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Longitud extrema

En la teoría matemática de las aplicaciones conformes y cuasiconformes , la longitud extremal de una colección de curvas Γ {\displaystyle \Gamma } es una medida del tamaño de Γ ...

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En la teoría matemática de las aplicaciones conformes y cuasiconformes , la longitud extremal de una colección de curvasΓ{\displaystyle \Gamma }es una medida del tamaño deΓ{\displaystyle \Gamma }que es invariante bajo transformaciones conformes. Más específicamente, supongamos queD{\displaystyle D}es un conjunto abierto en el plano complejo yΓ{\displaystyle \Gamma }es una colección de caminos enD{\displaystyle D}yF:D→D′{\displaystyle f:D\to D'}es una aplicación conforme. Entonces la longitud extremal deΓ{\displaystyle \Gamma }es igual a la longitud extrema de la imagen deΓ{\displaystyle \Gamma }bajoF{\displaystyle f}. También se trabaja con el módulo conforme deΓ{\displaystyle \Gamma }, el recíproco de la longitud extremal. El hecho de que la longitud extremal y el módulo conforme sean invariantes conformes deΓ{\displaystyle \Gamma }Esto las convierte en herramientas útiles para el estudio de mapeos conformes y cuasiconformes. También se trabaja con longitud extremal en dimensiones mayores que dos y en otros espacios métricos , pero lo que sigue se centra principalmente en el contexto bidimensional.

Definición de longitud extremal

Para definir la longitud extrema, primero necesitamos introducir varias cantidades relacionadas. SeaD{\displaystyle D}Sea un conjunto abierto en el plano complejo. Supongamos queΓ{\displaystyle \Gamma }es una colección de curvas rectificables enD{\displaystyle D}. Siρ:D→[0,∞]{\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]} es medible por Borel , entonces para cualquier curva rectificableγ{\displaystyle \gamma }dejamos

Lρ(γ):=∫γρ|dz|{\displaystyle L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|}

denotan elρ{\displaystyle \rho }–longitud deγ{\displaystyle \gamma }, dónde|dz|{\displaystyle |dz|}denota el elemento euclidiano de longitud. (Es posible queLρ(γ)=∞{\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }.) ¿Qué significa esto realmente? Siγ:I→D{\displaystyle \gamma :I\to D}está parametrizado en algún intervaloI{\displaystyle I}, entonces∫γρ|dz|{\displaystyle \int _{\gamma }\rho \,|dz|}es la integral de la función medible de Borel ρ(γ(t)){\displaystyle \rho (\gamma (t))}con respecto a la medida Borel sobreI{\displaystyle I} para el cual la medida de cada subintervaloJ⊂I{\displaystyle J\subset I}es la duración de la restricción deγ{\displaystyle \gamma }aJ{\displaystyle J}En otras palabras, es la integral de Lebesgue-Stieltjes .∫Iρ(γ(t))dlminortegramothγ(t){\displaystyle \int _{I}\rho (\gamma (t))\,d{\mathrm {length} }_{\gamma }(t)}, dónde lminortegramothγ(t){\displaystyle {\mathrm {longitud} }_{\gamma }(t)}es la duración de la restricción deγ{\displaystyle \gamma } a{s∈I:s≤t}{\displaystyle \{s\in I:s\leq t\}}. También establecido

Lρ(Γ):=infγ∈ΓLρ(γ).{\displaystyle L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).}

El área deρ{\displaystyle \rho }se define como

A(ρ):=∫Dρ2dincógnitady,{\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,}

y la longitud extrema deΓ{\displaystyle \Gamma }es

miL(Γ):=sorberρLρ(Γ)2A(ρ),{\displaystyle EL(\Gamma ):=\sup _ {\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,}

donde el supremo está sobre todo lo mensurable por Borelρ:D→[0,∞]{\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}con0<A(ρ)<∞{\displaystyle 0<A(\rho )<\infty }. SiΓ{\displaystyle \Gamma }contiene algunas curvas no rectificables y Γ0{\displaystyle \Gamma _{0}}denota el conjunto de curvas rectificables enΓ{\displaystyle \Gamma }, entonces miL(Γ){\displaystyle EL(\Gamma )}se define comomiL(Γ0){\displaystyle EL(\Gamma _{0})}.

