Cuasicírculo

En matemáticas , un cuasicírculo es una curva de Jordan en el plano complejo que es la imagen de un círculo bajo una aplicación cuasiconforme del plano sobre sí mismo. Originalmente introducido de forma independiente por Pfluger (1961) y Tienari (1962), en la literatura más antigua (en alemán) se los denominaba curvas cuasiconformales , una terminología que también se aplicaba a los arcos . ^{[1] [2]} En el análisis complejo y la teoría de funciones geométricas , los cuasicírculos juegan un papel fundamental en la descripción del espacio universal de Teichmüller , a través de homeomorfismos cuasisimétricos del círculo. Los cuasicírculos también juegan un papel importante en los sistemas dinámicos complejos .

Un cuasicírculo se define como la imagen de un círculo bajo una aplicación cuasiconforme del plano complejo extendido . Se denomina K -cuasicrículo si la aplicación cuasiconforme tiene dilatación K . La definición de cuasicírculo generaliza la caracterización de una curva de Jordan como la imagen de un círculo bajo un homeomorfismo del plano. En particular, un cuasicírculo es una curva de Jordan. El interior de un cuasicírculo se denomina cuasidisco . ^[3]

Como se muestra en Lehto y Virtanen (1973), donde se utiliza el término más antiguo "curva cuasiconforme", si una curva de Jordan es la imagen de un círculo bajo una función cuasiconforme en un entorno de la curva, entonces también es la imagen de un círculo bajo una función cuasiconforme del plano extendido y, por lo tanto, un cuasicircúrculo. Lo mismo es cierto para los "arcos cuasiconformales", que pueden definirse como imágenes cuasiconformales de un arco circular, ya sea en un conjunto abierto o, equivalentemente, en el plano extendido. ^[4]

Ahlfors (1963) dio una caracterización geométrica de los cuasicírculos como aquellas curvas de Jordan para las cuales el valor absoluto de la relación cruzada de cuatro puntos cualesquiera, tomados en orden cíclico, está limitado por debajo por una constante positiva.

Ahlfors también demostró que los cuasicírculos pueden caracterizarse en términos de una desigualdad triangular inversa para tres puntos: debe haber una constante C tal que si se eligen dos puntos z ₁ y z _{2 en la curva y} z ₃ se encuentra en el más corto de los arcos resultantes, entonces ^[5]

${\displaystyle |z_{1}-z_{3}|+|z_{2}-z_{3}|\leq C|z_{1}-z_{2}|.}$

Esta propiedad también se denomina giro acotado ^[6] o condición de arco . ^[7]

Para las curvas de Jordan en el plano extendido que pasa por ∞, Ahlfors (1966) dio una condición necesaria y suficiente más simple para ser un cuasicírculo. ^{[8] [9]} Hay una constante C > 0 tal que si z ₁ , z ₂ son puntos cualesquiera en la curva y z ₃ se encuentra en el segmento entre ellos, entonces

${\displaystyle \displaystyle {\left|z_{3}-{z_{1}+z_{2} \sobre 2}\right|\leq C|z_{1}-z_{2}|.}}$

Estas caracterizaciones métricas implican que un arco o una curva cerrada es cuasiconforme siempre que surja como la imagen de un intervalo o del círculo bajo una función bi-Lipschitz f , es decir, que satisfaga

${\displaystyle C_{1}|st|\leq |f(s)-f(t)|\leq C_{2}|st|}$

para constantes positivas C _i . ^[10]

Si φ es un homeomorfismo cuasisimétrico del círculo, entonces existen aplicaciones conformes f de [ z | < 1 y g de | z |>1 en regiones disjuntas tales que el complemento de las imágenes de f y g es una curva de Jordan. Las aplicaciones f y g se extienden continuamente al círculo | z | = 1 y la ecuación de costura

${\displaystyle \varphi = g^{-1}\circ f}$

Se sostiene. La imagen del círculo es un cuasicírculo.

Por el contrario, utilizando el teorema de aplicación de Riemann , las aplicaciones conformes f y g que uniformizan el exterior de un cuasicírculo dan lugar a un homeomorfismo cuasisimétrico a través de la ecuación anterior.

El espacio cociente del grupo de homeomorfismos cuasisimétricos por el subgrupo de transformaciones de Möbius proporciona un modelo de espacio universal de Teichmüller . La correspondencia anterior muestra que el espacio de los cuasicirírculos también puede tomarse como modelo. ^[11]

Una reflexión cuasiconforme en una curva de Jordan es una función cuasiconforme de periodo 2 que invierte la orientación y que cambia los puntos de fijación internos y externos de la curva. Dado que la función

${\displaystyle \displaystyle {R_{0}(z)={1 \over {\overline {z}}}}}$

proporciona una reflexión de este tipo para el círculo unitario, cualquier cuasicírculo admite una reflexión cuasiconforme. Ahlfors (1963) demostró que esta propiedad caracteriza a los cuasicírculos.

