localmente en${\displaystyle G\setminus \{\infty \}}$, por el teorema de Montel forman una familia normal. Además, si${\displaystyle f_{n}}$está en la familia y tiende a${\displaystyle f}$uniformemente en compacta, luego${\displaystyle f}$también está en la familia y cada coeficiente de la expansión de Laurent en${\displaystyle \infty }$del${\displaystyle f_{n}}$tiende al coeficiente correspondiente de${\displaystyle f}$. Esto se aplica en particular al coeficiente: por lo tanto, por compacidad hay univalente${\displaystyle f}$que maximiza${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1})}$Para comprobar que

${\displaystyle f(z)=z+a_{1}+\cdots }$

es la transformación de rendija paralela requerida, supongamos reducción al absurdo que${\displaystyle f(G)=G_{1}}$tiene un componente compacto y conectado${\displaystyle K}$de su límite que no es una hendidura horizontal. Entonces el complemento${\displaystyle G_{2}}$de${\displaystyle K}$en${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$está simplemente conectado con${\displaystyle G_{2}\supset G_{1}}$Por el teorema de mapeo de Riemann, existe un mapeo conforme.

${\displaystyle h(w)=w+b_{1}w^{-1}+\cdots ,}$

de tal manera que${\displaystyle h(G_{2})}$es${\displaystyle \mathbb {C} }$con una ranura horizontal eliminada. Entonces tenemos eso

${\displaystyle h(f(z))=z+(a_{1}+b_{1})z^{-1}+\cdots ,}$

y por lo tanto${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1}+b_{1})\leq \mathrm {Re} (a_{1})}$por la extremalidad de${\displaystyle f}$. Por lo tanto,${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})\leq 0}$Por otro lado, según el teorema de mapeo de Riemann, existe un mapeo conforme.

${\displaystyle k(w)=w+c_{0}+c_{1}w^{-1}+\cdots ,}$

mapeo desde${\displaystyle |w|>S}$sobre${\displaystyle G_{2}}$. Entonces

${\displaystyle f(k(w))-c_{0}=w+(a_{1}+c_{1})w^{-1}+\cdots .}$

Por la estricta maximalidad para el mapeo de rendijas en el párrafo anterior, podemos ver que${\displaystyle \mathrm {Re} (c_{1})<\mathrm {Re} (b_{1}+c_{1})}$, de modo que${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})>0}$. Las dos desigualdades para${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})}$son contradictorios. ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

La demostración de la unicidad de la transformación de hendidura paralela conforme se da en Goluzin (1969) y Grunsky (1978) . Aplicando la inversa de la transformación de Joukowsky${\displaystyle h}$En el dominio de la hendidura horizontal, se puede suponer que${\displaystyle G}$es un dominio delimitado por el círculo unitario${\displaystyle C_{0}}$y contiene arcos analíticos${\displaystyle C_{i}}$y puntos aislados (las imágenes de otras rendijas horizontales paralelas). Así, tomando un valor fijo${\displaystyle a\in G}$Existe un mapeo univalente.

${\displaystyle F_{0}(w)=h\circ f(w)=(w-a)^{-1}+a_{1}(w-a)+a_{2}(w-a)^{2}+\cdots ,}$

con su imagen un dominio de hendidura horizontal. Supongamos que${\displaystyle F_{1}(w)}$es otro uniformizador con

${\displaystyle F_{1}(w)=(w-a)^{-1}+b_{1}(w-a)+b_{2}(w-a)^{2}+\cdots .}$

Las imágenes debajo${\displaystyle F_{0}}$o${\displaystyle F_{1}}$de cada uno${\displaystyle C_{i}}$tienen una coordenada y fija , por lo que los segmentos horizontales también lo son. Por otro lado,${\displaystyle F_{2}(w)=F_{0}(w)-F_{1}(w)}$es holomorfo en${\displaystyle G}$. Si es constante, entonces debe ser idénticamente cero ya que${\displaystyle F_{2}(a)=0}$. Suponer${\displaystyle F_{2}}$Si no es constante, entonces por suposición${\displaystyle F_{2}(C_{i})}$son todas líneas horizontales. Si${\displaystyle t}$no está en una de estas líneas, el principio de argumentación de Cauchy muestra que el número de soluciones de${\displaystyle F_{2}(w)=t}$en${\displaystyle G}$es cero (cualquiera${\displaystyle t}$eventualmente quedará rodeado por contornos en${\displaystyle G}$cerca de la${\displaystyle C_{i}}$'s). Esto contradice el hecho de que la función holomorfa no constante${\displaystyle F_{2}}$es un mapeo abierto . ^{[ 35 ]}