El término (conforme) módulo deΓ{\displaystyle \Gamma }se refiere a1/miL(Γ){\displaystyle 1/EL(\Gamma )}.

La distancia extrema enD{\displaystyle D}entre dos conjuntos enD¯{\displaystyle {\overline {D}}}es la longitud extrema de la colección de curvas enD{\displaystyle D}con un extremo en un conjunto y el otro extremo en el otro conjunto.

Ejemplos

En esta sección se calcula la longitud extrema en varios ejemplos. Los tres primeros ejemplos resultan útiles en aplicaciones de la longitud extrema.

Distancia extrema en un rectángulo

Fijar algunos números positivosw,h>0{\displaystyle w,h>0}y dejarR{\displaystyle R}sea ​​el rectánguloR=(0,w)×(0,h){\displaystyle R=(0,w)\times (0,h)}. DejarΓ{\displaystyle \Gamma }sea ​​el conjunto de todas las curvas de longitud finitaγ:(0,1)→R{\displaystyle \gamma :(0,1)\to R} que cruzan el rectángulo de izquierda a derecha, en el sentido de quelímitet→0γ(t){\displaystyle \lim _{t\to 0}\gamma (t)} está en el borde izquierdo{0}×[0,h]{\displaystyle \{0\}\times [0,h]}del rectángulo, ylímitet→1γ(t){\displaystyle \lim _{t\to 1}\gamma (t)}está en el borde derecho{w}×[0,h]{\displaystyle \{w\}\times [0,h]}. (Los límites existen necesariamente, porque estamos asumiendo queγ{\displaystyle \gamma }tiene longitud finita.) Ahora demostraremos que en este caso

miL(Γ)=w/h{\displaystyle EL(\Gamma )=w/h}

Primero, podemos tomarρ=1{\displaystyle \rho =1}enR{\displaystyle R}. Esteρ{\displaystyle \rho }daA(ρ)=wh{\displaystyle A(\rho )=w\,h}yLρ(Γ)=w{\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )=w}. La definición demiL(Γ){\displaystyle EL(\Gamma )}como supremo entonces damiL(Γ)≥w/h{\displaystyle EL(\Gamma )\geq w/h}.

La desigualdad opuesta no es tan fácil. Consideremos una medida de Borel arbitraria.ρ:R→[0,∞]{\displaystyle \rho :R\to [0,\infty ]}de tal manera que ℓ:=Lρ(Γ)>0{\displaystyle \ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0} . Paray∈(0,h){\displaystyle y\in (0,h)}, dejarγy(t)=iy+wt{\displaystyle \gamma _{y}(t)=i\,y+w\,t}(donde estamos identificandoR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}con el plano complejo). Entoncesγy∈Γ{\displaystyle \gamma _{y}\in \Gamma }y por lo tantoℓ≤Lρ(γy){\displaystyle \ell \leq L_{\rho }(\gamma _{y})}. Esta última desigualdad puede escribirse como

ℓ≤∫01ρ(iy+wt)wdt.{\displaystyle \ell \leq \int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt.}

Integrar esta desigualdad a lo largo dey∈(0,h){\displaystyle y\in (0,h)}implica

hℓ≤∫0h∫01ρ(iy+wt)wdtdy{\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt\,dy}.

Ahora un cambio de variableincógnita=wt{\displaystyle x=w\,t}y una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz da

hℓ≤∫0h∫0wρ(incógnita+iy)dincógnitady≤(∫Rρ2dincógnitady∫Rdincógnitady)1/2=(whA(ρ))1/2{\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{w}\rho (x+i\,y)\,dx\,dy\leq {\Bigl (}\int _{R}\rho ^{2}\,dx\,dy\int _{R}\,dx\,dy{\Bigr )}^{1/2}={\bigl (}w\,h\,A(\rho ){\bigr )}^{1/2}}Esto daℓ2/A(ρ)≤w/h{\displaystyle \ell ^{2}/A(\rho )\leq w/h}.

Por lo tanto,miL(Γ)≤w/h{\displaystyle EL(\Gamma )\leq w/h}, según sea necesario.

Como muestra la prueba, la longitud extrema deΓ{\displaystyle \Gamma }es lo mismo que la longitud extrema de la colección mucho más pequeña de curvas{γy:y∈(0,h)}{\displaystyle \{\gamma _{y}:y\in (0,h)\}}.