Ahlfors observó que este resultado se puede aplicar a funciones univalentes holomorfas uniformemente acotadas f ( z ) en el disco unidad D . Sea Ω = f ( D ). Como Carathéodory había demostrado utilizando su teoría de extremos primos , f se extiende continuamente al círculo unidad si y solo si ∂Ω es localmente conexo, es decir, admite un recubrimiento por un número finito de conjuntos compactos conexos de diámetro arbitrariamente pequeño. La extensión al círculo es 1-1 si y solo si ∂Ω no tiene puntos de corte, es decir, puntos que cuando se eliminan de ∂Ω producen un conjunto desconectado. El teorema de Carathéodory muestra que un conjunto localmente sin puntos de corte es simplemente una curva de Jordan y que precisamente en este caso la extensión de f al disco unidad cerrado es un homeomorfismo. ^[12] Si f se extiende a una aplicación cuasiconforme del plano complejo extendido, entonces ∂Ω es por definición un cuasicircículo. Por el contrario, Ahlfors (1963) observó que si ∂Ω es un cuasicírculo y R ₁ denota la reflexión cuasiconforme en ∂Ω entonces la asignación

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=R_{1}fR_{0}(z)}}$

para | z | > 1 define una extensión cuasiconforme de f al plano complejo extendido.

Se sabe que los cuasicírculos surgen como los conjuntos de Julia de las funciones racionales R ( z ). Sullivan (1985) demostró que si el conjunto de Fatou de R tiene dos componentes y la acción de R sobre el conjunto de Julia es "hiperbólica", es decir, hay constantes c > 0 y A > 1 tales que

${\displaystyle |\parcial _{z}R^{n}(z)|\geq cA^{n}}$

en el conjunto de Julia, entonces el conjunto de Julia es un cuasicírculo. ^[5]

Hay muchos ejemplos: ^{[13] [14]}

• polinomios cuadráticos R ( z ) = z ² + c con un punto fijo atractivo
• El conejo de Douady ( c = –0,122561 + 0,744862i, donde c ³ + 2 c ² + c + 1 = 0)
• polinomios cuadráticos z ² + λ z con |λ| < 1
• El copo de nieve de Koch

Los grupos cuasi-fucsianos se obtienen como deformaciones cuasiconformales de los grupos fucsianos . Por definición, sus conjuntos límite son cuasicírculos. ^{[15] [16] [17] [18] [19]}

Sea Γ un grupo fuchsiano de primer tipo: un subgrupo discreto del grupo de Möbius que preserva el círculo unitario, actuando de forma propiamente discontinua sobre el disco unitario D y con límite establecido en el círculo unitario.

Sea μ( z ) una función medible en D con

${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$

tal que μ es Γ-invariante, es decir

${\displaystyle \mu (g(z)){{\overline {\partial _{z}g(z)}} \over \partial _{z}g(z)}=\mu (z)}$

para cada g en Γ. (μ es entonces un "diferencial de Beltrami" en la superficie de Riemann D / Γ.)

Extienda μ a una función en C estableciendo μ( z ) = 0 en D .

La ecuación de Beltrami

${\displaystyle \partial _{\overline {z}}f(z)=\mu (z)\partial _{z}f(z)}$

admite una solución única hasta la composición con transformación de Möbius.

Es un homeomorfismo cuasiconformal del plano complejo extendido.

Si g es un elemento de Γ, entonces f ( g ( z )) da otra solución de la ecuación de Beltrami, de modo que

${\displaystyle \alpha (g)=f\circ g\circ f^{-1}}$

es una transformación de Möbius.

El grupo α(Γ) es un grupo cuasi-fucsiano con límite fijado en el cuasicírculo dado por la imagen del círculo unitario bajo f .

Se sabe que hay cuasicírculos para los cuales ningún segmento tiene longitud finita. ^[21] La dimensión de Hausdorff de los cuasicírculos fue investigada por primera vez por Gehring y Väisälä (1973), quienes demostraron que puede tomar todos los valores en el intervalo [1,2). ^[22] Astala (1993), utilizando la nueva técnica de "movimientos holomorfos" fue capaz de estimar el cambio en la dimensión de Hausdorff de cualquier conjunto plano bajo una función cuasiconforme con dilatación K . Para los cuasicírculos C , hubo una estimación cruda para la dimensión de Hausdorff ^[23]

${\displaystyle d_{H}(C)\leq 1+k}$

dónde

${\displaystyle k={K-1 \sobre K+1}.}$

Por otra parte, la dimensión de Hausdorff para los conjuntos de Julia J _c de los iterados de los mapas racionales

${\displaystyle R(z)=z^{2}+c}$

Se había estimado como resultado del trabajo de Rufus Bowen y David Ruelle , quienes demostraron que

${\displaystyle 1<d_{H}(J_{c})<1+{|c|^{2} \sobre 4\log 2}+o(|c|^{2}).}$

Dado que se trata de cuasicírculos correspondientes a una dilatación

${\displaystyle K={\sqrt {1+t \sobre 1-t}}}$

dónde

${\displaystyle t=|1-{\sqrt {1-4c}}|,}$

Esto llevó a Becker y Pommerenke (1987) a demostrar que para k pequeños

${\displaystyle 1+0,36k^{2}\leq d_{H}(C)\leq 1+37k^{2}.}$

Habiendo mejorado el límite inferior siguiendo los cálculos para el copo de nieve de Koch con Steffen Rohde y Oded Schramm , Astala (1994) conjeturó que

${\displaystyle d_{H}(C)\leq 1+k^{2}.}$

Esta conjetura fue demostrada por Smirnov (2010); una descripción completa de su prueba, antes de su publicación, ya fue dada en Astala, Iwaniec y Martin (2009).

Para un grupo cuasi-fucsiano, Bowen (1979) y Sullivan (1982) demostraron que la dimensión de Hausdorff d del conjunto límite es siempre mayor que 1. Cuando d < 2, la cantidad

${\displaystyle \lambda =d(2-d)\,\en (0,1)}$

es el valor propio más bajo del Laplaciano de la 3-variedad hiperbólica correspondiente . ^{[24] [25]}

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