Pirámide (geometría)

Una pirámide es un poliedro formado por una base poligonal y un vértice . Cada arista de la base y el vértice forman un triángulo , denominado cara lateral. Una pirámide es un sólido cónico con base poligonal. Existen muchos tipos de pirámides, que se pueden determinar modificando la forma de sus bases, ya sea a partir de un polígono regular (pirámides regulares) o cortando el vértice (pirámides truncadas).

Una pirámide puede generalizarse a dimensiones superiores, conocidas como hiperpirámides . Todas las pirámides son autoduales .

Una pirámide es un poliedro que se puede formar conectando cada vértice de un polígono plano con un punto fuera de ese plano. Este punto se llama vértice de la pirámide , y el polígono plano es la base de la pirámide. Cada una de las caras de la pirámide es un triángulo ^{[ 1 ]} formado por una de las aristas de la base y las dos aristas que conectan los extremos de esa arista con el vértice. Estas caras se llaman caras laterales de la pirámide , y cada arista conectada al vértice se llama arista lateral. ^{[ 2 ]} Históricamente, la definición de pirámide fue descrita por muchos matemáticos en la antigüedad. Euclides, en sus Elementos, definió una pirámide como una figura sólida, construida desde un plano hasta un punto. El contexto de su definición fue vago hasta que Herón de Alejandría la definió como la figura formada por un punto y una base poligonal. ^{[ 3 ]}

Un prismatoide se define como un poliedro cuyos vértices se encuentran en dos planos paralelos, y cuyas caras laterales son triángulos, trapecios y paralelogramos . ^{[ 4 ]} Las pirámides se clasifican como prismatoides. ^{[ 5 ]}

La familia de pirámides de base poligonal regular: tetraedro, pirámide cuadrada, pirámide pentagonal y pirámide hexagonal.

Los términos «pirámide recta» y «pirámide regular» se utilizan para describir casos especiales de pirámides. Sus nociones comunes son las siguientes: Una pirámide regular es aquella cuya base es un polígono regular . Una pirámide recta es aquella cuyo eje (la línea que une el centroide de la base con el vértice) es perpendicular a la base. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Una pirámide oblicua es aquella cuyo eje no es perpendicular a la base. ^{[ 9 ]} Sin embargo, no existen definiciones estándar para estos términos, y diferentes fuentes los utilizan de forma algo distinta.

Algunas fuentes definen el término "pirámide recta" únicamente como un caso especial para pirámides regulares, ^{[ 10 ]} mientras que otras lo definen para el caso general de cualquier forma de base. Otras fuentes definen el término "pirámide recta" incluyendo dentro de su definición la base regular. ^{[ 11 ]} En raras ocasiones, una "pirámide recta" se define como una pirámide cuya base está circunscrita a un círculo y cuya altura se encuentra con la base en el centro del círculo. ^{[ 12 ]}

Para la pirámide con una base regular de n lados , tiene n + 1 vértices, n + 1 caras y 2 n aristas. ^{[ 13 ]} Dicha pirámide tiene triángulos isósceles como sus caras, con su simetría es C _{n v} , una simetría de orden 2 n : las pirámides son simétricas cuando giran alrededor de su eje de simetría (una línea que pasa por el vértice y el centroide de la base), y son simétricas especulares con respecto a cualquier plano perpendicular que pase por una bisectriz de la base. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Ejemplos son la pirámide cuadrada y la pirámide pentagonal , una pirámide de cuatro y cinco caras triangulares con una base cuadrada y pentagonal, respectivamente; se clasifican como el primer y segundo sólido de Johnson si sus caras regulares y aristas son de igual longitud, y sus simetrías son C _4v de orden 8 y C _5v de orden 10, respectivamente. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Un tetraedro o pirámide triangular es un ejemplo que tiene cuatro triángulos. Si todas las aristas tienen la misma longitud, de modo que sus caras son equiláteras, y una de ellas se considera como la base, se conoce como un tetraedro regular , un ejemplo de un sólido platónico y deltaedros , y tiene simetría tetraédrica . ^{[ 18 ] [ 19 ]} Una pirámide con la base como un círculo se conoce como cono . ^{[ 20 ]}

Las pirámides tienen la propiedad de ser autoduales , lo que significa que sus duales son los mismos que los vértices correspondientes a las aristas y viceversa. ^{[ 21 ]} Su esqueleto puede representarse como el grafo rueda , es decir, pueden representarse como un polígono en el que sus vértices conectan un vértice en el centro llamado vértice universal . ^{[ 22 ]}

Pirámides con bases rectangulares y rómbicas

Una pirámide recta también puede tener una base con un polígono irregular. Ejemplos de pirámides irregulares son aquellas con base rectangular y romboidal . Estas dos pirámides poseen la simetría C2v de orden 4 _.

Una pirámide truncada por un plano inclinado

Una pirámide con base de pentagrama .

El tipo de pirámides se puede derivar de muchas maneras. La regularidad de la base de una pirámide se puede clasificar según el tipo de polígono: un ejemplo es elpirámide estrellada , cuya base es el polígono estrellado regular . ^{[ 23 ]}

La pirámide truncada es una pirámide a la que se le ha cortado la base mediante un plano; si el plano de truncamiento es paralelo a la base de la pirámide, se denomina tronco de pirámide .

El área de la superficie de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras. El área de la superficie de una pirámide es la suma del área de los triángulos y el área de la base poligonal.

El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base y la altura de la pirámide. La altura de la pirámide se define como la longitud del segmento de línea entre el vértice y su proyección ortogonal sobre la base. Dado que${\displaystyle B}$es el área de la base y${\displaystyle h}$es la altura de una pirámide, el volumen de una pirámide es: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Bh.}$$ El volumen de una pirámide se registró en el antiguo Egipto, donde calcularon el volumen de un tronco de pirámide cuadrado , lo que sugiere que estaban familiarizados con el volumen de una pirámide cuadrada. ^{[ 25 ]}

La hiperpirámide es la generalización de una pirámide en un espacio n - dimensional. En el caso de la pirámide, se conectan todos los vértices de la base, un polígono en un plano, a un punto fuera del plano, que es el vértice . La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano. Esta construcción se generaliza a n dimensiones. La base se convierte en un politopo (n-1) en un hiperplano ( n - 1 ) dimensional . Un punto llamado ápice se ubica fuera del hiperplano y se conecta a todos los vértices del politopo; la distancia del ápice al hiperplano se llama altura. ^{[ 26 ]}

El volumen n - dimensional de una hiperpirámide n - dimensional se puede calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle V_{n}={\frac {A\cdot h}{n}}.}$$ Aquí V _n denota el volumen n - dimensional de la hiperpirámide. A denota el volumen ( n  -  1) -dimensional de la base y h la altura, es decir ^, la distancia entre el vértice y el hiperplano ( n  -  1) -dimensional que contiene la base A. ^{[ 26} ]

• Pirámide bifásica

• Weisstein, Eric W. "Pirámide" . MathWorld .