Cabe señalar que la longitud extrema de la familia de curvasΓ′{\displaystyle \Gamma \,'}que conectan el borde inferior deR{\displaystyle R}hasta el borde superior deR{\displaystyle R}SatisfacemiL(Γ′)=h/w{\displaystyle EL(\Gamma \,')=h/w}, por el mismo argumento. Por lo tanto,miL(Γ)miL(Γ′)=1{\displaystyle EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1}Es natural referirse a esto como una propiedad de dualidad de longitud extremal, y una propiedad de dualidad similar aparece en el contexto de la siguiente subsección. Observe que obtener una cota inferior enmiL(Γ){\displaystyle EL(\Gamma )}Generalmente es más fácil que obtener un límite superior, ya que el límite inferior implica elegir un valor razonablemente bueno.ρ{\displaystyle \rho }y estimandoLρ(Γ)2/A(ρ){\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}, mientras que el límite superior implica probar una afirmación sobre todos los posiblesρ{\displaystyle \rho }Por esta razón, la dualidad suele ser útil cuando se puede establecer: cuando sabemos quemiL(Γ)miL(Γ′)=1{\displaystyle EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1}, un límite inferior enmiL(Γ′){\displaystyle EL(\Gamma \,')}se traduce en un límite superior enmiL(Γ){\displaystyle EL(\Gamma )}.

Distancia extrema en el anillo

Dejarr1{\displaystyle r_{1}}yr2{\displaystyle r_{2}}sean dos radios que satisfagan0<r1<r2<∞{\displaystyle 0<r_{1}<r_{2}<\infty }. DejarA{\displaystyle A}sea ​​el anilloA:={z∈do:r1<|z|<r2}{\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} :r_{1}<|z|<r_{2}\}}y dejardo1{\displaystyle C_{1}}ydo2{\displaystyle C_{2}}sean los dos componentes límite deA{\displaystyle A}:do1:={z:|z|=r1}{\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=r_{1}\}}ydo2:={z:|z|=r2}{\displaystyle C_{2}:=\{z:|z|=r_{2}\}}. Considere la distancia extremal enA{\displaystyle A}entredo1{\displaystyle C_{1}}ydo2{\displaystyle C_{2}}; que es la longitud extrema de la colecciónΓ{\displaystyle \Gamma }de curvasγ⊂A{\displaystyle \gamma \subset A}conectardo1{\displaystyle C_{1}}ydo2{\displaystyle C_{2}}.

Para obtener un límite inferior enmiL(Γ){\displaystyle EL(\Gamma )}, tomamosρ(z)=1/|z|{\displaystyle \rho (z)=1/|z|}. Luego paraγ∈Γ{\displaystyle \gamma \in \Gamma }orientado desdedo1{\displaystyle C_{1}}ado2{\displaystyle C_{2}}

∫γ|z|−1ds≥∫γ|z|−1d|z|=∫γdregistro⁡|z|=registro⁡(r2/r1).{\displaystyle \int _{\gamma }|z|^{-1}\,ds\geq \int _{\gamma }|z|^{-1}\,d|z|=\int _{\gamma }d\log |z|=\log(r_{2}/r_{1}).}

Por otro lado,

A(ρ)=∫A|z|−2dincógnitady=∫02π∫r1r2r−2rdrdθ=2πregistro⁡(r2/r1).{\displaystyle A(\rho )=\int _{A}|z|^{-2}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{-2}\,r\,dr\,d\theta =2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}

Concluimos que

miL(Γ)≥registro⁡(r2/r1)2π.{\displaystyle EL(\Gamma )\geq {\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.}

Ahora vemos que esta desigualdad es realmente una igualdad empleando un argumento similar al dado anteriormente para el rectángulo. Consideremos un valor arbitrario medible de Borel.ρ{\displaystyle \rho }de tal manera queℓ:=Lρ(Γ)>0{\displaystyle \ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0} . Paraθ∈[0,2π){\displaystyle \theta \in [0,2\,\pi )}dejarγθ:(r1,r2)→A{\displaystyle \gamma _{\theta }:(r_{1},r_{2})\to A}denota la curvaγθ(r)=miiθr{\displaystyle \gamma _{\theta }(r)=e^{i\theta }r}. Entonces

ℓ≤∫γθρds=∫r1r2ρ(miiθr)dr.{\displaystyle \ell \leq \int _{\gamma _{\theta }}\rho \,ds=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\rho (e^{i\theta }r)\,dr.}

Nos integramos más deθ{\displaystyle \theta }y aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz para obtener:

2πℓ≤∫Aρdrdθ≤(∫Aρ2rdrdθ)1/2(∫02π∫r1r21rdrdθ)1/2.{\displaystyle 2\,\pi \,\ell \leq \int _{A}\rho \,dr\,d\theta \leq {\Bigl (}\int _{A}\rho ^{2}\,r\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}{\Bigl (}\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}.}

Elevar al cuadrado da

4π2ℓ2≤A(ρ)⋅2πregistro⁡(r2/r1).{\displaystyle 4\,\pi ^{2}\,\ell ^{2}\leq A(\rho )\cdot \,2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}

Esto implica el límite superiormiL(Γ)≤(2π)−1registro⁡(r2/r1){\displaystyle EL(\Gamma )\leq (2\,\pi )^{-1}\,\log(r_{2}/r_{1})}. Al combinarlo con el límite inferior, se obtiene el valor exacto de la longitud extrema:

miL(Γ)=registro⁡(r2/r1)2π.{\displaystyle EL(\Gamma )={\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.}

Longitud extrema alrededor de un anillo

Dejarr1,r2,do1,do2,Γ{\displaystyle r_{1},r_{2},C_{1},C_{2},\Gamma }yA{\displaystyle A}sea ​​como arriba, pero ahora dejemos queΓ∗{\displaystyle \Gamma ^{*}}sea ​​el conjunto de todas las curvas que se enrollan una vez alrededor del anillo, separándolasdo1{\displaystyle C_{1}}dedo2{\displaystyle C_{2}}Utilizando los métodos anteriores, no es difícil demostrar que

miL(Γ∗)=2πregistro⁡(r2/r1)=miL(Γ)−1.{\displaystyle EL(\Gamma ^{*})={\frac {2\pi }{\log(r_{2}/r_{1})}}=EL(\Gamma )^{-1}.}

Esto ilustra otro ejemplo de dualidad de longitud extrema.

Longitud extrema de caminos topológicamente esenciales en el plano proyectivo

En los ejemplos anteriores, el extremoρ{\displaystyle \rho }lo que maximizó la proporciónLρ(Γ)2/A(ρ){\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}y dio la longitud extremal correspondiente a una métrica plana. En otras palabras, cuando la métrica riemanniana euclidiana del dominio planar correspondiente se escala porρ{\displaystyle \rho }, la métrica resultante es plana. En el caso del rectángulo, esta era simplemente la métrica original, pero para el anillo, la métrica extremal identificada es la métrica de un cilindro . Ahora analizamos un ejemplo donde una métrica extremal no es plana. El plano proyectivo con la métrica esférica se obtiene identificando puntos antipodales en la esfera unitaria enR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}con su métrica esférica riemanniana. En otras palabras, este es el cociente de la esfera por el mapaincógnita↦−incógnita{\displaystyle x\mapsto -x}. DejarΓ{\displaystyle \Gamma }denotamos el conjunto de curvas cerradas en este plano proyectivo que no son homotópicas nulas . (Cada curva enΓ{\displaystyle \Gamma }se obtiene proyectando una curva sobre la esfera desde un punto hasta su antípoda.) Entonces la métrica esférica es extremal para esta familia de curvas. [ 1 ] (La definición de longitud extremal se extiende fácilmente a superficies riemannianas.) Por lo tanto, la longitud extremal esπ2/(2π)=π/2{\displaystyle \pi ^{2}/(2\,\pi )=\pi /2}.

Longitud extrema de caminos que contienen un punto

SiΓ{\displaystyle \Gamma }es cualquier conjunto de caminos que tienen todos un diámetro positivo y contienen un puntoz0{\displaystyle z_{0}}, entoncesmiL(Γ)=∞{\displaystyle EL(\Gamma )=\infty }Esto se deduce, por ejemplo, al tomar

ρ(z):={(−|z−z0|registro⁡|z−z0|)−1|z−z0|<1/2,0|z−z0|≥1/2,{\displaystyle \rho (z):={\begin{cases}(-|z-z_{0}|\,\log |z-z_{0}|)^{-1}&|z-z_{0}|<1/2,\\0&|z-z_{0}|\geq 1/2,\end{cases}}}lo cual satisfaceA(ρ)<∞{\displaystyle A(\rho )<\infty }yLρ(γ)=∞{\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }por cada rectificableγ∈Γ{\displaystyle \gamma \in \Gamma }.

Propiedades elementales de la longitud extrema

La longitud extremal satisface algunas propiedades de monotonicidad simples. Primero, es claro que siΓ1⊂Γ2{\displaystyle \Gamma _{1}\subset \Gamma _{2}}, entoncesmiL(Γ1)≥miL(Γ2){\displaystyle EL(\Gamma _{1})\geq EL(\Gamma _{2})}Además, la misma conclusión se mantiene si cada curvaγ1∈Γ1{\displaystyle \gamma _{1}\in \Gamma _{1}}contiene una curvaγ2∈Γ2{\displaystyle \gamma _{2}\in \Gamma _{2}}como una subcurva (es decir,γ2{\displaystyle \gamma _{2}}es la restricción deγ1{\displaystyle \gamma _{1}}a un subintervalo de su dominio). Otra desigualdad que a veces resulta útil es

miL(Γ1∪Γ2)≥(miL(Γ1)−1+miL(Γ2)−1)−1.{\displaystyle EL(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq {\bigl (}EL(\Gamma _{1})^{-1}+EL(\Gamma _{2})^{-1}{\bigr )}^{-1}.}

Esto queda claro simiL(Γ1)=0{\displaystyle EL(\Gamma _{1})=0}o simiL(Γ2)=0{\displaystyle EL(\Gamma _{2})=0}, en cuyo caso el lado derecho se interpreta como0{\displaystyle 0}. Supongamos entonces que este no es el caso y, sin pérdida de generalidad, supongamos que las curvas enΓ1∪Γ2{\displaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}}son todos rectificables. Dejemosρ1,ρ2{\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}satisfacerLρj(Γj)≥1{\displaystyle L_{\rho _{j}}(\Gamma _{j})\geq 1}paraj=1,2{\displaystyle j=1,2}. Colocarρ=máximo{ρ1,ρ2}{\displaystyle \rho =\max\{\rho _{1},\rho _{2}\}}. EntoncesLρ(Γ1∪Γ2)≥1{\displaystyle L_{\rho }(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq 1}yA(ρ)=∫ρ2dincógnitady≤∫(ρ12+ρ22)dincógnitady=A(ρ1)+A(ρ2){\displaystyle A(\rho )=\int \rho ^{2}\,dx\,dy\leq \int (\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2})\,dx\,dy=A(\rho _{1})+A(\rho _{2})}, lo cual demuestra la desigualdad.

Invariancia conforme de longitud extremal

DejarF:D→D∗{\displaystyle f:D\to D^{*}}Sea un homeomorfismo conforme (una aplicación holomorfa biyectiva ) entre dominios planares. Supongamos que Γ{\displaystyle \Gamma }es una colección de curvas enD{\displaystyle D}y dejarΓ∗:={F∘γ:γ∈Γ}{\displaystyle \Gamma ^{*}:=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma \}} denotan las curvas de imagen bajoF{\displaystyle f}. EntoncesmiL(Γ)=miL(Γ∗){\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})}Esta afirmación de invariancia conforme es la razón principal por la que el concepto de longitud extremal resulta útil.

Aquí hay una demostración de invariancia conforme. SeaΓ0{\displaystyle \Gamma _{0}}denotan el conjunto de curvas γ∈Γ{\displaystyle \gamma \in \Gamma }de tal manera queF∘γ{\displaystyle f\circ \gamma }es rectificable y dejar Γ0∗={F∘γ:γ∈Γ0}{\displaystyle \Gamma _{0}^{*}=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma _{0}\}} , que es el conjunto de curvas rectificables enΓ∗{\displaystyle \Gamma ^{*}}. Supongamos queρ∗:D∗→[0,∞]{\displaystyle \rho ^{*}:D^{*}\to [0,\infty ]}es medible por Borel. Definir

ρ(z)=|F′(z)|ρ∗(F(z)).{\displaystyle \rho (z)=|f\,'(z)|\,\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}.}

Un cambio de variablesw=F(z){\displaystyle w=f(z)}da

A(ρ)=∫Dρ(z)2dzdz¯=∫Dρ∗(F(z))2|F′(z)|2dzdz¯=∫D∗ρ∗(w)2dwdw¯=A(ρ∗).{\displaystyle A(\rho )=\int _{D}\rho (z)^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D}\rho ^{*}(f(z))^{2}\,|f\,'(z)|^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D^{*}}\rho ^{*}(w)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}=A(\rho ^{*}).}

Ahora supongamos queγ∈Γ0{\displaystyle \gamma \in \Gamma _{0}}es rectificable y establecidoγ∗:=F∘γ{\displaystyle \gamma ^{*}:=f\circ \gamma }Formalmente, podemos volver a utilizar un cambio de variables:

Lρ(γ)=∫γρ∗(F(z))|F′(z)||dz|=∫γ∗ρ(w)|dw|=Lρ∗(γ∗).{\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\int _{\gamma }\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}\,|f\,'(z)|\,|dz|=\int _{\gamma ^{*}}\rho (w)\,|dw|=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*}).}

Para justificar este cálculo formal , supongamos queγ{\displaystyle \gamma }se define en algún intervaloI{\displaystyle I}, dejar ℓ(t){\displaystyle \ell (t)}denotan la longitud de la restricción deγ{\displaystyle \gamma }aI∩(−∞,t]{\displaystyle I\cap (-\infty ,t]}y dejarℓ∗(t){\displaystyle \ell ^{*}(t)}ser definido de manera similar conγ∗{\displaystyle \gamma ^{*}}en lugar deγ{\displaystyle \gamma }Entonces es fácil ver quedℓ∗(t)=|F′(γ(t))|dℓ(t){\displaystyle d\ell ^{*}(t)=|f\,'(\gamma (t))|\,d\ell (t)}y esto implicaLρ(γ)=Lρ∗(γ∗){\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*})}, según se requiera. Las igualdades anteriores dan,

miL(Γ0)≥miL(Γ0∗)=miL(Γ∗).{\displaystyle EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma _{0}^{*})=EL(\Gamma ^{*}).}

Si supiéramos que cada curva enΓ{\displaystyle \Gamma }yΓ∗{\displaystyle \Gamma ^{*}}era rectificable, esto demostraríamiL(Γ)=miL(Γ∗){\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})}ya que también podemos aplicar lo anterior conF{\displaystyle f}reemplazado por su inverso yΓ{\displaystyle \Gamma }intercambiado conΓ∗{\displaystyle \Gamma ^{*}}Queda por tratar las curvas no rectificables.

Ahora dejemosΓ^{\displaystyle {\hat {\Gamma }}}denota el conjunto de curvas rectificablesγ∈Γ{\displaystyle \gamma \in \Gamma }de tal manera queF∘γ{\displaystyle f\circ \gamma }no es rectificable. Afirmamos quemiL(Γ^)=∞{\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }De hecho, tomaρ(z)=|F′(z)|h(|F(z)|){\displaystyle \rho (z)=|f\,'(z)|\,h(|f(z)|)}, dóndeh(r)=(rregistro⁡(r+2))−1{\displaystyle h(r)={\bigl (}r\,\log(r+2){\bigr )}^{-1}}. Luego, un cambio de variable como el anterior da como resultado

A(ρ)=∫D∗h(|w|)2dwdw¯≤∫02π∫0∞(rregistro⁡(r+2))−2rdrdθ<∞.{\displaystyle A(\rho )=\int _{D^{*}}h(|w|)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }(r\,\log(r+2))^{-2}\,r\,dr\,d\theta <\infty .}

Paraγ∈Γ^{\displaystyle \gamma \in {\hat {\Gamma }}}yr∈(0,∞){\displaystyle r\in (0,\infty )}de tal manera queF∘γ{\displaystyle f\circ \gamma } está contenido en{z:|z|<r}{\displaystyle \{z:|z|<r\}}, tenemos

Lρ(γ)≥inf{h(s):s∈[0,r]}lminortegramoth(F∘γ)=∞{\displaystyle L_{\rho }(\gamma )\geq \inf\{h(s):s\in [0,r]\}\,\mathrm {length} (f\circ \gamma )=\infty }.

Por otro lado, supongamos queγ∈Γ^{\displaystyle \gamma \in {\hat {\Gamma }}}es tal queF∘γ{\displaystyle f\circ \gamma }es ilimitado. ConjuntoH(t):=∫0th(s)ds{\displaystyle H(t):=\int _{0}^{t}h(s)\,ds}. Entonces Lρ(γ){\displaystyle L_{\rho }(\gamma )}es al menos la longitud de la curvat↦H(|F∘γ(t)|){\displaystyle t\mapsto H(|f\circ \gamma (t)|)} (desde un intervalo enR{\displaystyle \mathbb {R} }aR{\displaystyle \mathbb {R} }). Desdelímitet→∞H(t)=∞{\displaystyle \lim _{t\to \infty }H(t)=\infty }De ello se deduce queLρ(γ)=∞{\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }. Por lo tanto, en efecto,miL(Γ^)=∞{\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }.

Utilizando los resultados de la sección anterior , tenemos

miL(Γ)=miL(Γ0∪Γ^)≥miL(Γ0){\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma _{0}\cup {\hat {\Gamma }})\geq EL(\Gamma _{0})}.

Ya hemos visto quemiL(Γ0)≥miL(Γ∗){\displaystyle EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma ^{*})}. De este modo,miL(Γ)≥miL(Γ∗){\displaystyle EL(\Gamma )\geq EL(\Gamma ^{*})}La desigualdad inversa se cumple por simetría, y por lo tanto se establece la invariancia conforme.

Algunas aplicaciones de la longitud extrema

Mediante el cálculo de la distancia extremal en un anillo y la invariancia conforme se deduce que el anillo{z:r<|z|<R}{\displaystyle \{z:r<|z|<R\}}(dónde0≤r<R≤∞{\displaystyle 0\leq r<R\leq \infty }) no es conformemente homeomorfo al anillo{w:r∗<|w|<R∗}{\displaystyle \{w:r^{*}<|w|<R^{*}\}}siRr≠R∗r∗{\displaystyle {\frac {R}{r}}\neq {\frac {R^{*}}{r^{*}}}}.

Longitud extrema en dimensiones superiores

La noción de longitud extremal se adapta al estudio de diversos problemas en dimensiones 3 y superiores, especialmente en relación con aplicaciones cuasiconformes .

Longitud extremal discreta

Supongamos queGRAMO=(V,mi){\displaystyle G=(V,E)}es algún gráfico yΓ{\displaystyle \Gamma }es una colección de caminos enGRAMO{\displaystyle G}. En este contexto existen dos variantes de longitud extremal. Para definir la longitud extremal de arista , introducida originalmente por RJ Duffin , [ 2 ] consideremos una funciónρ:mi→[0,∞){\displaystyle \rho :E\to [0,\infty )}. Elρ{\displaystyle \rho }-La longitud de un camino se define como la suma deρ(mi){\displaystyle \rho (e)}sobre todos los bordes en el camino, contados con multiplicidad. El " área "A(ρ){\displaystyle A(\rho )}se define como∑mi∈miρ(mi)2{\displaystyle \sum _{e\in E}\rho (e)^{2}}. La longitud extrema deΓ{\displaystyle \Gamma }entonces se define como antes. SiGRAMO{\displaystyle G}Se interpreta como una red de resistencias , donde cada arista tiene una resistencia unitaria; entonces, la resistencia efectiva entre dos conjuntos de vértices es precisamente la longitud extremal de la arista del conjunto de caminos con un extremo en un conjunto y el otro extremo en el otro conjunto. Por lo tanto, la longitud extremal discreta es útil para estimaciones en la teoría del potencial discreto .

Otra noción de longitud extremal discreta que es apropiada en otros contextos es la longitud extremal del vértice , dondeρ:V→[0,∞){\displaystyle \rho :V\to [0,\infty )}, la zona esA(ρ):=∑v∈Vρ(v)2{\displaystyle A(\rho ):=\sum _{v\in V}\rho (v)^{2}}y la longitud de un camino es la suma deρ(v){\displaystyle \rho (v)}sobre los vértices visitados por el camino, con multiplicidad.

Notas

  1. ↑ Ahlfors (1973)
  2. ↑ Duffin 1962

Referencias

  • Ahlfors, Lars V. (1973), Invariantes conformes: temas de teoría geométrica de funciones , Nueva York: McGraw-Hill Book Co., MR 0357743 
  • Duffin, RJ (1962), "La longitud extrema de una red", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 5 (2): 200– 215, doi : 10.1016/S0022-247X(62)80004-3
  • Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Aplicaciones cuasiconformes en el plano (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag